ε) Von den gemeinsamen Punkten und Tangenten sind je zwei reell und je zwei konjugiert imaginär. Durch L gehen zwei reelle Strahlen, der eine trägt die reellen, der andere die konjugiert imaginären gemeinsamen Punkte. Auf 7 liegen zwei p'

reelle Punkte, der eine sendet die reellen, der andere die konjugiert imaginären Tangenten aus (Fig. 262).

402. Zur Konstruktion der einzelnen Figg. 258-262 dienen noch die folgenden Betrachtungen. Wie wir sahen, liegen auf jeder Seite des gemeinsamen Polardreiecks von k und k, die beiden Punkte, welche die gemeinsamen Tangenten aussenden, harmonisch zu den Punkten, die irgend zwei gemeinsame harmonische Polaren von k und k1 auf ihr ausschneiden. Ebenso liegen in jeder Ecke des Polardreiecks die beiden Strahlen, welche die gemeinsamen Punkte tragen, harmonisch zu den Strahlen, welche die Ecke mit irgend zwei gemeinsamen harmonischen Polen von k und k, verbinden. Es sei nun L eine Ecke und eine Seite des gemeinsamen Polardreiecks, ferner seien i und j zwei reelle Strahlen durch L, welche je eine Involution gemeinsamer harmonischer Pole tragen, deren (reelle oder imaginäre) Doppelpunkte also gemeinsame Punkte von k und k, sind. Endlich mögen P und P' ein Paar gemeinsamer harmonischer Pole auf i und Q und Q' ein derartiges Paar auf j bedeuten. Die Involution gemeinsamer harmonischer Pole auf i ist durch die Punktepaare P, P' und I, i × 1 bestimmt, die Involution auf j durch die Punktepaare Q, Q' und L, j × 1. Suchen wir dann den Pol J von i in Bezug auf k auf und den Pol J von i in Bezug auf k1, so sind PJ und PJ, gemeinsame harmonische Polaren von k und k1; gleiches gilt für PJ und P'J. In der That ist PJ

die Polare von P' in Bezug auf k, also sind PJ und P'J, harmonische Polaren von k; es ist aber auch P'J, die Polare von P in Bezug auf k1, so daß P'J1 und PJ auch harmonische Polaren von k1 sind. Ist i eine gemeinsame Sehne von k und k1 und sind Jund J ihre Pole bezüglich k resp. k1, so gehört zu jedem Strahl durch J als gemeinsame harmonische Polare ein Strahl durch ; je zwei derartige Strahlen schneiden auf i zwei gemeinsame harmonische Pole aus. Daraus folgt weiter: J und gehören einer Seite des gemeinsamen Polardreiecks an und liegen harmonisch zu den beiden Punkten, welche die gemeinsamen Tangenten der Kegelschnitte auf ihr ausschneiden (398).

Natürlich gelten auch die dualen Sätze: Ist H ein Punkt, von dem sich zwei (reelle oder imaginäre) gemeinsame Tangenten an k und k1 legen lassen, und sind h und h1 seine Polaren bezüglich k resp. k1, so gehört zu jedem Punkt von h als gemeinsamer harmonischer Pol ein Punkt von h1; je zwei derartige Punkte liefern mit H verbunden zwei gemeinsame harmonische Polaren von k und k ̧. h und h, enthalten eine Ecke des gemeinsamen Polardreiecks und liegen harmonisch zu den beiden durch die Ecke gehenden gemeinsamen Sehnen der Kegelschnitte.

403. In Figg. 258 und 259 sind A, B, C, D die den beiden Kegelschnitten k und k, gemeinsamen reellen Punkte und t und t, sind die bezüglichen Tangenten in A. Ist dann AB × CD = L, BC × AD man MN

=

=

=

M, BD × AC = N und setzt 1, NL = m, LM = n, so sind Jt und J1 = tx die Pole von i AB in Bezug auf 1 k und k. Die Punkte und G von 7, in denen sich die gemeinsamen Tangenten der beiden Kegelschnitte paarweise schneiden, teilen die Punktepaare M, N und J, J, harmonisch. Ähnliches gilt für die Seiten m und n. Man sieht, daß in Fig. 258 t und t1 jede Seite des Dreiecks LMN entweder in zwei zwischen den Ecken oder zwei außerhalb liegenden Punkten schneiden; deshalb liefern die gemeinsamen Tangenten auf jeder Seite zwei reelle Schnittpunkte. In Fig. 259 wird dagegen nur eine Seite gleichzeitig von t und t in Punkten geschnitten, von denen keiner zwischen den Ecken liegt.

