...

reihen S, S', C', C', ... und S', S, C, C', projektiv, folglich sind es auch die Strahlbüschel, die sie aus den Punkten A resp. A, projizieren. Schneiden wir beide Büschel mit der Geraden SS', so erhalten wir die projektiven

....

C

A

Punktreihen S1, S1', P, Q, ... und S1', S1, P1, Qv In ihnen entsprechen sich die Punkte S und Svertauschbar; deshalb liegen sie involutorisch und es sind SS, PP, QQ, Punktepaare einer Involution 3". Zwei Strahlen durch und 41, welche g' in entsprechenden Punkten von J' schneiden, liefern auch entsprechende Punkte von " und umgekehrt. Ist also O ein Doppelpunkt der Involution schneiden die Strahlenpaare OS, O§1, ОA, О sowohl auf g Punktepaare von I als auch auf g' Punktepaare von J' aus. O ist somit der Scheitel einer Strahleninvolution, die aus g und g' die gegebenen Involutionen I und I' ausschneidet. Gleiches gilt für den andern Doppelpunkt O' von J".

", so

P

Fig. 225.

355. Besitzen beide Involutionen I und I' reelle Doppelpunkte, so gehen ersichtlich je zwei ihrer Verbindungslinien durch O resp. O'. Ο. Besitzen dagegen beide Involutionen und 3' konjugiert imaginäre Doppelpunkte, so enthält die Strecke SS, einen Punkt des Paares AA1 etwa 4 und die Strecke SS, einen Punkt des Paares C'C' etwa C Dann liegen die Schnittpunkte Q und Q, von S,S,' mit AC, resp. A,C' beide auf der Strecke SS und die Involution I" hat wiederum reelle Doppelpunkte O und O'. Nur wenn eine der gegebenen Involutionen reelle und die andere imaginäre Doppelpunkte aufweist, wird das Punktepaar QQ, durch einen der beiden Punkte 8, resp. S' getrennt und die Doppelpunkte von " werden konjugiert imaginär.

Zwei Punktinvolutionen auf verschiedenen Trägern werden dann (und zwar in doppelter Weise) durch die nämliche Strahleninvolution projiziert, wenn sie entweder beide reelle, oder beide imaginäre Doppelpunkte besitzen.

Das Prinzip der Dualität liefert noch den dualen Satz: Zwei Strahleninvolutionen mit verschiedenen Scheiteln werden dann (und zwar in doppelter Weise) von einer Geraden in der nämlichen Punktinvolution geschnitten, wenn sie ent

weder beide reelle, oder beide imaginäre Doppelstrahlen aufweisen. Auch die Konstruktion dieser Geraden geht aus der Dualität hervor.

356. Ein Kegelschnitt ist konstruierbar aus drei reellen Punkten A, B, C und zwei konjugiert imaginären (d. h. der gleichlaufenden Involution seiner harmonischen Pole D1, D2 und E1, E2 auf einer Geraden g).

2

Man suche zunächst einen Punkt S so, daß SD1 1 SD2 und SEISE, wird, was mit Hilfe zweier Halbkreise über den Durchmessern DD, und EE, geschieht. Dann ist & der Scheitel für eine Involution rechter Winkel, deren Schenkel auf g die Involution

harmonischer Pole ausschneiden (Fig. 226). Sind ferner B, resp. C, die Schnittpunkte der Strahlen AB und AC mit g, sind endlich B2 resp. C2 die zu diesen Punkten gehörigen harmonischen Pole, so bestimmen die Strahlen B,B und C2C den zweiten Schnittpunkt der durch A gehenden harmonischen Polare h zu g (vergl. 283). Die Pole (D, und D2,

Verbindungslinien irgend zweier harmonischer

E1 und E2, .) mit 4 und A' (oder mit und 4) ergeben neue Punkte (D und D', E und E', . . .) des gesuchten Kegelschnittes. Die Punkte A, B, C, D, E, . . . bilden mit A, B', C', D', E' . . . eine Involution auf dem Kegelschnitt, deren Achse g und deren Mittelpunkt ihr Pol G ist (315, 316).

Das Prinzip der Dualität ergiebt unmittelbar die Lösung des Problems: Aus drei reellen Tangenten a, b, c und zwei konjugiert imaginären (d. h. der gleichlaufenden Involution seiner harmonischen Polaren an einem gegebenen Scheitel S) einen Kegelschnitt zu konstruieren.

357. Ein Kegelschnitt ist bestimmt durch einen reellen und zwei Paare konjugiert imaginärer Punkte (die durch

die gleichlaufenden Involutionen harmonischer Pole auf zwei Geraden g und h vertreten werden).

=

A

R-R

Auf jeder der beiden Geraden g und h müssen zwei Paare harmonischer Pole gegeben sein. Man kann dann zu P gxh sowohl auf g den harmonischen Pol Q1, als auch auf h den harmonischen Pol R, konstruieren und erhält so in p = QR, die Polare von P (Fig. 227). P liegt außerhalb des gesuchten Kegelschnittes, da die Geraden g und h ihn nicht schneiden; demnach muß seine Polare p zwei reelle Punkte Q und R mit demselben gemein haben. Ist nun A der gegebene reelle Punkt des Kegelschnittes, so schneiden die Strahlen 4Q = q und AR = r nach 283 sowohl auf g als auf h harmonische Pole aus, da ja g und h beide harmonische Polaren zu p sind. Projiziert

B

B1

Fig. 227.

