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346. Duale Figuren in der Ebene können insbesondere, die eine aus der andern, nach einem bestimmten Gesetz abgeleitet werden; man bezeichnet es als das Gesetz der Reciprozität in Bezug auf einen Kegelschnitt und nennt letzteren die Direktrix (den Leitkegelschnitt) der Reciprozität. Denkt man sich nämlich zu allen Punkten und Geraden einer ebenen Figur F die Polaren und Pole in Bezug auf einen gegebenen Leitkegelschnitt k konstruiert, so bilden diese eine duale Figur F2, von der man rückwärts auf die gleiche Art wieder zu der Anfangsfigur F gelangt. F und F, heißen polarverwandte oder Reciprokalfiguren in Bezug auf die Direktrix k. Jeder Punktreihe der einen Figur entspricht ein mit ihr projektiver Strahlbüschel der andern und umgekehrt (281); projektiven und speziell involutorischen Reihen der einen Figur entsprechen projektive, bezw. involutorische Büschel der andern u. s. f.

347. Als Beispiel führen wir an, daß man die drei Kegelschnittgattungen als Reciprokalfiguren eines Kreises k in Bezug auf einen andern Kreis k als Direktrix erhält. Indem man sich k durch zwei projektive(kongruente) Strahlbüschel erzeugt denkt, ergiebt sich für die Reciprokalkurve eine Erzeugung durch zwei projektive Punktreihen; sie ist daher jedenfalls ein Kegelschnitt k2. Den Punkten und Tangenten von k, entsprechen die Tangenten und Punkte von k2. Nun gehört zu dem Centrum M des Leitkreises k als Polare in Bezug auf k die unendlich ferne Gerade, ferner gehören zu den Punkten A und B von k., deren Tangenten durch M gehen, als Polaren in Bezug auf k zwei Gerade a und b (a LAM, b_L BM). Da A und B auf k liegen, so sind a und b Tangenten von k, und da die zu A und B gehörigen Tangenten durch M gehen, so liegen die Berührungspunkte von a und b mit k, unendlich fern; d. h. a und b sind die Asymptoten von k2 (Fig. 224). Einer gemeinsamen

Fig. 224.

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Tangente von k und k gehört als Polare ihr Berührungspunkt mit k zu; durch diesen Punkt geht also k, hindurch. Nach dem Gesagten ist ersichtlich, daß die Reciprokalkurve eine Hyperbel, Parabel oder Ellipse ist, je nachdem das Centrum M des Leitkreises k außerhalb, auf oder innerhalb der Peripherie des gegebenen Kreises k liegt.

348. Eine Konstruktion, die nur gerade Linien benutzt, heißt linear; ihr Resultat ist unzweideutig bestimmt. Bei allen Aufgaben, die nur eine bestimmte Lösung zulassen, darf man umgekehrt stets eine lineare Konstruktion erwarten; sie heißen Aufgaben ersten Grades. Probleme dagegen, zu deren Lösung ein Kegelschnitt erforderlich ist, besitzen im allgemeinen zwei Lösungen und heißen Aufgaben zweiten Grades; zu ihrer Konstruktion bedient man sich in der Regel eines Kreises. Da die Gerade und der Kreis die einzigen Gebilde sind, die sich unmittelbar zeichnen lassen, so ist klar, daß man jede kompliziertere Aufgabe, soweit thunlich, auf solche vom ersten und zweiten Grade zurückzuführen suchen muß. Wir haben uns hier nur mit den letzteren zu beschäftigen.

349. Für alle Probleme zweiten Grades bilden die folgenden zwei die Grundlage:

die Schnittpunkte eines Ke- die Tangenten an einen Kegelschnittes (Kreises) mit gelschnitt (Kreis) aus einem einer gegebenen Geraden zu gegebenen Punkte zu bebestimmen; stimmen;

sie stehen einander dual gegenüber und lassen sich unter einem gemeinsamen Gesichtspunkte betrachten. Ihre Lösungen bilden nämlich bezw.

die Doppelpunkte der Involution harmonischer Pole, welche der Kegelschnitt auf der gegebenen Geraden bestimmt;

die Doppelstrahlen der Involution harmonischer Polaren, welche der Kegelschnitt an dem gegebenen Punkte bestimmt.

