beiden andern Ecken M und N sind ebenfalls reell, solange die Gerade 7 nicht k und k, zugleich schneidet und nicht ihre Schnittpunkte mit k durch einen ihrer Schnittpunkte mit k1 getrennt werden; im andern Falle sind sie konjugiert imaginär.

=

396. Wiederum sei L der reelle Punkt, dem in Bezug auf k und k1 die nämliche Polare 7 zukommt. Legt man nun durch Z irgend eine Gerade g, so liegen ihre Pole G und G1 bezüglich k resp. k auf l. Die Punktreihe auf g und die beiden Strahlbüschel mit den Scheiteln G resp. G, sind projektiv, wenn man jedem Punkt von g seine Polaren bezüglich k resp. k, zuordnet. Die beiden Strahlbüschel haben aber den Strahl GG, entsprechend gemein (da 7 die Polare von L für beide Kegelschnitte ist), sie sind also perspektiv. Demnach liegen die Schnittpunkte ihrer entsprechenden Strahlen, d. h. die harmonischen Pole zu den Punkten von g auf einer Geraden g'. Diese geht ebenfalls durch L, da L der harmonische Pol zu gx ist. Auf diese Weise werden die Strahlen durch einander paarweise zugeordnet derart, daß jedem Punkt des einen ein Punkt des andern als harmonischer Pol in Bezug auf beide Kegelschnitte zukommt. Da das Entsprechen vertauschbar ist, bilden die Strahlenpaare durch L eine Involution. Je zwei gemeinsame harmonische Pole von k und k, liegen auf zwei entsprechenden Strahlen dieser Involution. Alle Punktepaare der Ebene, die zugleich harmonische Pole von k und k, sind, werden aus I durch die Strahlenpaare einer Involution projiziert. Insbesondere bilden die durch Z gehenden Seiten des beiden Kegelschnitten gemeinsamen Polardreiecks ein Strahlenpaar dieser Involution.

397. Die Doppelstrahlen der Strahlen involution mit dem Scheitel Z haben die Eigenschaft, daß jedem Punkt eines solchen Strahles wieder ein Punkt des nämlichen Strahles als gemeinsamer harmonischer Pol (bezw. k und k1) entspricht. Demnach ist jeder Doppelstrahl der Träger einer Punktinvolution, deren Punktepaare harmonische Pole in Bezug auf beide Kegelschnitte sind. Die Doppelelemente der soeben genannten Punktinvolution liegen sowohl auf k wie auf k, (282); durch L gehen also zwei reelle oder konjugiert imaginäre Strahlen, von denen jeder mit beiden Kegelschnitten die nämlichen (reellen oder imaginären) Punkte gemein hat und die man deshalb als gemeinsame Sehnen von k und k bezeichnet. Diese gemeinsamen Sehnen durch L liegen harmonisch zu den beiden von L ausgehenden Seiten des gemeinsamen Polardreiecks (223).

ROHN u. PAPPERITZ. I. 2. Aufl.

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398. Die dualen Betrachtungen ergeben, daß alle Geradenpaare der Ebene, die zugleich harmonische Polaren von k und sind, auf der Seite 7 des gemeinsamen Polardreiecks eine Punktinvolution ausschneiden. Die aufliegenden Ecken des Polardreiecks bilden ein Punktepaar dieser Involution. Ihre Doppelpunkte bilden die Scheitel von Strahleninvolutionen, deren Strahlenpaare harmonische Polaren in Bezug auf beide Kegelschnitte sind. Die Doppelstrahlen dieser Strahleninvolutionen berühren zugleich k und k1 (282); auf l liegen also zwei reelle oder konjugiert imaginäre Punkte, durch jeden von ihnen gehen zwei (reelle oder imaginäre) gemeinsame Tangenten an k und k. Die beiden Punkte auf 7 mit gemeinsamen Tangenten liegen harmonisch zu den beiden auf 7 befindlichen

Ecken des Polardreiecks.

