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Geraden PQ entspricht vermöge B' die Gerade PG, die sich mit PQ im Punkte G von a schneidet und zu PQ2 parallel, also zu OQ normal ist.

P1 und P sind entsprechende Punkte der ähnlich liegenden Kreise k und k2; OP, ist also der auf der Achse von k liegende Durchmesser des Krümmungskreises k. Für seinen Mittelpunkt M1, den zu O gehörigen Krümmungsmittelpunkt, ergiebt sich folgende Konstruktion. Man ziehe in den Scheiteln O und Q die Parallelen zu den Achsen der Ellipse und fälle von ihrem Schnittpunkt J ein Lot auf OQ; dieses schneidet auf beiden Achsen die Krümmungsmittelpunkte aus. Denn ist der Mittelpunkt von OG und folglich M, der von OP1.

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9

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382. Ist OP die Achse einer Hyperbel k mit den Asymptoten g und r, so ziehe man wieder (Fig. 247) den Kreis k2 über OP als Durchmesser, dann stehen a" und a wieder auf OP in P resp. 0 senkrecht. Der zu q parallele Strahl durch O schneide k2 in Q2, der zu q parallele Strahl durch P schneide a' in G. Ziehen wir noch durch G eine Parallele zu PQ2, so schneidet sie auf der Hyperbelachse den Durchmesser OP1 des Krümmungskreises k, ab. In der That entspricht dem unendlich fernen Punkt von q vermöge " der Punkt Q2 von k2, also der Geraden PG die Gerade PQ2. Ferner entspricht der Geraden PG vermöge P' die zu PQ2 parallele Gerade GP1. Hieraus folgt die Konstruktion. Im Schnittpunkt J der Scheiteltangente a' mit einer Asymptote q errichte man eine Senkrechte auf der letzteren, so geht sie durch den Krümmungsmittelpunkt M. Denn J halbiert OG und M, ebenso die Strecke OP1.

383. Kennt man von einem Kegelschnitt k (Ellipse oder Hyperbel) die Lage zweier konjugierter Durchmesser a und y, sowie

(einen Punkt O mit seiner Tangente t und seiner Normalen ʼn Fig. 248), so findet man den Krümmungskreis k, in O und sein Centrum M, durch folgende Überlegung. Es seien T und U die Schnittpunkte von t mit y und x, dann ziehe man durch T eine Senkrechte zu x, die n in M2 schneiden mag. M. ist das Centrum eines Kreises ką, der k in O berührt, und T besitzt in Bezug auf k und k2 dieselbe Polare, nämlich eine Parallele zu x durch O. In der Perspektive P", die zwischen k und k, besteht, entspricht aber diese Parallele sich selbst, folglich entsprechen sich auch ihre Pole, die hier in 7 zusammenfallen; somit ist Tein Punkt der Achse a" von P". Ferner ziehe man durch O eine Parallele zu y; ihr Pol

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2

Fig. 248.

2

in Bezug auf k ist U, ihre Pole bezüglich k2 und k, seien U, und U1, sie liegen auft und es müssen MU2 und M11 auf y senkrecht stehen. Die perspektiven Beziehungen P" zwischen k und ką und Pzwischen k und k1 lassen aber die Strahlen durch O ungeändert, folglich sind U und U, entsprechende Punkte von " und U und U, solche von P. Da a" und a' respektive durch T und O gehen, so haben wir nach 379 die Relation TU: TU2 = OU: OU1. Liegt auf TM2 und ist VU || MU2, schneidet ferner das von 0 auf x gefällte Lot die Geraden UV und UM, in J und K respektive, so ist TU: TU2 TV: TM2 OU: OU. Demnach ist UK|| UJ, oder UK ¦ y, d. h. UK geht durch M1. Das liefert eine Konstruktion für M. Man ziehe durch 7 und O Senkrechte zu r, schneide die erstere mit ʼn in M, und die letztere mit M2U in K, dann schneidet das von K auf y gefällte Lot auf n den Krümmungsmittelpunkt M, aus.

=

=

OJ: OK

=

Ziehen wir noch die Gerade OV und bestimmen auf ihr den Punkt L so, daß LM, ||t wird, so ist TU: TU2 = TV: TM, OV: OL=

2

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OU: OU1; demnach ist U1L || UV und geht durch M1. Das führt zu folgender Konstruktion. Man fälle von T und U bezw. die Lote auf rund y, die sich in schneiden, und schneide das erstere mit n in M. Jetzt ziehe man durch M2 eine Parallele zu t und schneide sie mit OV in L, dann geht die durch I senkrecht zu y gezogene Gerade durch M.

In den Figuren 249 und 250 sind statt zweier konjugierter Durchmesser die Achsen x und y angenommen, was die angegebenen

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Konstruktionen noch etwas vereinfacht. Man verbinde M2 = y xn mit U = x×t, ziehe durch O eine Parallele zu y und schneide sie mit MU in K, dann liegt M1 auf einer Parallelen zu r durch K. Oder man ziehe den Durchmesser durch O und schneide ihn mit einer Parallelen zu t durch M, in L, dann ist LM1 || x.

