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G„, so entsprechen den Punkten F P, G„, U, wo U den unendlich fernen Punkt von g bezeichnet, die Punkte F, P, U, G„ Demnach ist

: = Ä. Ä. oder FP: FG = FP: G„P. Ist m der senkrechte Abstand der Brennpunkte von der Fluchtlinie e., r der Radius des Kreises k, d der Abstand des Punktes P von der Leitlinie e, und f sein Abstand vom Brennpunkt, so hat man FG.: G„P = m: d und FP =r, FP =f, mithin die Relation f: d = r: m. Da aber r und m unveränderlich sind, ergiebt sich wieder der Satz in 361. In den Figuren 232, 233, 234 sind die drei Fälle dargestellt, wo die Fluchtlinie den Kreis k nicht schneidet, schneidet oder berührt, also der Kegelschnitt k zur Ellipse, Hyperbel oder Parabel wird. Die soeben besprochene perspektive Beziehung zwischen Kreis und Kegelschnitt gestattet auch den in 265 bewiesenen Satz am Kreis unmittelbar auf den Kegelschnitt zu übertragen. Die auf einer beweglichen Tangente eines Kegelschnittes von zwei festen Tangenten begrenzte Strecke erscheint vom Brennpunkte aus unter konstantem Winkel.

z.

Fig. 234. Fig. 235.

366. Es seien t und u (Fig. 235) die aus einem Punkte P an eine Ellipse gezogenen Tangenten mit den Berührungspunkten T und U. Die auf sie aus den Brennpunkten F und F" gefällten Lote FQ und FR mögen um ihre eigene Länge resp. bis G und H verlängert werden. Dann ist TG = TF und Z_ GT9 = Z_ FTQ = Z FTP, also (nach 361). FG = A B und, da M und Q die Strecken FF“ und FG halbieren, folgt weiter: MQ = MA. Fällt man von den Brennpunkten Lote auf die Tangenten einer Ellipse, so liegen ihre Fußpunkte auf einem Kreise, der ihre Hauptachse (große Achse) zum Durchmesser hat. Der gleiche Satz gilt für die Hyperbel, wie Fig. 236 zeigt. 367. Bei der Parabel liegen die Fußpunkte der aus dem Brennpunkte auf die Tangenten gefällten Lote auf der Scheiteltangente. Ist nämlich T ein Punkt der Pa- rabel, s ihre Scheiteltangente und S der zugehörige Scheitel, so sind die Abstände des Punktes T" von Brennpunkt F und Leitlinie d einander gleich (TG = TF) und S halbiert den Abstand zwischen F und d (Fig. 237). Die Scheiteltangente halbiert infolgedessen die Strecke FG in Q und TQ steht auf dieser Strecke in ihrem Mittelpunkt senkrecht; somit halbiert TQ den Winkel GTF und fällt nach 363 mit der Parabeltangente t in T' zusammen. 368. Die zuletzt bewiesenen Sätze gestatten die Konstruktion der beiden Kegelschnitttangenten aus einem beliebigen Fig. 237. Punkte P. In den Figuren 235 und 236 ergiebt sich der Punkt Q der gesuchten Tangente PT als Schnitt zweier Kreise, die über den Durchmessern AB und PF resp. beschrieben sind. Durch den andern Schnittpunkt dieser Kreise geht die Tangente PU. Bei der Parabel schneiden die Tangenten aus P die Scheiteltangente in Punkten, die auf einem Kreise mit dem Durchmesser PF liegen. 369. Aus den Figuren 235 und 236 können wir noch erkennen, daß AGPF - AFPH ist (PG = PF, PH = PF und GF= HF = A B);

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Fig. 236.