Die Fundamentalaufgabe lautet daher in allgemeinster Fassung so: Gegeben sind zwei projektive Punktreihen oder Strahlbüschel mit demselben Träger; man soll ihre sich selbst entsprechenden Elemente konstruieren. 350. Denkt man sich die gegebenen Gebilde nach analytischer Methode durch Gleichungen zwischen den Koordinaten ihrer Punkte oder Geraden dargestellt, so wird jedes geometrische Problem abhängig sein von der Auflösung gewisser Gleichungen. Die uns vorliegenden Aufgaben zweiten Grades im besonderen führen auf algebraische Gleichungen zweiten Grades mit reellen Koëffizienten. Die drei möglichen Fälle, daß die betreffende Gleichung zweiten Grades, zwei reelle verschiedene, zwei reelle gleiche oder zwei konjugiert imaginäre Wurzeln hat, entsprechen genau denen, wo sich auf konstruktivem Wege zwei getrennte, vereinte oder keine die Aufgabe befriedigenden Elemente finden lassen. Die nicht konstruierbaren, sondern nur analytisch definierten Lösungen werden aus Zweckmäßigkeitsgründen auch in der synthetischen Geometrie mitgezählt als imaginäre geometrische Elemente. Indem wir es als selbstverständlich ansehen, daß die beiden Lösungen einer Aufgabe zweiten Grades reell oder konjugiert maginär sein, bezw. durch Koincidenz eine besondere reelle Lösung bestimmen können, wird es überflüssig, dies bei den einzelnen Sätzen ausdrücklich hervorzuheben. Wir sagen also z. B.: Je zwei projektive Grundgebilde (Ebenen-, Strahlbüschel oder Punktreihen) mit einerlei Träger bestimmen zwei Doppelelemente (sich selbst entsprechende Elemente).

Auf jeder Ebene liegen zwei Punkte ein es gegebenen Kegelschnittes.

Geraden der

Durch jeden Punkt der Ebene gehen zwei Tangenten eines gegebenen Kegelschnittes.

351, Konstruktiv sind nur reelle geometrische Elemente verwendbar; wenn trotzdem von einer Konstruktion aus imaginären Elementen gesprochen wird, so ist dies nur eine abgekürzte Aus

drucksweise.

Man sieht dann nur reelle Elemente als gegeben an,

die durch ihre Beziehung zu einander die imaginären ersetzen.

Zwei konjugiert imaginäre Punkte werden durch hinreichend viele reelle Punktepaare gegeben, die auf der reellen Verbindungslinie zwei projektive (in volutorische) Punktreihen mit den gedachten Punkten als Doppelelementen bestimmen.

Zwei konjugiert imaginäre Strahlen werden durch hinreichend viele reelle Strahlenpaare gegeben, die an dem reellen Schnittpunkt zwei projektive (in volutorische) Strahlbüschel mit den gedachten Strahlen als Doppelelementen bestimmen.

Zwei konjugiert imaginäre Punkte liegen also stets auf einer reellen Geraden und können auf dieser durch zwei Punktepaare