B%

man also die Punktinvolutionen auf g und h von A aus, so erhält man zwei Strahleninvolutionen, deren gemeinsames Strahlenpaar die gesuchten Strahlen q und r sind. Zur Konstruktion lege man durch A einen Hilfskreis, auf diesem schneiden die genannten Strahleninvolutionen zwei Punktinvolutionen aus; das gemeinsame Punktepaar der letzteren liegt auf der Verbindungslinie ihrer Mittelpunkte (353) und bestimmt die Strahlen 9 und r. Sind so auf p die Punkte und R des Kegelschnittes gefunden, so sind QP und RP die zugehörigen Tangenten. Sind B1 und B, harmonische Pole auf g, so sind nach 283 B′ = QB1 × RB, und B = QB2 × RB1 zwei Punkte des Kegelschnittes u. s. f.

2

=

2

Durch das Dualitätsprinzip ergiebt sich hieraus der Satz:

Ein Kegelschnitt ist konstruierbar aus einer reellen und zwei Paaren konjugiert imaginärer Tangenten (die durch

die gleichlaufenden Involutionen harmonischer Polaren an zwei Scheiteln S und T vertreten werden).

358. Ein Kegelschnitt ist bestimmt durch einen reellen Punkt und zwei konjugiert imaginäre Punkte mit den zugehörigen konjugiert imaginären Tangenten. Zur Be

stimmung der imaginären Elemente denke man sich eine reelle Gerade g (als Verbindungslinie der Berührungspunkte) und ihren Pol G (als Schnittpunkt der Tangenten) gegeben und überdies entweder die gleichlaufende Involution der harmonischen Pole des Kegelschnittes auf 9 oder die seiner Polaren am Scheitel G. Von dieser Involution liefert eine die andere, weil sie perspektiv sind.

Ist G' der Schnitt

punkt der Geraden AG mit g (Fig. 228), so findet man ihren zweiten Schnittpunkt mit dem Kegelschnitt als denjenigen, der zu A in Bezug auf G und G' harmonisch liegt. Sind ferner B, und B, C und C2, ... Punktepaare der Involution auf g, so sind B=AB1× A'B„, B' = AB„× A'B1, C= AС1 × A'С„, C′ = AС„× A'С1‚ . . neue Punkte des gesuchten Kegelschnittes.

27

359. Wenn eine Strahleninvolution zwei Paare rechtwinkliger Strahlen enthält, so ist sie eine Involution rechter Winkel. Denn schneidet man die gegebenen Strahlen mit einem durch den Scheitel gelegten Hilfskreis, so erhält man Paare einer Punktinvolution und als Mittelpunkt der letzteren den Kreismittelpunkt. Jeder Durchmesser bestimmt ein neues Punktepaar auf dem Kreise und das zugehörige Strahlenpaar schließt wieder einen rechten Winkel ein.

Betrachtet man irgend zwei Rechtwinkelinvolutionen in derselben Ebene, so liegt zu jedem Strahlenpaar der einen ein Strahlenpaar der andern parallel, oder beide bestimmen auf der unendlich fernen Geraden dieselbe gleichlaufende Punktinvolution. Die imaginären Doppelstrahlen zweier Rechtwinkelinvolutionen sind daher parallel,

sie gehen durch dieselben beiden imaginären Punkte der unendlich fernen Geraden, die Doppelpunkte der gedachten Punktinvolution. Man bezeichnet sie als die imaginären Kreispunkte der Ebene und zwar deshalb, weil sie allen Kreisen der Ebene angehören. In der That bilden alle rechten Winkel mit gemeinsamem Scheitel die Involution der konjugierten Durchmesser für jeden um den Scheitel als Centrum beschriebenen Kreis und ihre imaginären Doppelstrahlen sind die Tangenten des Kreises, deren Berührungspunkte unendlich fern liegen.

360. Wenn man beachtet, daß alle Kreise einer Ebene durch die imaginären Kreispunkte gehen, so erscheinen die beiden nachfolgenden Sätze als Spezialfälle des Satzes in 301.

Drei reelle Punkte, die nicht in einer Geraden liegen, oder ein reeller Punkt und zwei konjugiert imaginäre bestimmen einen Kreis. Wir

2

g

A

E

B

M

B2

geben für den zweiten Fall noch kurz die Konstruktion des Kreises an. Es sei A der gegebene reelle Punkt, B, und B, C und C Paare harmonischer Pole des Kreises auf der reellen Geraden g (Fig. 229). Zieht man durch den Schnittpunkt & der beiden über den Durchmessern B1B2 und C, C2 geschlagenen Kreise die Senkrechte zu 9, SO schneidet sie den Mittelpunkt der Involution auf g aus und stellt als Polare des unendlich fernen Punktes von g einen Durchmesser des gesuchten Kreises dar. Sind D und E die Endpunkte dieses Durchmessers, so schneiden ihre Verbindungslinien mit dem Punkte A nach 283 auf g ein Paar harmonischer Pole aus, da g und ED konjugierte Polaren sind. Zieht man umgekehrt von A aus Strahlen nach den harmonischen Polen auf g, so entsteht eine Strahleninvolution, deren rechtwinklige Strahlen durch D und E respektive gehen. Ein Hilfskreis k durch A schneidet aber die Strahleninvolution in einer Punktinvolution mit dem Mittelpunkt N; die Endpunkte X, Y seines durch N gezogenen Durchmessers liegen dann auf den gesuchten Rechtwinkelstrahlen.

Fig. 229.