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Durchmessers d mit den Geraden n, 09. und OR.... Die halbe Summe der Seiten beider Gleichungen ergiebt wieder: OM: OU = CQ: JO, oder OM. OJ = (OU)”. Man ziehe also im Punkte O der Hyperbel die Tangente t und die Normalen und schneide letztere mit dem zu t parallelen Durchmesser in J und erstere mit einer Asymptote in U, dann ist UM senkrecht zu UJ (Fig. 254). 388. Die Krümmungskreise der Parabel. Es sei d ein Durchmesser, S sein Endpunkt, s die zugehörige Tangente und O ein beliebiger Punkt der Parabel k (Fig. 255). Die Parabeltangente t in O schneidet d in einem Punkte T' und dieser ist der Pol von OP in Bezug auf k (OPs, QO = QP, Q auf d, ST = SQ). T' ist

Fig. 255. Fig. 256.

auch der Pol von OP in Bezug auf einen Kreis k, dessen Mittelpunkt M, aus n durch das von T auf OP gefällte Lot ausgeschnitten wird und dessen Peripherie durch O geht. In der zwischen k und k, bestehenden Perspektive P“ entspricht OP sich selbst und folglich ist das Gleiche bei T der Fall, so daß T auf der Achse a“ von P“ liegt. Nun ziehe man durch O eine Parallele u zu d und bezeichne mit U, U2 und U ihre Pole in Bezug auf k, k, und den Krümmungskreis k. Dann liegen U, U2 und U auf t und zwar ist U unendlich fern, während M, U, und M U auf d senkrecht stehen. In den perspektiven Beziehungen P“ zwischen k und k, sowie P' zwischen k und k entspricht u sich selbst, sonach sind U und U, entsprechende Punkte von P“ und U und U solche von P. Da a“ durch T und a durch 0 geht, gilt die Relation TU: TU, = 0U: 0U oder, da TU: OU = 1 ist: TU, = 0U und TO = U, U. Daraus folgt weiter: M, M = OM, wenn eine in T auf d errichtete Normale durch M, auf n geht, und schließlich OM = M, M.

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Daher folgende Konstruktion. Ist d ein beliebiger Durchmesser der Parabel und s seine Tangente im Endpunkt, sind ferner t und n Tangente und Normale in einem Punkte 0, so errichte man in T=t × d eine Normale auf d und fälle von T ein Lot auf s, dann schneiden diese beiden Geraden auf n die Länge des Krümmungsradius ab.

Ist insbesondere d die Achse und s die Scheiteltangente (Fig. 256), so liegt M, auf d und es ist OM = 2 OR (R =s × n). Auf jeder Parabelnormalen giebt die vom Parabelpunkt und der Achse begrenzte Strecke, vermehrt um die doppelte vom Parabelpunkt und der Scheiteltangente begrenzte Strecke, die Länge des betreffenden Krümmungsradius.

Gemeinsame Elemente zweier Kegelschnitte. Büschel und Scharen von Kegelschnitten. Perspektive Lage zweier beliebiger Kegelschnitte.

389. Vier Punkte einer Ebene bestimmen mit jedem beliebigen fünften Punkte einen Kegelschnitt.

Vier Gerade einer Ebene bestimmen mit jeder beliebigen fünften Geraden einen Kegelschnitt.

Daher gelten die dualen Sätze:

Durch vier Grundpunkte A, B, C, D einer Ebene, von denen keine drei in einer Geraden liegen, gehen unendlich viele Kegelschnitte; ihre Gesamtheit heißt Kegelschnittbüschel. Durch jeden Punkt der Ebene geht ein und nur ein Kegelschnitt des Büschels.

Vier Grundlinien a, b, c, d einer Ebene, von denen keine drei sich in einem Punkte schneiden, werden von unendlich vielen Kegelschnitten berührt; ihre Gesamtheit heißt Kegelschnittschar. Jede Gerade der Ebene wird von einem und nur von einem Kegelschnitt der Schar berührt.