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mithin haben wir Z_ GPF = Z_ FPH, also Z - GPP = Z_ HPF und auch Z . TPF = Z UPF“, denn diese sind halb so groß wie die vorangehenden. Das giebt den Satz: Die eine Tangente aus dem beliebigen Punkt P an den Kegelschnitt schließt mit dem von ihm ausgehenden Strahl nach dem einen Brennpunkt den gleichen Winkel ein, wie die andere Tangente mit dem Strahl nach dem andern Brennpunkt. Dieser Satz gilt in gleicher Weise für die Parabel, wenn man ihren zweiten Brennpunkt auf ihrer Achse unendlich fern annimmt, so daß der Strahl nach diesem Brennpunkt zur Achse parallel wird (Fig. 237). 370. Wir wollen zuletzt noch die Brennpunkte als Doppelpunkte einer bestimmten Involution auf der bezüglichen Achse nachweisen, indem wir zunächst den Satz aufstellen: Die Punkte einer jeden Achse eines Kegelschnittes gehören paarweise in der Art zusammen, daß je zwei rechtwinklige Strahlen, deren jeder einen Punkt des Paares enthält, harmonische Polaren sind. Es mögen die beiden rechtwinkligen harmonischen Polaren s und s, auf einer Achse a die Punkte P und P ausschneiden (Fig. 238). Der Strahlbüschel mit dem Scheitel P ist projektiv zu der Punktreihe der zu den Strahlen gehörigen Pole. Projiziert man diese Punktreihe aus P, so erhält man zwei projektive Strahlbüschel mit den Scheiteln P und P, deren entsprechende Strahlen harmonische Polaren sind. Nun sind drei Strahlen des zweiten Büschels normal zu den entsprechenden Strahlen des ersten. Sind nämlich n und n die auf der Achse a in P und P. errichteten Senkrechten, so entsprechen den Strahlen n, a und s des ersten Büschels die Strahlen a, n und so im zweiten, denn die Pole von n und n liegen auf a. Beide Büschel sind somit kongruent (184) und jeder Strahl steht auf seinem entsprechenden senkrecht. Schneiden s und so die andere Achse, sie sei b, in den Punkten Q und Q, so gilt auch für dieses Punktepaar unser Satz. Je zwei rechtwinklige Strahlen durch Q und Q, liefern also auf der Achse a ein Punktepaar von der im Satze ausgesprochenen Beschaffenheit; ebenso liefern je zwei rechtwinklige Strahlen durch P und P ein solches Punktepaar auf b. Die Punktepaare auf a können somit durch entsprechende Strahlen zweier kongruenter Strahlbüschel mit den Scheiteln (9 und Q, ausgeschnitten werden. Insbesondere bildet der Mittelpunkt M des Kegelschnittes mit dem unendlich fernen Punkt U von a ein solches Paar, dessen Punkte sich vertauschbar entsprechen, da sowohl QM L Q, U als auch Q, J/ L QU ist. Die Punktepaare auf der Achse a (und ebenso auf der Achse b) bilden hiernach eine Involution, deren Mittelpunkt M ist. 371. Die Brennpunkte auf der Achse eines Kegelschnittes sind die Doppelpunkte einer Involution, deren Mittelpunkt mit seinem Mittelpunkt zusammenfällt. Je zwei rechtwinklige harmonische Polaren, so auch jede Tangente mit der zugehörigen Normalen, schneiden ein Punktepaar dieser Involution aus. In der That hat jeder Doppelpunkt dieser Involution die Eigenschaft, daß je zwei rechtwinklige Strahlen durch ihn harmonische Polaren sind. Aus Fig. 238 erkennt man auch, daß nur die Involution auf der einen Achse reelle Doppelpunkte besitzen kann. Denn wenn P und P auf derselben Seite von Maus liegen, werden Q und Q, notwendigerweise durch M getrennt. Die Achse mit den reellen Brennpunkten heißt Brennpunkts- oder Hauptachse, die andere Nebenachse. Zur Konstruktion der Brennpunkte kann man etwa die Relation MP. MP = (MF)* benutzen (Fig. 238). Auch der Kreis über dem Durchmesser QQ, schneidet auf der Hauptachse die Brennpunkte aus, denn die Verbindungslinien eines solchen Punktes mit Q und Q, sind zu einander rechtwinklig und zugleich harmonische Polaren. Die Relation BF = BF" = MA dient ebenfalls zur Konstruktion der Brennpunkte. 372. Bei der Parabel ist die Involution der Punktepaare, die von rechtwinkligen harmonischen Polaren aus der Achse ausgeschnitten werden, von spezieller Art. Eine Gerade s parallel zur Achse hat hier einen unendlich fernen Pol; sie stellt ja einen Durchmesser vor, der ein System paralleler Sehnen halbiert. Die rechtwinklige harmonische Polare so zu s liegt deshalb unendlich fern, so daß der unendlich ferne Punkt der Achse selbst ein Doppelpunkt der genannten Involution ist, da er zugleich auf s und so liegt. Jedes Punktepaar einer Involution liegt aber zu seinen Doppelpunkten harmonisch. Der Brennpunkt F einer Parabel halbiert also alle auf der Achse von zwei rechtwinkligen harmonischen Polaren begrenzten Strecken. Zu den rechtwinkligen harmonischen Polaren gehören insbesondere Tangente und Normale in den einzelnen Kurvenpunkten. Tangente und Normale in jedem Punkt einer Parabel schneiden ihre Achse in Punkten, die vom Brennpunkt gleich weit abstehen. Dieses Resultat ist auch aus Fig. 237 leicht abzuleiten. Es ist nämlich QT = QR, also auch FR = FN. 373. Zieht man in einem beliebigen Punkte P die rechtwinkligen harmonischen Polaren x und y in Bezug auf einen gegebenen Kegelschnitt, so schneiden sie seine Achse a in dem Punktepaar X, Y einer Involution (Fig. 239), deren Doppelpunkte die Brennpunkte F und F” sind. Es liegen also F, F und X, Y harmonisch, und ebenso PF=f, PF =f“ und r, y; d. h. r und y halbieren die beiden Winkel der Strahlen f und f'. Die harmonischen Polaren durch P bilden ebenfalls eine Involution; r, y Fig. 239. ist ein Strahlenpaar derselben, während die Tangenten t und t“ ihre Doppelstrahlen sind. Aus der harmonischen Lage von t, t und r, y folgt weiter, daß r und y die beiden Winkel der Tangenten t und t' halbieren. Die von einem Punkte P in der Ebene eines Kegelschnittes an diesen gezogenen Tangenten und seine Verbindungslinien mit den Brennpunkten bilden Winkel, deren Halbierungslinien zusammenfallen und rechtwinklige harmonische Polaren sind. (Das ist der Satz in 369.) 374. Der Satz am Ende von 365 hat für die Parabel einen speziellen Satz zur Folge. Die Schnittpunkte dreier Parabeltangenten liegen mit dem Brennpunkt auf einem Kreise. Sind nämlich a und b zwei Parabeltangenten mit dem Schnittpunkt C sind ferner A und B ihre Schnittpunkte mit einer dritten Tangente c sowie A- und B- ihre Schnittpunkte mit der unendlich fernen Geraden, die ebenfalls Tangente ist, so werden die Strecken AA- und BB aus dem Brennpunkte F unter gleichem Winkel gesehen. Man hat daher: Z AFB = z. A... FB = Z ACB, woraus die Behauptung folgt (Fig. 240). Sind A und B die Schnittpunkte einer Tangente der Hyperbel

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ROHN u. PAPPERITz. I. 2. Aufl. 18

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