Abbildungen der Seite
PDF
EPUB

einen Büschel und schneiden auf g die Punktepaare einer Involution aus. Geht insbesondere ein Kegelschnitt des Büschels durch einen Doppelpunkt dieser Involution, so muß er daselbst die Gerade g berühren. Man bestimme also auf g die beiden Punkte U und U, welche harmonische Pole in Bezug auf alle Kurven des Büschels sind, dann sind sie die Berührungspunkte der gesuchten Kegelschnitte. Sind die vier Punkte A, B, C, D reell, so schneiden AB und CD und ebenso AC und BDje ein Punktepaar der vorher genannten Involution auf g aus; daraus lasseu sich dann ihre Doppelpunkte U und U konstruieren. Die folgende Konstruktion läßt sich verwenden, falls von den gegebenen Punkten ein Paar oder zwei Paare konjugiert imaginär sind. Es seien i und j die Geraden AB und CD (Fig. 263), und zwar mögen A, B auf i als Doppelpunkte einer Involution definiert sein, von der P, P und L, i × l zwei Punktepaare sind. Ebenso mögen C, D auf j als Doppelpunkte einer Involution mit den Punktepaaren Q, Q und L, j × l definiert sein. Der Kegelschnitt k des Büschels, der durch den Punkt E = g × l geht, schneidet g noch in einem Punkte F und l in einem Punkte E, und zwar müssen FE und FE nach 283 auf i und j harmonische Pole ausschneiden, da i und j harmonische Polaren zu l in Bezug auf k sind. Man suche also in der Involution auf i zu g × i den entsprechenden Punkt und ebenso in der Involution auf j zu g × j den entsprechenden. Die Verbindungslinie dieser beiden Punkte schneidet l und g in E und F. Nun findet man U und U wieder als Doppelpunkte einer Involution, der E, F und g × i, g × j als Punktepaare angehören. Sind die gegebenen Punktepaare sowohl auf i wie auf j imaginär (wie in der Figur), so besitzt der Büschel, dem die gesuchten Kegelschnitte angehören, ein reelles gemeinsames Polardreieck. L ist eine Ecke dieses Dreiecks, seine Ecken M und M trennen E und E. sowie l × i und l × j harmonisch. Sucht man noch auf jeder Seite des Polardreiecks den Punkt, der mit g zusammen die bez. Seite harmonisch teilt, so gehen durch diese Punkte die vier gemeinsamen Tangenten der gesuchten Kegelschnitte hindurch. Man kennt also von jedem vier Tangenten und deren Berührungspunkte. Ist eines der beiden Punktepaare reell, das andere imaginär, so bestimme man auf LU den Punkt V derart, daß UY durch L und l harmonisch geteilt wird. Dann sind EU und EY Tangenten der gesuchten Kegelschnitte, die sie in U und Y resp. U' und Y berühren. Man kennt also von jedem zwei reelle Punkte und zwei reelle Tangenten mit ihren Berührungspunkten. Die beiden Kegelschnitte zu zeichnen, die vier gegebene Gerade a, b, c, d berühren und durch einen gegebenen Punkt G gehen. Diese Aufgabe ist zu der vorangehenden dual und ihre Lösung ergiebt sich aus dem Gesagten, wenn man überall die dualen

Konstruktionen verwendet.

Fig. 263. Fig. 264.

411. Die vier Kegelschnitte zu zeichnen, die durch drei gegebene Punkte A, B, C gehen und zwei Gerade g und h berühren. Diese Aufgabe schließt sich an die vorhergehende an und soll hier gelöst werden, obgleich sie mit dem Kegelschnittbüschel nicht in näherem Zusammenhang steht. Der Punkt S = g × h ist der Scheitel einer Strahleninvolution I, der g und h als Doppelstrahlen angehören, umgekehrt kann man durch eine solche Strahleninvolution I zwei reelle oder konjugiert imaginäre Gerade definieren. Sind sie Tangenten eines Kegelschnittes, so sind die Strahlenpaare der Involution harmonische Polaren desselben. Nun suche man dasjenige Strahlenpaar u, u von I, das zu SA und SB harmonisch liegt (353), sowie das Strahlenpaar v, v von I, das zu SA und SC harmonisch liegt. Schneiden u. u die Gerade AB in U, I und ebenso v, v die Gerade AC in Y, Y, so muß erstens entweder U der Pol von u, oder U' der Pol von u sein und zweitens entweder V der Pol von v, oder / der Pol von v sein. Ist nämlich U nicht der Pol von u, so muß ein anderer Punkt U von u der Pol von m sein. Die Polare von U muß dann sowohl durch U als auch durch U gehen, d. h. u ist dann die Polare von U; damit ist aber die Behauptung erwiesen. Wir haben sonach vier Fälle zu unterscheiden und jeder liefert einen von den gesuchten Kegel

[merged small][ocr errors]
[graphic]