Hiernach ist klar, daß zwei Kegelschnitte k und k vier Schnitt

punkte und vier gemeinsame Tangenten besitzen können; daß sie aber auch immer wirklich vier gemeinsame Punkte und vier gemeinsame Tangenten haben müssen, wird weiterhin gezeigt werden. Zunächst ist hervorzuheben, daß die vier Schnittpunkte (und ebenso die gemeinsamen Tangenten) teilweise, oder alle vier imaginär werden können, denn nach 357 kann man stets einen Kegelschnitt konstruieren, der durch zwei Paare konjugiert imaginärer Punkte und einen reellen Punkt geht, oder der zwei Paare konjugiert imaginärer Geraden und eine reelle Gerade berührt. 390. Zwei Kegelschnitte besitzen stets eine gerade Zahl (0, 2 oder 4) von reellen Schnittpunkten und von reellen gemeinsamen Tangenten. Wir beweisen nur den ersten Teil des Satzes, der zweite folgt dann daraus durch Anwendung des Prinzipes der Dualität. In Bezug auf einen Kegelschnitt k liegen nun die Punkte einer Ebene teils innerhalb und teils außerhalb (259). Der Kegelschnitt k scheidet also die ganze Ebene in zwei Gebiete, von denen das eine die inneren, das andere die äußeren Punkte umfaßt. Bei der Hyperbel giebt es scheinbar zwei getrennte Gebiete innerer Punkte, dieselben hängen aber im Unendlichen zusammen. Denn schneidet eine Gerade beide Hyperbeläste, so liegen die Punkte der von der Hyperbel begrenzten endlichen Strecke außerhalb, die andern Punkte innerhalb der Kurve; die beiden unendlichen Strecken der Geraden hängen aber im Unendlichen zusammen. Das zeigt sich auch, wenn man die Hyperbel als perspektives Bild eines Kreises betrachtet, wobei die innern Punkte der Hyperbel aus den innern Punkten des Kreises hervorgehen. Schneidet daher ein Kegelschnitt k den Kegelschnitt k in einem reellen Punkte A und durchläuft ein Punkt den Kegelschnitt k, der ja eine in sich geschlossene Kurve ist, in einem bestimmten Bewegungssinne, so wird er beim Passieren von A aus seiner Anfangslage im äußeren Gebiete in das innere Gebiet von k übergehen. Nach Durchlaufen des ganzen Kegelschnittes k gelangt der Punkt wieder in seine Anfangslage, d. h. in das äußere Gebiet zurück, er muß also auf seinem Wege nochmals den Kegelschnitt k überschreiten. Ein reeller Schnittpunkt A von k und k erfordert also mindestens einen zweiten reellen Schnittpunkt B, und ganz ebenso überzeugt man sich, daß ein dritter reeller Schnittpunkt einen vierten nach sich zieht. Damit ist aber der obige Satz bewiesen. Wir werden weiterhin erkennen, daß die imaginären Schnittpunkte und gemeinsamen Tangenten von k und k paarweise konjugiert imaginär sein müssen. 391. Die Untersuchung der gemeinsamen Elemente zweier Kegelschnitte k und k basiert auf den Eigenschaften der harmonischen Pole und Polaren, und wir wollen daher, bevor wir in diese Untersuchungen selbst eintreten, folgenden Doppelsatz vorausschicken und beweisen.

Wenn zwei Paare Gegen

ecken eines vollständigen Vierseits harmonische Pole eines Kegelschnittes sind,

so besitzt das dritte Paar die gleiche Eigenschaft; das Vier seit heißt Pol vierseit.

Wenn zwei Paare Gegenseiten eines vollständigen Vierecks harmonische Polaren eines Kegelschnittes sind, so besitzt das dritte Paar die gleiche Eigenschaft; das Viereck heißt Polviereck.

Es seien s eine Seite des Vierseits und A, B, C die auf ihr liegenden Ecken, ferner seien A, B, C die zugehörigen Gegenecken. In Bezug auf einen gegebenen Kegelschnitt k mögen A, A' und ebenso B, B' harmonische Pole und S der Pol von s sein (Fig. 257). Dann ist SA die Polare von A, denn diese muß einerseits durch den Pol S von s und andererseits durch den zu A harmonischen Pol A' gehen; ebenso ist SB' die Polare von B. Die harmonischen Polaren durch S bestimmen eine Involution, von der SA und SA, sowie SB und SB je ein Strahlenpaar vorstellen. Nach 229 bilden auch SC und SC ein Strahlenpaar der genannten Involution und sind somit harmonische Polaren. Daraus folgt weiter, daß C der Pol von SC ist, denn der Pol von SC“ liegt sowohl Fig. 257. auf der zugehörigen harmonischen Polare SC als auf der Polare s von S. Damit ist der erste Satz bewiesen, das Gesetz der Dualität liefert sodann den zweiten

