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Man kann auch einen Kreis durch S und A zeichnen, dessen Mittelpunkt auf g liegt; er schneidet auf g zwei harmonische Pole aus, deren Verbindungslinien mit A zu einander rechtwinklig sind, also durch D und E resp. gehen.

Brennpunkte und Leitlinien eines Kegelschnittes.

361. Wir haben früher den Kegelschnitt als perspektives Bild eines Kreises definiert und später gezeigt (308), wie ein Kegelschnitt zu jedem Kreise seiner Ebene, der ihn in zwei Punkten schneidet, in perspektiver Beziehung steht. Wir haben aber auch gesehen, daß jeder Kegelschnitt aus einem Rotationskegel ausgeschnitten werden kann (338–341). Aus beiden Erzeugungsweisen des Kegelschnittes können die Eigenschaften seiner Brennpunkte und Leitlinien leicht gewonnen werden, wie das im Folgenden dargelegt werden soll.”)

Wir gehen zunächst vom Rotationskegel mit dem Scheitel S aus und legen durch seine Achse senkrecht zur Ebene des Kegelschnittes c die Aufrißebene, während wir jene als Grundrißebene benutzen. In den Figg. 230a), b) und c) sind dann der elliptische, der hyperbolische und der parabolische Schnitt dargestellt. Im ersten Falle enthält die x-Achse die große Achse A B der Ellipse, im zweiten die Hauptachse AB der Hyperbel und im dritten die Parabelachse mit dem Scheitel A. Jeder Punkt der Kegelachse kann als Mittelpunkt einer Kugel gewählt werden, welche den Kegelmantel längs eines Kreises mit zur Achse normaler Ebene berührt. Unter diesen berührenden Kugeln giebt es zwei (beim Parabelschnitt nur eine), die außerdem die Ebene des Kegelschnittes c berühren. Sie schneiden die Aufrißebene in Kreisen, die außer den Mantelinien SA und SB auch noch die r-Achse tangieren.

Es seien nun K. und K., die Mittelpunkte dieser Kugeln und zugleich der ebengenannten Kreise. Sie mögen die Ebene des Kegelschnittes c in den Punkten F resp. P. (auf r) berühren und den Kegelmantel in den Kreisen k und kg, deren Aufrisse mit den Durchmessern TU resp. 7 U, zusammenfallen. Die Ebenen dieser Kreise k und k, haben zwei auf r senkrecht stehende Gerade d. resp. d, zu Grundrißspuren und 7 U resp. 7 U zu Aufrißspuren. Eine beliebige Mantellinie des Kegels mag k, k und k2 in P, P. und P% respektive schneiden und der durch P gehende Kegelkreis k mag sich als Durchmesser TU im Aufriß projizieren. Dann gelten die Beziehungen:

PP = PP und PF2 = PP,

da alle Kugeltangenten aus einem Punkte gleich lang sind.

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Ferner haben wir bei beiden Kurven: PF = PP = TT und TT : AT = PD, : AD, mithin: PF, : P“D, = AT : AD, also konstant. Ebenso ergiebt sich: PF.: P“ D. = A7 : A D , also konstant. Für die Parabel (Fig.230c) folgt insbesondere: PP = TT = P“ D. Die Punkte F und F, bezeichnet man als die Brennpunkte des Kegelschnittes c und die Geraden d und d, als seine Leitlinien. Nach dem letzten Resultat ist: AF: A D = BF: BD (wenn wir statt P einmal den Punkt A und einmal den Punkt B setzen). Die vier Punkte liegen also harmonisch (218), und es ist jeder Brennpunkt der Pol einer Leitlinie in Bezug auf den Kegelschnitt c. Hiernach gilt der Satz: Ellipse und Hyperbel besitzen auf der großen, resp. auf der reellen Achse je zwei Brennpunkte F und F, und deren Polaren als Leitlinien

Fig. 230 c.

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d, und d... Die Parabel hat auf ihrer Achse nur einen Brennpunkt D, und eine zugehörige Leitlinie d. Für jeden Punkt P einer Ellipse ist die Summe der Brennstrahlen PF + PF, für jeden Punkt einer Hyperbel ihre Differenz PF PF, konstant, nämlich gleich der Hauptachse AB. Für jeden Punkt eines beliebigen Kegelschnittes ist das Verhältnis seiner Entfernungen von einem Brennpunkte (Fokus) und von der zugehörigen Leitlinie (Direktrix) konstant. Dieses Verhältnis hat bei der Parabel den Wert 1 und ist bei der Ellipse < 1 und bei der Hyperbel > 1. 362. Aus diesem Satze können wir leicht noch eine weitere charakteristische Eigenschaft der Brennpunkte ableiten. Ziehen wir durch einen Brennpunkt F eine Sehne JK parallel zu der zugehörigen Leitlinie d (d, Polare von F) und eine beliebige andere Sehne GH, so schneiden sich die Verbindungslinien ihrer Endpunkte paarweise in zwei harmonischen Polen P und Q, die auf der Leitlinie d liegen (Fig. 231). Offenbar halbiert die Gerade GH die Strecke PQ in R, da sie die dazu parallele Strecke JK in F halbiert. Nun ist A JGF - A PGR, also FG: FJ = RG: RP, und nach dem voranstehenden Satz: FG: FJ = Fig. 231. GG: JJ = GG': FD = RG: RF. Aus beiden Relationen folgt RP = RF; d. h. schlägt man um einen beliebigen Punkt / der Leitlinie d als Centrum einen Kreis, dessen Peripherie den zugehörigen Brennpunkt F enthält, so schneidet er die Leitlinie in harmonischen Polen Pund Q. Die Polare von P geht durch Q und F und die Polare von Q durch P und F und da nach dem soeben Gesagten F(0 L FP ist, haben wir den Satz: Je zwei harmonische Polaren durch einen Brennpunkt sind zu einander rechtwinklig und umgekehrt. Diesem Satze kann man auch noch eine andere Form geben, wenn man bedenkt, daß der Berührungspunkt einer von Q an den Kegelschnitt gezogenen Tangente auf der Polare PF von Q liegt. Auf jeder Tangente eines Kegelschnittes wird das vom Berührungspunkt und einer Leitlinie begrenzte Stück aus dem zugehörigen Brennpunkt durch einen rechten Winkel projiziert.