einer gleichlaufenden Involution als deren Doppelpunkte definiert werden. Sie liegen also zu beiden Punktepaaren harmonisch (232). Ein Punktepaar, das gleichzeitig zu zwei gegebenen Punktepaaren einer Geraden harmonisch liegt, ist konjugiert imaginär, wenn die gegebenen Paare sich gegenseitig trennen; in allen übrigen Fällen ist es reell. Ein gleicher Satz gilt infolge der Dualität für konjugiert imaginäre Strahlen. Die auf die vorstehenden Definitionen sich gründende Ausdrucksweise bietet außer ihrer Kürze den weiteren Vorteil, daß der Zusammenhang gewisser Sätze untereinander deutlicher erkennbar wird. Im folgenden sollen einige Konstruktionen und Sätze nebst ihren dualen als Beispiele hierfür behandelt werden. 352. Zwei Punktepaare, die harmonisch liegen, sind entweder beide reell, oder die Punkte des einen sind reell, die des andern konjugiert imaginär; dagegen können nicht beide Paare aus konjugiert imaginären Punkten bestehen. Bildet das erste Paar – mag es nun reell oder imaginär sein – die Doppelpunkte einer Involution, so stellt das zweite Paar zwei sich entsprechende Punkte dieser Involution dar (223). Nehmen wir die Involution auf einem Kreise k an (317) (falls sie auf einer Geraden liegt, projizieren wir sie aus einem Punkte durch eine Strahleninvolution und schneiden diese mit einem Kreise durch den Scheitel), so schneiden sich die Verbindungslinien entsprechender Punkte alle in einem Punkte M, dem Mittelpunkt der Involution. Liegt M außerhalb k, so sind die Doppelpunkte der Involution reell und werden aus k durch die Polarem von M ausgeschnitten. Jeder Strahl durch M schneidet den Kreis in zwei zu den reellen Doppelpunkten harmonisch liegenden Punkten. Diese letzteren können reell oder konjugiert imaginär sein; denn durch M gehen auch Strahlen, die den Kreis nicht in reellen Punkten schneiden. Liegt M innerhalb k, so sind die Doppelpunkte der Involution konjugiert imaginär, denn die Polare m von M hat mit k keine reellen Punkte gemein. Jetzt schneidet jeder Strahl durch M den Kreis in zwei reellen Punkten, die zu den imaginären Doppelpunkten harmonisch liegen. Hieraus erkennt man auch, daß zwei Punktepaare auf einem Kegelschnitt harmonisch liegen, wenn von ihren beiden Verbindungslinien jede durch den Pol der andern geht. 353. Sind drei Punktepaare so beschaffen, daß je zwei harmonisch liegen, so sind zwei von ihnen reell, die Punkte des dritten sind konjugiert imaginär. Denn nach dem voranstehenden Satze müssen ihre drei Verbindungslinien, wenn die Punkte

ROHN u. PAPPERITz. I. 2. Aufl. 17

paare auf einem Kegelschnitt liegen, ein Polardreieck bilden, da
jede von ihnen die Pole der beiden andern enthalten muß. Eine
Ecke eines Polardreiecks liegt aber immer innerhalb, die beiden
andern liegen außerhalb des Kegelschnittes; zwei Seiten des Polar-
dreiecks schneiden ihn deshalb in reellen, die dritte in konjugiert
imaginären Punkten.
Es seien zwei Involutionen von Punkten (oder Tangenten) auf
einem Kegelschnitte k gegeben. Sind M und Nihre Mittelpunkte (315),
m und n deren Polaren, also die Achsen der Involutionen, so be-
stimmt m auf k die Doppelpunkte der einen, n die der andern In-
volution und MN das gemeinsame Punktepaar. Letzteres wird imaginär,
wenn die Gerade MN den Kegelschnitt nicht schneidet, also wenn
ihr Pol m × n innerhalb liegt. In diesem Falle aber hat jede der
Involutionen ein reelles Doppelpunktepaar und die Punkte des einen
trennen die des andern. Dieses Ergebnis überträgt sich auf Paare
von Punktinvolutionen auf einer Geraden, oder Strahleninvolutionen
an einem Scheitel; denn um an ihnen die entsprechenden Kon-
struktionen auszuführen, muß man, wie oben (317, 318) angegeben
wurde, zu Involutionen auf einem Hilfskegelschnitt übergehen. Da-
her gilt allgemein der Satz:
Zwei In volutionen auf demselben Träger haben ein
Elementepaar gemeinsam, welches reell ist, sobald nicht
beide In volutionen reelle Doppelelemente besitzen, die
einander wechselseitig trennen; in letzterem Falle ist das
gemeinsame Paar imaginär. Das gemeinsame Paar liegt
zu den Doppelelementen beider In volutionen harmonisch.
Im besonderen können beide In volutionen ein Doppel-
element gemein haben, das dann zugleich das gemeinsame
Elementepaar darstellt.
354. Zwei Punkt in volutionen I und I auf zwei Geraden
g und g' können in doppelter Weise durch die nämliche
Strahlenin volution ausgeschnitten werden. Dazu ist nur
nötig, daß zwei Strahlenpaare der Strahleninvolution aus den Ge-
raden g und g je zwei Punktepaare der gegebenen Involutionen I
resp. J ausschneiden. Denn sowohl die Strahleninvolution als auch
die Punktinvolutionen sind durch je zwei Elementepaare völlig be-
stimmt. Ist I durch die Punktepaare A, A und B, B gegeben
und I durch die Punktepaare C, C und D, D, so kann man
zunächst zu dem Punkte S = g × g' den entsprechenden Punkt S.
in der Involution I und den entsprechenden Punkt S, in der In-
volution I zeichnen (224, Fig. 225). Nun sind auf g' die Punkt-

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