399. In Bezug auf die Realitätsverhältnisse ist noch folgendes zu bemerken. Sind die durch L gehenden Seiten des gemeinsamen Polardreiecks reell, so können die gemeinsamen Sehnen durch L reell oder konjugiert imaginär sein. Sind jene Seiten aber konjugiert imaginär, so müssen die gemeinsamen Sehnen durch Z reell sein (352). Die auf reellen Sehnen durch L liegenden Involutionen gemeinsamer harmonischer Pole haben entweder beide reelle Doppelpunkte, oder keine von ihnen hat reelle Doppelpunkte, oder nur eine von ihnen hat solche. In dem ersten und zweiten Fall können die Punktinvolutionen in zweifacher Weise durch die nämliche reelle Strahleninvolution ausgeschnitten werden (355); die Scheitel dieser Strahleninvolutionen seien M und N. Im ersten Falle besitzen k und k1 vier reelle Schnittpunkte, deren Verbindungslinien (Sehnen) sich paarweise in den reellen Ecken L, M und N des gemeinsamen Polardreiecks schneiden. Im zweiten Falle haben k und k1 zwei Paare konjugiert imaginärer Punkte gemein; durch L gehen zwei reelle, durch M und N je zwei konjugiert imaginäre Sehnen, M und N bestimmen aber wie vorher mit L ein reelles gemeinsames Polardreieck. Im dritten Falle haben k und k, zwei reelle und zwei konjugiert imaginäre Punkte gemein; jetzt ist vom gemeinsamen Polardreieck nur noch eine Ecke L und eine Seite 7 reell, seine beiden auf 7 liegenden Ecken sind jedoch konjugiert imaginär.

Sind die Ecken L, M, N des gemeinsamen Polardreiecks reell, so können nach obigem die beiden Sehnen durch L auch konjugiert imaginär sein. Dann müssen auch die Sehnen durch M (oder N) imaginär sein; denn wären gleichzeitig die Sehnen durch M und N

reell, so besäßen sie vier reelle Schnittpunkte, die zugleich Schnittpunkte von k und k1 wären, und die Sehnen durch L wären ebenfalls reell. Wir haben also hier zwei Strahleninvolutionen mit den Scheiteln L und M, deren Doppelstrahlen die genannten konjugiert imaginären Sehnen sind. Es giebt aber zwei reelle Gerade, von denen jede beide Strahleninvolutionen in der nämlichen Punktinvolution schneidet. Diese beiden reellen Geraden gehen nach 354 u. 355 durch den Punkt N, da dem Strahl LM in den genannten Strahleninvolutionen die Strahlen LN resp. MN entsprechen. Je zwei entsprechende Punkte P und P, der auf einer solchen Geraden liegenden Involution sind gemeinsame harmonische Pole von k und k1; denn sie liefern mit L resp. M verbunden entsprechende Strahlen der bezüglichen Strahleninvolutionen, wie das nach 396 für gemeinsame harmonische Pole sein muß. Die beiden reellen Geraden durch N sind also Träger von Involutionen, deren Punktepaare gemeinsame harmonische Pole von k und k, sind, d. h. jede von ihnen hat mit beiden Kegelschnitten k und k, die nämlichen beiden konjugiert imaginären Punkte gemein. Dieser Fall stimmt also mit dem weiter oben erwähnten zweiten Fall überein, nur spielt hier der Punkt N die Rolle, die dort dem Punkt Z zukommt.