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Dieses Resultat ist auch aus Fig. 230a zu erkennen, wenn man die Tangentialebene längs der Mantellinie SP in Betracht zieht. Dieselbe hat die Tangente im Punkte P des Kegelschnittes c zur ersten Spur und mag d und d, in Q1 und Q, schneiden. Dann sind die Dreiecke PF,Q, und PPQ, kongruent, da PF, = PP, und Q„F = Q, P, Kugeltangenten sind; da z. PPQ, = 90" ist, folgt auch z. PF, Q, = 909. 363. Wir haben gesehen, daß einerseits: PF: P“ D, = konst. und andererseits auch PF, : P“ D, = konst ist; wegen der Symmetrieverhältnisse müssen aber beide Quotienten gleich sein. Somit ergiebt sich: PF: PH = PD, PD, = PQ, PQ, und daraus folgt die Ahnlichkeit der Dreiecke PF Q, und PF, Q, die ja bei F und F, rechte Winkel aufweisen, und die Gleichung: Z_ FPQ = Z_ F, PQ, Das giebt den Satz: Die Brennstrahlen nach einem Punkte des Kegelschnittes bilden mit seiner Tangente (und seiner Normale) gleiche Winkel. Bei der Parabel bildet jede Tangente mit der Achse und dem Brennstrahl nach ihrem Berührungspunkt gleiche Winkel. Denn in Fig. 230c sind die Dreiecke PFQ, und PEQ kongruent. 364. Nimmt man die perspektive Beziehung zwischen Kegelschnitt k und Kreis k zum Ausgangspunkt und legt das Centrum der Perspektive in das Centrum F des Kreises, so wird F zum Brennpunkt des Kegelschnittes (Fig. 232). Denn die Strahlen durch das Centrum F entsprechen sich selbst; rechtwinklige Durchmesser des Kreises sind aber harmonische Polaren desselben, sie sind also auch rechtwinklige harmonische Polaren des Kegelschnittes und F ist somit Brennpunkt. Zugleich wird die Verschwindungslinie e, zur Leitlinie, denn sie entspricht der unendlich fernen Geraden, d. h. der Polare von F in Bezug auf den Kreis k. Beschreibt man umgekehrt um einen Brennpunkt F des Kegelschnittes k einen beliebigen Kreis k, so ist F das Centrum einer Perspektive für beide Kegelschnitte, deren Verschwindungslinie e, die zugehörige Leitlinie ist. Läßt man nämlich die Punkte P und P die ein beliebiger Strahl g aus k und k ausschneidet, einander entsprechen, so ist einerseits die Perspektive festgelegt und andererseits ist der Kegelschnitt k durch Brennpunkt, Leitlinie und den Punkt P völlig bestimmt. Zu jedem Strahl durch F hat man ja den Pol in Bezug auf k als Schnittpunkt von e, mit dem zu ersterem rechtwinkligen Strahl, so daß man aus P beliebig viele Punkte von k gewinnen kann. Es ist klar, daß ein Brennpunkt nur auf einer Achse des Kegelschnittes liegen kann. Denn der durch ihn gehende Durchmesser und die durch ihn gezogene Parallele zum konjugierten Durchmesser sind harmonische Polaren und müssen deshalb zu einander senkrecht sein. Es giebt aber auch nur auf einer Achse Brennpunkte, denn die Verbindungslinie zweier Brennpunkte muß stets eine Achse sein. Zu dieser Verbindungslinie bilden nämlich die auf ihr in den Brennpunkten errichteten Normalen harmonische Polaren. Der Schnittpunkt der letzteren liegt in der zur Verbindungslinie senkrechten Richtung unendlich fern und ist der Pol von ihr; also ist sie eine Achse. 365. Die perspektive Beziehung zwischen k und k kann wiederum zur Herleitung der hauptsächlichsten Brennpunktseigen

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schaften benutzt werden. Fügt man in Fig. 232 noch die Fluchtlinie e- hinzu und schneiden e, und er die Gerade g in G. und

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