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Geraden PQ entspricht vermöge P' die Gerade PG, die sich mit PQim Punkte G von a schneidet und zu PQ, parallel, also zu OQ normal ist. P und P sind entsprechende Punkte der ähnlich liegenden Kreise k und k2; OP ist also der auf der Achse von k liegende Durchmesser des Krümmungskreises k. Für seinen Mittelpunkt M, den zu O gehörigen Krümmungsmittelpunkt, ergiebt sich folgende Konstruktion. Man ziehe in den Scheiteln O und Q die Parallelen zu den Achsen der Ellipse und fälle von ihrem Schnittpunkt J ein Lot auf 0Q; dieses schneidet auf beiden Achsen die Krümmungsmittelpunkte aus. Denn J ist der Mittelpunkt von OG und folglich M der von OP.

Fig. 246. Fig. 247.

382. Ist OP die Achse einer Hyperbel k mit den Asymptoten q und r, so ziehe man wieder (Fig. 247) den Kreis k, über OP als Durchmesser, dann stehen a“ und a wieder auf OP in P resp. 0 senkrecht. Der zu q parallele Strahl durch O schneide k2 in Q2, der zu q parallele Strahl durch P schneide a in G. Ziehen wir noch durch G eine Parallele zu PQ, so schneidet sie auf der Hyperbelachse den Durchmesser OP des Krümmungskreises k, ab. In der That entspricht dem unendlich fernen Punkt von q vermöge P“ der Punkt Q, von k, also der Geraden PG die Gerade PQ, Ferner entspricht der Geraden PG vermöge P die zu PQ, parallele Gerade GP. Hieraus folgt die Konstruktion. Im Schnittpunkt J der Scheiteltangente a mit einer Asymptote q errichte man eine Senkrechte auf der letzteren, so geht sie durch den Krümmungsmittelpunkt M. Denn J halbiert OG und M ebenso die Strecke OP.

383. Kennt man von einem Kegelschnitt k (Ellipse oder Hyperbel) die Lage zweier konjugierter Durchmesser r und y, sowie (einen Punkt O mit seiner Tangente t und seiner Normalen n Fig. 248), so findet man den Krümmungskreis k in O und sein Centrum M durch folgende Überlegung. Es seien T und U die Schnittpunkte von t mit y und x, dann ziehe man durch T eine Senkrechte zu r, die n in M, schneiden mag. M, ist das Centrum eines Kreises k, der k in O berührt, und T' besitzt in Bezug auf k und k, dieselbe Polare, nämlich eine Parallele zu r durch O. In der Perspektive P“, die zwischen k und k, besteht, entspricht aber diese Parallele sich selbst, folglich entsprechen sich auch ihre Pole, die hier in T' zusammenfallen; somit ist T' ein Punkt der Achse a von P“. Ferner ziehe man durch O eine Parallele zu y; ihr Pol

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Fig. 248.

in Bezug auf k ist U, ihre Pole bezüglich k, und k seien U2 und U, sie liegen auf t und es müssen M, U, und MU auf y senkrecht stehen. Die perspektiven Beziehungen P“ zwischen k und k, und P zwischen k und k lassen aber die Strahlen durch O ungeändert, folglich sind U und U2 entsprechende Punkte von P“ und U und U solche von P. Da a“ und a respektive durch T und O gehen, so haben wir nach 379 die Relation TU: TU, = OU: OU. Liegt Y auf TM, und ist YUM, U2, schneidet ferner das von 0 auf r gefällte Lot die Geraden UY und UM, in J und K respektive, so ist TU: TU, = TY: TM, = 0/: OK = 0U: OU. Demnach ist UK UJ, oder UK Ly, d. h. U K geht durch M. Das liefert eine Konstruktion für M. Man ziehe durch T und O Senkrechte zu r, schneide die erstere mit n in M, und die letztere mit M, U in K, dann schneidet das von Kauf y gefällte Lot auf n den Krümmungsmittelpunkt M aus.

Ziehen wir noch die Gerade OY und bestimmen auf ihr den Punkt L so, daß LM | t wird, so ist TU: TU,= TY: TM,= OY: OL= OU: OU; demnach ist U L UY und geht durch M. Das führt zu folgender Konstruktion. Man fälle von T und U bezw. die Lote auf x und y, die sich in Y schneiden, und schneide das erstere mit n in M... Jetzt ziehe man durch M, eine Parallele zu t und schneide sie mit OY in L, dann geht die durch L. senkrecht zu y gezogene Gerade durch M. In den Figuren 249 und 250 sind statt zweier konjugierter Durchmesser die Achsen r und y angenommen, was die angegebenen

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Fig. 249. Fig. 250.

Konstruktionen noch etwas vereinfacht. Man verbinde M, = y × n mit U = r × t, ziehe durch O eine Parallele zu y und schneide sie mit M, U in K, dann liegt M auf einer Parallelen zu r durch K. Oder man ziehe den Durchmesser durch O und schneide ihn mit einer Parallelen zu t durch M, in L, dann ist LM | r. 384. Wir behandeln jetzt den Fall, daß von einer Ellipse k zwei konjugierte Durchmesser OP und QR gegeben sind, die sich im Mittelpunkte C schneiden (Fig. 251) und suchen den Krümmungsradius im Endpunkt eines Durchmessers. Dazu ziehen wir die Tangente t und die Normale n in O und außerdem die Tangenten in Q * und R, welche t in T resp. U schneiden. Dann fällen wir von T auf 0Q ein Lot und machen seinen Schnittpunkt M, mit n zum Mittelpunkt des Kreises ko. In der Perspektive P“, die

Fig. 251.

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k in k, überführt, entspricht der Strahl 0Q und auch der Punkt T sich selbst, da dem Strahl OQ sowohl in Bezug auf k als in Bezug auf k, der nämliche Pol T zugehört. Demnach ist T ein Punkt der Achse a“ von P“, während die Achse a' der perspektiven Beziehung P' zwischen Ellipse k und Krümmungskreis k durch 0 hindurchgeht. Sind nun U, U, und U die Pole von OR bezüglich k, k. und k1, so lassen P“ und P' den Strahl OJ ungeändert, sie führen also den Punkt U bezw. in die Punkte U2 und U über (U, U und U, auf t). Nach 379 besteht deshalb die Relation: OU: OU = TU: TU, und da 0U = ? TU ist, folgt weiter: OU = ? TU = (OU + 0U), d. h. UU = UU.. Da U2 und U die Pole von OR in Bezug auf k, und k sind, stehen M, U, und M, U auf OR senkrecht. Zieht man noch durch U eine Senkrechte zu OR, so schneidet sie n in einem Punkte M, und es ist M M, = MM, Schreibt man also der Ellipse k in den Endpunkten zweier konjugierter Durchmesser ein Parallelogramm um, errichtet im Mittelpunkt O der einen Seite die Normale n und fällt von den Endpunkten dieser Seite die Lote auf die Diagonalen des Parallelogramms, so schneiden sie auf n eine Strecke aus, deren Mittelpunkt das Centrum des Krümmungskreises ist. 385. Hieraus ergiebt sich noch eine einfachere Konstruktion, wenn man bedenkt, daß JQ: JO = 0M, : 0T und JR: JO = 0M.: 0U ist. Denn bildet man die halbe Summe dieser Relationen, so erhält man: CQ: JO = OM: OU oder OJ. OM = (OU)”. Das besagt aber, daß UM, auf TJ senkrecht steht (Fig. 252). Man ziehe also in O die Tangente t und die Normale n, trage auf t die Strecken - OT = OU = CQ auf und fälle von Fig. 252. U das Lot auf die Verbindungslinie von T mit J, dem Schnittpunkt von n und QR; dieses Lot schneidet dann auf n den Krümmungsmittelpunkt M von k aus. Diese Resultate lassen sich auch aus Nummer 383 einfach ableiten, wenn man dort CT und CU als konjugierte Durchmesser r und y benutzt. 386. Ganz analog zu den letzten Darlegungen gestalten sich die Verhältnisse bei einer Hyperbel k mit dem Mittelpunkt C, wenn ihre beiden Asymptoten q und r und der Punkt 0 gegeben sind (Fig. 253). Man ziehe in O die Tangente t und die Normale n;

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erstere schneide q und r respektive in T und U, dann ist bekanntlich OT = OU, woraus sich die Lage von t ergiebt. Hierauf errichte man in T eine Normale auf q und mache seinen Schnittpunkt M, mit n zum Mittelpunkte des Kreises k... Bedeutet Q den unendlich fernen Punkt der Asymptote q, so ist T der Pol von 09. sowohl in Bezug auf k als in Bezug auf k2. Bei der perspektiven Beziehung P“ zwischen k und k, entspricht demnach T sich selbst und liegt somit auf der Achse a“. Sind ferner U, U2 und U die Pole von OR. (R. unendlich ferner Punkt von r) bezüglich k, k, und ki, so entsprechen dem Punkte U Fig. 253. vermöge P“ und P' die Punkte U2 und U und es besteht nach 379 wieder die Relation OU: 0U = TU: TU, aus der wiederum UU = U U, folgt. Da U und U, die Pole von OR in Bezug auf k und kg sind, stehen M U und M, U, auf OR senkrecht. Zieht man noch durch U eine Senkrechte zu OR., so schneidet sie n in einem Punkte M, und es ist MM, = MM/. Errichtet man also in den Schnittpunkten einer Hyperbeltangente t mit den Asymptoten auf diesen die Normalen, so schneiden sie auf der zugehörigen Normalen n eine Strecke aus, die vom Krümmungsmittelpunkt halbiert wird. 387. Hieraus leitet man eine noch einfachere Konstruktion ab durch Benutzung der Relationen OM.: OT = JQ: J0 und 0M : 0 U= JR: J0. Dabei bedeuten J, Q und R die Schnittpunkte des zu OC konjugierten

Fig. 254.

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