404. In Figg. 260 und 261 sind i und j die beiden gemeinsamen Sehnen, die je ein Paar konjugiert imaginärer gemeinsamer Punkte von k und k1 tragen. Auf und j liegen Involutionen gemeinsamer harmonischer Pole. P, P' auf i und Q, Q' auf j mögen solche Paare gemeinsamer harmonischer Pole sein. Natürlich muß man zur Festlegung dieser Involutionen auf i und j noch je ein

weiteres Punktepaar kennen. Sucht man dann in jeder der beiden Involutionen zu Li xj den entsprechenden Punkt, so ist ihre Verbindungslinie die Polare von L in Bezug auf beide Kegelschnitte. Die Ecken M und N des Polardreiecks sind diejenigen. Punkte auf, aus denen sich die auf i und j liegenden Involutionen durch die nämliche Strahleninvolution projizieren (396). Man erhält demnach M und N als die beiden Punkte der Geraden 7, die sowohl zu ihren Schnittpunkten mit i und j, als auch zu ihren Schnittpunkten mit PQ' und P'Q harmonisch liegen (vergl. 354). Nimmt man nun noch und J, als Pole von in Bezug auf k resp. k1 an, so sind diese Kegelschnitte bestimmt und können leicht gezeichnet werden. Die Schnittpunkte der gemeinsamen Tangenten mit liegen harmonisch zu M, N und zu J, J. Die Schnittpunkte der gemeinsamen Tangenten mit m (oder n) werden durch L, N (oder L, M) einerseits und durch PJ, P'J, andererseits harmonisch geteilt. In Fig. 260 sind die gemeinsamen Tangenten reell und schneiden auf allen Seiten des Dreiecks LMN reelle Punkte aus.

405. In Fig. 261 sind die gemeinsamen Tangenten paarweise konjugiert imaginär, jedes Paar schneidet sich in einem reellen Punkte von 7. Um dies zu erkennen, schließen wir folgendermaßen: I liegt außerhalb der Kegelschnitte k und k1, denn sonst würden die reellen Sehnen und j durch dieselben in reellen Punkten schneiden. Somit schneidet 7 beide Kegelschnitte in reellen Punkten. Die Schnittpunkte von k mit 7 liegen aber sowohl zu M und N als auch zu J und i harmonisch; demnach befinden sich i× 7 und J entweder beide auf der Strecke MN, oder beide auf ihrer Verlängerung. Auch ix und J müssen sich so verhalten, daß auch J und J entweder beide auf der Strecke MN, oder beide auf ihrer Verlängerung liegen. Es giebt also zwei reelle Punkte G und H auf 1, die gleichzeitig zu M, N und zu J, J1 harmonisch liegen; in jedem von ihnen schneiden sich zwei konjugiert imaginäre gemeinsame Tangenten von k und k1. Dagegen giebt es auf n keine Punkte, die zu L und M, sowie zu den Schnittpunkten von n mit PJ und P'J harmonisch liegen, d. h. die gemeinsamen Tangenten von k und k1 schneiden auf ʼn keine reellen Punkte aus.

406. In Fig. 262 ist i die Sehne durch die reellen Schnittpunkte A und B und j die Sehne durch die konjugiert imaginären. Die letzteren sind wieder durch eine Involution bestimmt, von der P, P' und L= ixj, jxl Punktepaare sind (A und B werden durch L und 7 harmonisch getrennt). Ferner mögen in 4 die Tangenten und t, an k und k, gegeben sein, dann lassen sich die

Kegelschnitte zeichnen. Die Punkte G und H von 1, in denen sich die gemeinsamen reellen bezw. konjugiert imaginären Tangenten schneiden, liegen einerseits harmonisch zu den Polen J und J, von i in Bezug auf k resp. k, und andererseits zu den Polen und Y von j in Bezug auf k und k1.