392. Wir gehen bei unseren weiteren Betrachtungen von zwei beliebigen, einer Ebene angehörigen Kegelschnitten k und k aus. Offenbar giebt es im allgemeinen zu jedem Punkte P der Ebene einen einzigen harmonischen Pol P. in Bezug auf beide Kegelschnitte. Sind p und p, die Polaren von P bezüglich k resp. k., so ist P=p × p, bezüglich beider Kegelschnitte der zu P gehörige harmonische Pol. Hier gilt nun ersichtlich der Satz: Bewegt sich ein Punkt P auf einer Geraden g, so bewegt sich der ihm in Bezug auf k und k zugehörige harmonische Pol P. auf einem Kegelschnitt g; dieser enthält die Pole G. und G. von g bezüglich k resp. k. Denn dem Punkte P von g gehören hinsichtlich k resp. k., zwei Polaren p resp. p zu, die durch Gresp. G gehen. Bewegt sich also P auf g, so drehen sich p und p, um G und G respektive; dabei ist nach 281 die von P auf g erzeugte Punktreihe projektiv zu den von presp. p, erzeugten Strahlbüscheln mit den Scheiteln G resp. G. Diese Büschel sind somit selbst projektiv und erzeugen einen Kegelschnitt g, der durch ihre Scheitel hindurchgeht.

Auf jeder Geraden g liegen zwei reelle oder konjugiert imaginäre, gemeinsame harmonische Pole von k und k1. Denn auf g bilden die harmonischen Pole von k eine Involution und die harmonischen Pole von k eine andere Involution; beide haben aber ein reelles oder konjugiert imaginäres Punktepaar gemein, Konjugiert imaginär sind die gemeinsamen harmonischen Pole aufg nach 353 nur dann, wenn g beide Kegelschnitte in reellen Punkten schneidet und die Schnittpunkte von g mit jedem von ihnen durch den andern getrennt werden. 393. Den soeben abgeleiteten Resultaten stehen die folgenden dual gegenüber. Zu jeder Geraden giebt es eine einzige Gerade, die ihr in Bezug auf zwei Kegelschnitte k und k als harmonische Polare zugehört. Dreht sich eine Gerade um einen Punkt P, so umhüllt die ihr in Bezug auf k und k zugehörige harmonische Polare einen Kegelschnitt; dieser berührt die Polaren p und p von P bezüglich k resp. k. Durch jeden Punkt P gehen zwei reelle oder konjugiert imaginäre, gemeinsame harmonische Polaren von k. und k. Konjugiert imaginär werden diese harmonischen Polaren nur dann, wenn man aus P an jeden der beiden Kegelschnitte ein reelles Tangentenpaar legen kann und jedes Tangentenpaar durch das andere getrennt wird. 394. Wir betrachten jetzt zwei Gerade g und h und bestimmen ganz wie in 392 die zugehörigen Kegelschnitte g' und h', deren Punkte die harmonischen Pole zu den Punkten von g resp. h in Bezug auf beide Kegelschnitte k und k sind. Dem Schnittpunkt S = g × h gehört als harmonischer Pol bezüglich k und k, ein Punkt So zu, der zugleich auf g' und h' liegt. Demnach haben die Kegelschnitte g' und h' noch mindestens einen weiteren reellen Schnittpunkt L gemein. Da der Punkt L sowohl auf g' als auf h liegt, gehört ihm sowohl auf g als auf h ein harmonischer Pol zu. Die Verbindungslinie l dieser beiden Pole ist somit die Polare von L. hinsichtlich beider Kegelschnitte k und k, denn die Polare eines Punktes enthält alle seine harmonischen Pole (280). Es giebt stets einen reellen Punkt L, dem in Bezug auf zwei gegebene Kegelschnitte k und k die nämliche Polare l zukommt. 395. Auf l liegen nach 392 zwei reelle oder konjugiert imaginäre, gemeinsame harmonische Pole von k. und k. Diese bilden zusammen mit L die Ecken eines beiden Kegelschnitten gemeinsamen Polardreiecks, da je zwei seiner Ecken harmonische Pole bezüglich beider Kegelschnitte sind. Zwei Kegelschnitte k und k besitzen immer ein gemeinsames Polardreieck; von diesem ist stets eine Ecke L und die gegenüberliegende Seite l reell. Die

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