400. Das Prinzip der Dualität gestattet uns noch folgende Resultate den vorigen hinzuzufügen. Besitzen zwei Kegelschnitte k und k, ein gemeinsames reelles Polardreieck LMN, so haben sie entweder vier reelle gemeinsame Tangenten, oder dieselben sind paarweise konjugiert imaginär. Im ersten Falle liegen ihre sechs reellen Schnittpunkte paarweise auf den Seiten des Polardreiecks. Im zweiten Falle liegen nur auf einer Seite des Polardreiecks zwei reelle Punkte, in denen sich je zwei konjugiert imaginäre gemeinsame Tangenten schneiden, während jede der beiden andern Seiten zwei konjugiert imaginäre Schnittpunkte dieser Tangenten trägt. Hat jedoch das gemeinsame Polardreieck von k und k1 nur eine reelle Ecke L und eine reelle Seite 7, so liegen auf 7 zwei reelle Punkte, in denen sich je zwei gemeinsame Tangenten von k und k schneiden. Die gemeinsamen Tangenten aus einem dieser beiden Punkte sind reell, aus dem andern aber konjugiert imaginär. Denn die Annahme, daß die Tangenten aus beiden Punkten reell, oder aus beiden Punkten konjugiert imaginär seien, würde zu einem völlig reellen gemeinsamen Polardreieck führen.

401. Wir fassen nun unsere Resultate in die folgenden Sätze

zusammen:

Zwei Kegelschnitte k und k1 haben stets vier Punkte

und vier Tangenten gemein; die nicht reellen unter ihnen sind paarweise konjugiert imaginär. Ferner besitzen sie

ein gemeinsames Polardreieck, das entweder ganz reell ist, oder eine reelle Ecke und eine reelle Seite aufweist.

Ist das gemeinsame Polardreieck LMN völlig reell, so sind vier verschiedene Fälle zu unterscheiden.

α) Alle Alle gemeinsamen Punkte und Tangenten von und k, sind reell. Dann liegen die Punkte paarweise

auf sechs reellen Strahlen; durch jede Ecke des Polardreiecks gehen zwei von ihnen, sie teilen den bez. Winkel harmonisch. Ebenso schneiden sich die Tangenten paarweise in sechs reellen Punkten;

auf jeder Seite des Polardreiecks liegen zwei von ihnen, sie teilen die bez. Seite harmonisch (Fig. 258).

B) Alle gemeinsamen Punkte sind reell, die gemeinsamen Tangenten aber paarweise konjugiert imaginär. Für die Punkte. gilt wieder das unter a) Gesagte. Auf einer Seite des Polardreiecks liegen zwei reelle Punkte, durch die je zwei konjugiert imaginäre gemeinsame Tan

genten gehen; sie teilen die Seite harmonisch. Die übrigen Schnittpunkte der Tangenten liegen paarweise auf den beiden andern Seiten und sind konjugiert imaginär (Fig. 259).

7) Die gemeinsamen Punkte sind paarweise konjugiert

imaginär, die gemeinsamen Tangenten aber alle reell. Für die Tangenten gilt dann das unter a) Gesagte. Durch eine Ecke des Polardreiecks gehen zwei reelle Strahlen, auf denen je zwei

konjugiert imaginäre

gemeinsame Punkte

liegen; sie teilen den

bez. Winkel harmo

nisch. Die übrigen

Verbindungslinien

der Punkte gehen paarweise durch die beiden andern Ecken und sind konjugiert imaginär (Fig. 260). 5) Sowohl die gemeinsamen Punkte wie die gemeinsamen Tangenten

sind paarweise konjugiert imaginär. Hier gehen durch eine Ecke des Polardreiecks zwei reelle Strahlen, die je zwei konjugiert imaginäre gemeinsame Punkte tragen und den bez. Winkel harmonisch teilen. Zugleich

liegen auf einer Seite desselben zwei reelle Punkte, die je

zwei konjugiert imaginäre gemeinsame Tangenten aussenden und die Seite harmonisch teilen (Fig. 261). Jene Ecke mit den reellen Strahlen und diese Seite mit den reellen Punkten liegen einander gegenüber; der Beweis hierfür findet sich

weiter unten.

Ist vom gemeinsamen Polardreieck nur eine Ecke L und die gegenüberliegende Seite reell, so erhalten wir den weiteren Fall: