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mit ihren Asymptoten, so gelten infolge des Satzes in 365 die Gleichungen: z AFB = Z - MFU und z_ AFB = Z - MFU, wenn U der unendlich ferne Punkt auf einer Asymptote ist (Fig. 241). Die

Fig. 240. Fig. 241.

Summe der Winkel AFB und AFB beträgt sonach 180°, und es gilt der Satz:

Die beiden Schnittpunkte einer Tangente der Hyperbel

mit ihren Asymptoten liegen mit den beiden Brennpunkten auf einem Kreise.

375. Haben zwei Kegelschnitte beide reellen und folglich auch alle imaginären Brennpunkte gemein, so heißen sie konfokal. Die Schenkel der rechten Winkel in einem reellen Brennpunkt F schneiden ja die Nebenachse in den Punktepaaren einer Involution, deren konjugiert imaginäre Doppelpunkte nach der Definition ebenfalls als Brennpunkte zu gelten haben. Auch auf der unendlich fernen Geraden bestimmen die genannten Rechtwinkelstrahlen eine Involution, deren konjugiert imaginäre Doppelpunkte als Brennpunkte anzusehen sind. Die nämliche Involution wird von den rechtwinkligen Durchmessern eines jeden Kreises auf der unendlich fernen Geraden ausgeschnitten; ihre Doppelpunkte sind deshalb die allen Kreisen gemeinsamen konjugiert, imaginären, unendlich fernen Punkte.

Die Gesamtheit aller Kegelschnitte mit denselben Brennpunkten bezeichnet man als konfokale Kegelschnittschar.

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Liegen beide Brennpunkte F' und F" im Endlichen (Fig. 242), so besteht die konfokale Schar aus Ellipsen und Hyperbeln, deren Achsen zusammenfallen. Durch jeden Punkt P der Ebene geht eine Ellipse und eine Hyperbel dieser Schar, die sich rechtwinklig sehneiden. Denn die Tangente der Ellipse halbiert den Z_ FPF, die Tangente der Hyperbel aber dessen Nebenwinkel (Fig. 230). Aus den Achsen, einem Punkt und der zugehörigen Tangente lassen sich aber von der Ellipse und der Hyperbel leicht beliebig viele Punkte und Tangenten zeichnen. Legt man um die Brennpunkte F und FSysteme konzentrischer Kreise, deren Radien Vielfache einer und derselben Strecke sind, so gehören die Schnittpunkte solcher Kreise der beiden Systeme, für welche die Summe ./ oder Differenz der Radien gleich groß ist, je einer Kurve der konfokalen Schar an.

376. Liegt ein Brennpunkt F im Endlichen, der andere F” unendlich fern (Fig. 243), so enthält die konfokale Schar nur Parabeln, deren Achsen zusammenfallen und deren Scheitel auf beiden Seiten des Brennpunktes liegen. Durch jeden Punkt P der Ebene gehen zwei Parabeln der Schar, die sich rechtwinklig schneiden und deren Scheitel durch F getrennt werden. Die Tangente der einen Parabel halbiert den Winkel FPF", die der andern seinen Nebenwinkel. Legt man um F ein System konzentrischer

Fig. 242.

Fig. 243.

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Kreise, deren Radien Vielfache derselben Strecke sind, und zieht ein System von Parallelen senkrecht zur Achse, deren Abstände von F ebenfalls Vielfache der nämlichen Strecke sind, so kann jede von diesen Parallelen einer Parabel als Leitlinie dienen. Die Schnittpunkte der konzentrischen Kreise mit den Parallelen, deren Abstand von der gewählten Leitlinie dem betreffenden Kreisradius gleich ist, liegen jedesmal auf einer Kurve der Schar. 377. In beiden konfokalen Kegelschnittscharen schneiden sich die Kurven der gleichen Art nicht, die Kurven verschiedener Art aber unter rechten Winkeln. Aus 371 folgt noch, daß je zwei rechtwinklige Strahlen, welche harmonische Polaren für einen Kegelschnitt der konfokalen Schar sind, die gleiche Eigenschaft in Bezug auf alle Kegelschnitte der Schar besitzen. Denn die von solchen Strahlen auf einer Achse ausgeschnittene Involution ist durch die gegebenen Brennpunkte bestimmt. Insbesondere folgt: Die Winkel der Tangentenpaare aus einem beliebigen Punkte der Ebene an die Kegelschnitte einer konfokalen Schar haben dieselben Halbierungslinien.

Krümmungskreise der Kegelschnitte.

378. Es giebt unendlich viele Kreise, die einen Kegelschnitt k in einem gegebenen Punkte O berühren; sie berühren alle die Tangente t im Punkte O von k und ihre Mittelpunkte liegen auf der zugehörigen Normalen n des Kegelschnittes. Man wähle nun einen Kreis, der den Kegelschnitt k noch in einem Punkte P schneidet und lasse P sich allmählich dem Berührungspunkte 0 nähern. Dann ändert sich auch der Kreis, der k in O berührt und in P schneidet. Läßt man schließlich P nach O rücken, so wird der bezügliche Kreis den Kegelschnitt in O gleichzeitig berühren und schneiden, d. h. er wird k in O berühren und dort zugleich von der einen Seite von k auf die andere übertreten. Ein solches Verhalten eines Kreises gegen einen Kegelschnitt wird als Oskulation bezeichnet, der Kreis selbst heißt Oskulations- oder Krümmungskreis. Während also die Berührung zweier Kurven durch Zusammenrücken zweier Schnittpunkte entsteht, entsteht die Oskulation durch Zusammenrücken eines Berührungs- und eines Schnittpunktes, oder dreier Schnittpunkte. Der Krümmungskreis schmiegt sich also im Punkte 0 enger an den Kegelschnitt an, als die andern berührenden Kreise.”) Berührt insbesondere der Kreis den Kegelschnitt in einem Scheitel, so schneidet er ihn noch in zwei zur Achse symmetrischen Punkten; diese rücken gleichzeitig in den Scheitel, wenn der Kreis in den Krümmungskreis übergeht. 379. Es seien jetzt k und k, irgend zwei Kreise, welche k in O berühren. Nach den Ausführungen in 307 bestehen dann sowohl zwischen k und k, als zwischen k und k, perspektive Beziehungen, deren Centren in O liegen. Sei P die Perspektive zwischen k und k, , a ihre Achse und P, P ein Paar entsprechender Punkte; sei ferner P“ die Perspektive zwischen k und k, a“ ihre Achse und P, P, ein Paar entsprechender Punkte. Die Punkte P, P, P, liegen auf einem Strahl durch O, dem Centrum von P' und P“. Es ist aber offenbar 0 auch ein Ähnlichkeitscentrum für die beiden Kreise k, und k, und es sind P und P, entsprechende Punkte einer zwischen ihnen bestehenden Ähnlichkeitsbeziehung A. Wendet man auf k zunächst die Perspektive P' an, so erhält man k2, und von k2 gelangt man zu k durch A. Dabei geht P zunächst in P, und dieser Punkt dann in P über; ebenso gehen zwei durch P gelegte Gerade g und h vermöge P“ in die Geraden g, und h, durch P, und die letzteren vermöge A in g und h, durch P über (Fig. 244) (g, g, h, h,). Durch die Perspektive P wird aber k direkt in k und ebenso Fig. Ä werden P, g, h direkt in P, g, h, übergeführt; deshalb müssen die Punkte g, und h × h, auf a, die Punkte g × g und h × h auf a liegen. Daraus folgt, daß a und a“ parallel sind und daß a die Strecke PP in dem gleichen Verhältnis teilt, wie a die Strecke PP. Die Perspektivitätsachse a“ schneidet k und k, in denselben beiden reellen oder konjugiert imaginären Punkten, in gleicher Weise verhält sich a zu k und k. Wir erkennen also, daß alle Kreise, die einen Kegelschnitt in dem nämlichen Punkte berühren, ihn noch in je zwei weiteren (reellen oder konjugiert imaginären) Punkten schneiden, deren Verbindungslinien parallel laufen. 380. Ist im besonderen k der Krümmungskreis des Kegelschnittes k im Punkte 0, so muß die Achse a der zwischen k und k, bestehenden perspektiven Beziehung P durch O hindurchgehen. Denn die Achse schneidet k in zwei Punkten, durch die auch kl geht, und der Krümmungskreis ist nach obigem dadurch definiert, daß einer dieser Schnittpunkte mit dem Berührungspunkt O zusammenfällt. Wir können hiernach die Aufgabe lösen: Den Krümmungskreis k in einem Punkte O eines Kegelschnittes k zu bestimmen, wenn von demselben fünf Punkte O, P, Q, R, S gegeben sind. Zunächst zeichnen wir nach 270 die Tangente t im Punkte O von k und die zugehörige Normalen, ferner einen beliebigen Kreis k, der t in 0 berührt. Die Strahlen OP, 00, OR werden k, in P%, Q2, R, respektive schneiden, und es sind QR und Q„R, sowie PQ und PQ, entsprechende Gerade der Perspektive P“, so daß ihre Schnittpunkte auf der zugehörigen Achse a liegen (Fig. 245). Nun ziehe man durch O zu a“ die Parallele a, dann ist nach obigem PQ | PQ2 und schneidet sich mit PQ auf a. Um den Mittelpunkt M des Krümmungskreises k. zu finden, verbinde man P. mit dem Mittelpunkt M, von k2, schneide diese GeFig. 245. rade mit a“ in U, ziehe PU und durch a × PU = Y die Parallele WM zu P, M... In der That müssen der Geraden PU vermöge der perspektiven Beziehungen P“ und P zwei Parallele P, U und P / entsprechen, von denen die erstere durch M, und folglich die letztere durch M. geht. 381. Die zwischen dem Kegelschnitt k und den Kreisen k, und k, (Krümmungskreis) bestehenden perspektiven Beziehungen P“ und P können dazu verwendet werden die Krümmungskreise auch in den Fällen zu konstruieren, wo die Achsen oder ein Paar konjugierte Durchmesser des Kegelschnittes k gegeben sind. Dabei lassen sich jedoch bedeutende Vereinfachungen der Konstruktion erzielen, die wir noch eingehender verfolgen wollen. Ist der Krümmungskreis im Scheitel O einer Ellipse k mit den Achsen OP und QR zu finden, so ziehe man (Fig. 246) den Kreis k, über OP als Durchmesser, dann stehen a“ und a' (die Achsen der Perspektiven Po und P) in P resp. 0 auf OP senkrecht. Der Strahl 0Q schneidet k, in Q, und es entsprechen sich in P“ die Geraden PQ und PQ, Der

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