407. Zwei Kegelschnitte k und k1 bestimmen einen Kegelschnittbüschel, dessen Kurven alle die vier Schnittpunkte von k und k1 als Grundpunkte enthalten. Zu den Kegelschnitten des Büschels gehören auch die Geradenpaare durch diese Grundpunkte, von denen eins oder drei reell sind. Die Schnittpunkte der drei Geradenpaare sind die Ecken des allen Kegelschnitten gemeinsamen Polardreiecks. Zwei Punkte, welche harmonische Pole in Bezug auf k und k, sind, sind es auch in Bezug auf jeden andern Kegelschnitt des Büschels. Die vier gemeinsamen Punkte von k und k,, mögen sie reell oder ganz oder teilweise imaginär sein, liegen stets paarweise auf zwei reellen Geraden i und j. Auf jeder von den beiden Geraden bilden die gemeinsamen harmonischen Pole von k und keine Involution. Ist P ein beliebiger Punkt, so giebt es durch ihn ein Strahlenpaar, das zugleich aus i und j je ein Punktepaar der betreffenden Involutionen ausschneidet. Es ist das nichts anderes als das gemeinsame Strahlenpaar der beiden Strahleninvolutionen, deren Strahlen P mit den Punkten der Involutionen auf i resp. j verbinden. Sei Q, Q' das genannte Punktepaar auf i und R, R' dasjenige auf j, so daß QR und Q'R' durch P gehen, so ist P' = QR' x Q'R der harmonische Pol zu P in Bezug auf k und k, (391). Q, Q' sind aber auch harmonische Pole in Bezug auf jeden andern Kegelschnitt des Büschels, und Gleiches ist für R, R' der Fall. Demnach sind. auch P, P' harmonische Pole für alle Kegelschnitte des Büschels. Die Punktepaare Q, Q' und R, R', die beim Beweise auftreten, sind nach 353 stets reell, solange nicht alle vier Grundpunkte des Büschels reell sind. In diesem Falle können sie auch konjugiert imaginär sein, doch behält auch dann der Beweis mit einiger Modifikation seine Gültigkeit.

Dem obigen Satze kann man noch die folgenden Formen geben. Die Polaren eines beliebigen Punktes in Bezug auf alle Kegelschnitte eines Büschels schneiden sich in einem zweiten Punkt. Auf jeder Geraden schneiden die Kegelschnitte eines Büschels eine Involution aus. Denn jede Gerade enthält ein Paar gemeinsamer harmonischer Pole von k und k1, die somit die gleiche Eigenschaft in Bezug auf alle andern Kegel

schnitte des Büschels besitzen, so daß ihre Schnittpunktpaare zu denselben harmonisch liegen.

408. Den vorstehenden Sätzen lassen wir noch die dualen folgen, ohne sie jedoch besonders zu beweisen. Zwei Kegelschnitte k und k1 bestimmen eine Kegelschnittschar, deren Kurven alle die vier gemeinsamen Tangenten von k und k als Grundlinien berühren. Zu den Kegelschnitten der Schar gehören auch die Punktepaare, in denen sich diese Tangenten, in zwei Paare verteilt, schneiden und von denen eins oder drei reell sind. Die Verbindungslinien der drei Punktepaare sind die Seiten. des allen Kegelschnitten gemeinsamen Polardreiecks. Zwei Gerade, welche harmonische Polaren in Bezug auf k und k sind, sind es auch in Bezug auf jeden andern Kegelschnitt der Schar. Die Pole einer beliebigen Geraden in Bezug auf alle Kegelschnitte einer Schar liegen auf einer zweiten Geraden. In jedem Punkt bilden die Tangentenpaare an alle Kegelschnitte einer Schar eine Involution.

409. Zwei Gerade u und v, die durch reelle Grundpunkte A und B eines Kegelschnittbüschels gezogen sind, werden von seinen Kurven in perspektiven Punktreihen geschnitten. Es seien k, k,, ką,... Kurven des Büschels und s, S1, S2, . . . die Polaren von S = u xv in Bezug auf die einzelnen Kurven, dann gehen alle diese Polaren durch einen Punkt S', der dem Punkt S als harmonischer Pol in Bezug auf den Büschel zugehört (407). Die Polaren s, 81, schneiden demnach auf u und v perspektive Punktreihen U, U1, U2, . . resp. V, V1, V29 Ferner schneiden k, k1, ką, resp. Q, Q1, Q2,

aus.

P, P1, P2,

29

...

82, .

...

i

.

...

auf u und v zwei Punktreihen aus, die sich durch die erst

...

genannten Reihen bestimmen; denn allgemein liegen P und ▲ zu S und U, harmonisch und ebenso Q, und B zu S und V. Deshalb sind die Punktreihen U, U1, U2,... und P, P1, P2, ... projektiv und ebenso die Reihen V, V1, V2 Denn läßt man in Fig. 138 F, J, K, S, T ungeändert und beschreibt E auf FS eine Punktreihe, so beschreibt Reine dazu projektive Reihe. Es müssen nun auch die Reihen P, P1, P2, ... und Q, Q1, Q2, projektiv sein und sogar perspektiv, da S sich selbst entspricht als Schnittpunkt von u und v mit dem nämlichen Kegelschnitt.

Der duale Satz zu dem obigen ist leicht anzugeben.

410. Die beiden Kegelschnitte zu zeichnen, die durch vier gegebene Punkte A, B, C, D gehen und eine gegebene Gerade g berühren. Alle Kegelschnitte durch A, B, C, D bilden