1. U ist Pol von u und W Pol von v', 2. U ist Pol von u und W Pol von v, 3. U ist Pol von u und Y Pol von v', 4. U' ist Pol von u und V Pol von v. Im ersten Falle wird UY die Polare von S = u“ X v' sein, sie schneidet aus g und h die Berührungspunkte mit einem unserer Kegelschnitte aus. Ferner findet man auf SA, SB, SC die Kurvenpunkte A, B, C dadurch, daß A und A, durch S und UY harmonisch geteilt werden u. s. w. In gleicher Weise ergeben sich die drei übrigen Kegelschnitte. Die Aufgabe hat reelle Lösungen, wenn die Geraden u, u, v, v' reell sind. Es müssen also g und h die Strecke AB (und ebenso AC) entweder gleichzeitig schneiden oder gleichzeitig nicht schneiden. Aus diesen Betrachtungen findet man mit Hilfe des Prinzipes der Dualität auch die Lösung der dualen Aufgabe: Die vier Kegelschnitte zu zeichnen, die durch zwei gegebene Punkte G und H gehen und drei gegebene Gerade a, b und c berühren. 412. Zwei beliebige Kegelschnitte k und k befinden sich stets in perspektiver Lage und zwar, wenn ihre gemeinsamen Punkte und Tangenten sämtlich reell sind, auf zwölf Arten, in jedem andern Falle auf vier Arten. Als Centrum der Perspektive kann der Schnittpunkt je zweier gemeinsamer Tangenten, als Achse jede gemeinsame Sehne dienen. Den beiden Perspektivitätscentren, die auf einer Seite des den Kegelschnitten gemeinsamen Polardreiecks liegen, kann als Achse jede der beiden gemeinsamen Sehnen durch die gegenüberliegende Ecke des Polardreiecks zugeteilt werden. Besteht zwischenk und k eine perspektive Beziehung, so ordnet sie einem jeden Punkt und seiner Polare in Bezug auf k wieder einen Punkt und dessen Polare in Bezug auf k zu; sie führt also harmonische Pole oder Polaren von k in harmonische Pole oder Polaren von k über. Im Centrum O der Perspektive entspricht jeder Strahl sich selbst; je zwei Strahlen durch O, welche harmonische Polaren von k sind, sind deshalb auch harmonische Polaren von k. 0 ist somit Scheitel einer Strahleninvolution, deren Strahlenpaare gemeinsame harmonische Polaren und deren Doppelstrahlen gemeinsame (reelle oder konjugiert imaginäre) Tangenten von k und k sind. Auf der Achse a der Perspektive entspricht jeder Punkt sich selbst; je zwei auf ihr liegende harmonische Pole von k sind zugleich harmonische Pole von k. Somit ist a Träger einer Involution gemeinsamer harmonischer Pole von k und k und ihre Doppelpunkte gehören beiden Kegel

schnitten an. Nun liegt O auf einer Seite des gemeinsamen Polardreiecks

LMN von k und k, etwa auf m = LM (vergl. 398) (Fig. 265). Die

Fig. 265.

Polaren 0 und 0 von 0 in Bezug auf k resp. k müssen sich auf der Achse a schneiden; andererseits ist o × o, der gemeinsame harmonische Pol zu O, diese Eigenschaft kommt aber dem Punkt M zu; es geht also a durch M. Die Perspektive, welche O zum Centrum und a zur Achse hat, und die Gerade o in die Gerade o überführt, verwandelt nun in der That den Kegelschnitt k in den Kegelschnitt k. Denn es entspricht hierbei dem Kegelschnitt kein neuer Kegelschnitt k; dieser hat mit k1 die beiden (reellen oder konjugiert imaginären) Punkte auf a gemein, ferner die beiden (reellen oder konjugiert imaginären) Tangenten aus O und deren Berührungspunkte auf o, so daß k mit k, identisch ist. In der Figur sind auf m die beiden Centren O und O angegeben und durch M die beiden Achsen a und a; jedes Centrum bestimmt mit jeder Achse eine perspektive Beziehung zwischen k und k. So ergeben sich vier perspektive Beziehungen, indem man die Ecke M und die Seite m des Polardreiecks zu Grunde legt; in gleicher Weise ergeben sich acht weitere. Beachtet man die Resultate in 401, so erkennt man unmittelbar, daß von den Perspektiven zwischen k und k stets vier reell sind und es sogar zwölf reelle Perspektiven zwischen k und k giebt, wenn ihre gemeinsamen Punkte und Tangenten alle reell sind.

[graphic]

Sind u und t die gemeinsamen Tangenten aus O, so sind U = u × o, T = t × o und U = u × o, T =t × o ihre Berührungspunkte mit k resp. k. Nun sind U und U harmonische Pole in Bezug auf beide Kegelschnitte, denn die Polaren von U gehen beide durch U; nach 396 liegen also o und o, harmonisch zu a und a.

Die Achsen a und a der genannten Perspektiven liegen harmonisch sowohl zu den Polaren 0 und 0, des Centrums 0, als auch zu den Polaren 0 und 0, des Centrums O. Ebenso liegen die Centren 0 und 0' harmonisch sowohl zu den Polen A und A der Achse a, als auch zu den Polen A' und A der Achse a.

In der Figur ist noch der Zusammenhang zwischen 0 und a resp. a. angedeutet. Sind P und P entsprechende Punkte von k und k und ebenso Q und Q, entsprechende Punkte von 0 und 0, so liegt R = PQ × P Q, auf a. In gleicher Weise liegt R= PQ × PQ, auf a.

SECHSTES KAPITEL.

Ebene KurVen und Raumkurven.

Begriff des Unendlichkleinen in der Geometrie.

413. Die bisherigen Untersuchungen boten uns bereits an einzelnen Stellen Anlaß, von geometrischen Größen zu sprechen, die man sich unbeschränkt wachsend vorstellt, so daß sie größer als jede angebbare Größe, d. h. „unendlich groß“ werden. Bei dem Studium der Kurven und krummen Flächen ist es unumgänglich, auch solche Größen einzuführen, die unbeschränkt abnehmen,

« ZurückWeiter »