2

384. Wir behandeln jetzt den Fall, daß von einer Ellipse k

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wir von T auf OQ ein Lot und machen seinen Schnittpunkt M2 mit n zum Mittelpunkt des Kreises k2. In der Perspektive P", die

=

2

=

2

=

1

k in k2 überführt, entspricht der Strahl OQ und auch der Punkt T sich selbst, da dem Strahl OQ sowohl in Bezug auf k als in Bezug auf k der nämliche Pol 7 zugehört. Demnach ist T ein Punkt der Achse a" von ", während die Achse a' der perspektiven Beziehung P' zwischen Ellipse k und Krümmungskreis k1 durch O hindurchgeht. Sind nun U, U, und U, die Pole von OR bezüglich k, ką und k1, so lassen P" und P' den Strahl OR ungeändert, sie führen also den Punkt U bezw. in die Punkte U2 und U1 über (U, U1 und U2 auf t). Nach 379 besteht deshalb die Relation: OU: OU1 TU: TU2, und da OU TU ist, folgt weiter: OU1 = 1⁄2 TU, (OU + OU), d. h. UU1 = UU2. Da U2 und U, die Pole von OR in Bezug auf k2 und k1 sind, stehen M2U2 und M1Ụ1 auf OR senkrecht. Zieht man noch durch U eine Senkrechte zu OR, so schneidet sie n in einem Punkte M, und es ist MM2 = MM. Schreibt man also der Ellipse k in den Endpunkten zweier konjugierter Durchmesser ein Parallelogramm um, errichtet im Mittelpunkt O der einen Seite die Normale n und fällt von den Endpunkten dieser Seite die Lote auf die Diagonalen des Parallelogramms, so schneiden sie auf n eine Strecke aus, deren Mittelpunkt das Centrum des Krümmungskreises ist.

t

3

T

2

2

=

1

=

3

385. Hieraus ergiebt sich noch eine einfachere Konstruktion, wenn man bedenkt, daß JQ: JO = OM2 : OT und JR: JO = OM,: OU ist. Denn bildet man die halbe Summe dieser Relationen, so erhält man: CQ: JO OM, OU oder ОЈ . ОМ, (OU)2. Das besagt aber, daß UM, auf TJ senkrecht steht (Fig. 252). Man ziehe also in O die Tangente t und die Normale n, trage auf t die Strecken OT = OU = CQ auf und fälle von U das Lot auf die Verbindungs

R

M1

P
Fig. 252.

linie von T mit J, dem Schnittpunkt von n und QR; dieses Lot schneidet dann auf n den Krümmungsmittelpunkt M1 von k1 aus.

Diese Resultate lassen sich auch aus Nummer 383 einfach ableiten, wenn man dort CT und CU als konjugierte Durchmesser r und y benutzt.

386. Ganz analog zu den letzten Darlegungen gestalten sich die Verhältnisse bei einer Hyperbel k mit dem Mittelpunkt C, wenn ihre beiden Asymptoten q und r und der Punkt O gegeben sind (Fig. 253). Man ziehe in O die Tangente t und die Normale n;

erstere schneide q und r respektive in T und U, dann ist bekanntlich OT OU, woraus sich die Lage von t ergiebt. Hierauf errichte

=

K2

M

M

2

k

man in T eine Normale auf q und mache seinen Schnittpunkt M2 mit n zum Mittelpunkte des Kreises k.. Bedeutet Q den unendlich fernen. Punkt der Asymptote q, so ist T der Pol von OQ sowohl in Bezug auf k als in Bezug auf k. Bei der perspektiven Beziehung P" zwischen k und k, entspricht demnach sich T selbst und liegt somit auf der Achse a". Sind ferner U, U2 und U1 die Pole von OR (R. unendlich ferner Punkt von r) bezüglich k, ką und k1, so

2

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1

entsprechen dem Punkte U vermöge " und P' die

2

=

R

t

Fig. 253.

TU: TU2, aus der wiederum UU,

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=

d

U. U, folgt. Da U

1

Punkte U2 und U1 und es besteht nach 379 wieder die Relation OU: OU1 und U2 die Pole von OR in Bezug auf k, und kg sind, stehen MU1 und MU2 auf OR senkrecht. Zieht man noch durch U eine Senkrechte zu OR, so schneidet sie n in einem Punkte M, und es ist MM2 = M, M2. Errichtet

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man also in den Schnittpunkten einer Hyperbeltangente t mit den Asymptoten auf diesen die Normalen, so schneiden sie auf der zugehörigen Normalen n eine Strecke aus, die vom Krümmungsmittelpunkt halbiert

wird.

387. Hieraus leitet man

eine noch einfachere Kon

struktion ab durch Benutzung

=

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der Relationen OM, OT JQ: JO und OM, OU=JR: JO. Dabei bedeuten J, Q und R die Schnittpunkte des zu OC konjugierten

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