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spektive kann man leicht zur räumlichen Perspektive übergehen, indem man den Kegelschnitt um die Perspektivitätsachse aus der gemeinsamen Ebene herausdreht. Hier erscheint dann der Kegelschnitt als Kurve auf einem schiefen Kreiskegel. Es läßt sich aber zeigen, daß man durch jeden Kegelschnitt auch Rotationskegel legen kann und zwar unendlich viele. Umgekehrt lassen sich aus einem gegebenen Rotationskegel alle möglichen Ellipsen, Parabeln und Hyperbeln (die letzteren nur innerhalb gewisser Grenzen) ausschneiden, und dieser Frage wollen wir jetzt näher treten.

Man soll aus einem gegebenen Rotationskegel eine Ellipse mit den vorgegebenen Halbachsen a und bausschneiden (a > b).

Wir legen durch die Kegelachse 7 eine Ebene ПT, Meridianebene, die den Kegelmantel in zwei Erzeugenden m und m1 schneidet (Fig. 221 a), dabei sei der am Scheitel S gelegene Winkel = a. Alle zur Meridianebene

Lmm1
П normalen Sehnen des Kegels wer-
den von dieser aus Gründen der
Symmetrie halbiert. Es gilt nun
der Satz: Die Mittelpunkte
aller zu einer Meridianebene
normalen Sehnen des Rota-
tionskegels, welche eine vor-
geschriebene Länge

26

be

S

RA,

Bo J

M

M

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h

m

a)

h

α

A,

b)

sitzen, liegen auf einer Hyperbel. Die Asymptoten sind die in der Meridianebene liegen- A den Erzeugenden m und m1, sie schneiden auf der Scheiteltangente die Strecke 2b ab. Es möge O ein beliebiger Punkt von П sein, in dem die normale Sehne die Länge 26 aufweist, und ebenso sei Zein Punkt der Kegelachse 7 mit einer normalen Sehne von der Länge 2 b. Zieht man ferner durch O und L Senkrechte zur Kegelachse und schneiden diese die Erzeugenden in M und M1 resp. in J und J1, so gelten die Relationen OM. OM1 = b2 und LJ.LJ1 b2; da ja die normalen Kegelsehnen in O und L zugleich Sehnen der über den Durchmessern MM, und JJ, beschriebenen Kreise sind. Nach 334 liegt somit O auf einer Hyperbel

=

Fig. 221.

h mit den Asymptoten m und m1 und dem Scheitel L. (Die Endpunkte aller zu П normalen Sehnen von der Länge 26 liegen auf zwei zu h parallelen Hyperbeln.)

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=

2b)

Soll nun die in O auf П senkrechte Kegelsehne BB1 die kleine Achse einer Ellipse sein, so ist O der Mittelpunkt ihrer großen Achse Ad1, die von den Erzeugenden m und m, begrenzt wird. Demnach muß 44, die Hyperbel h in O berühren. Die großen Achsen aller auf dem Rotationskegel liegender Ellipsen, deren kleine Achsen zur Meridianebene П normal und von der Länge 2b sind, tangieren die genannte Hyperbel h in ihren Mittelpunkten.

339. Diese Hyperbel h hat nach 333 die Eigenschaft, daß SA.SA1 = SJ. SJ, ist, oder daß die Dreiecke SAA, und SJJ, gleichen Flächeninhalt besitzen. Richtet man es insbesondere so ein, daß AA, die vorgeschriebene Länge 2 a hat, so stellt A4, die große Achse einer auf dem Kegel liegenden Ellipse e mit den vorgegebenen Halbachsen a und b dar. Diese Aufgabe erfordert die Konstruktion des Dreiecks SAA1, von dem man die Länge der Seite 44,, den gegenüberliegenden Winkel a und den Inhalt (= ▲ SJJ1) kennt. In Fig. 221 b ist diese Konstruktion ausgeführt. Es ist 44, mit dem Mittelpunkt O angenommen, dann ist die Höhe h des SAA, aus der Proportion h: SL = LJ: OA abgeleitet (in den Dreiecken JJ2S und AAS verhalten sich die Grundlinien umgekehrt wie die Höhen). Die Ecke S liegt also auf einer Parallelen zu A1 im Abstande h und auf einem Kreise, der über der Sehne A4, beschrieben ist und La als zugehörigen Peripheriewinkel faßt. Trägt man nun noch die Strecken SA und SA, von S aus auf m und m1 auf, so ist AA, die große Achse der gesuchten Ellipse e, deren Ebene auf П senkrecht steht. In der Figur 221 a ist sie um AA, in П als e umgelegt.

340. Ein Rotationskegel soll in einer vorgegebenen Parabel geschnitten werden.

Wir nehmen wie vorher eine Meridianebene П an, die aus dem Kegel zwei Mantellinien m und m, ausschneidet. Dann schneiden alle zu П senkrechten Ebenen, deren Spurlinien in TT zu m (resp. m,) parallel sind, aus dem Kegel Parabeln aus. Die vorgegebene Parabel p ist durch die Richtung ihrer Achse a, den Scheitel A auf ihr und einen ihrer Punkte B völlig bestimmt (Fig. 222 b). Man ziehe also (Fig. 222 a) zu m eine Parallele n, die auf m, die Strecke SP = AO abschneidet, errichte in S auf die Normale, welche n in Q trifft, und trage an Q die Strecke QR OB senkrecht zu QS an. Dann bestimme man K auf SQ so, daß ▲ SRK = 90° ist, und M1 auf m1

=

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A

b)

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durch die Gerade KM1 || m; hierauf ziehe man senkrecht zu 7 die Gerade MM1, welche n in O begegnet. Die zu П senkrechte Ebene, deren Spur a durch O und parallel zu m1 geht, schneidet aus dem Kegel die verlangte Parabel p aus. Ihr Scheitel A liegt nämlich in m x a und sie besitzt im Abstand 40 eine zu a normale Sehne BB, von der vorgeschriebenen Länge. Denn das Quadrat der halben Sehne ist gleich OM. OM1 = QS. QK = (QR)2, wie verlangt. In der Figur ist die Parabel um a als po umgelegt.

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normale Ebene E den Kegel in einer Hyperbel, so schneidet eine

zu ihr parallele Ebene durch
die Kegelspitze S ein Paar
Mantellinien u und v aus.
Auf ihnen liegen die unend-
lich fernen Punkte der Hy-
perbel, d. h. sie sind zu
deren Asymptoten parallel.
Soll also E die verlangte
Hyperbel h ausschneiden, so
müssen u und v den Winkel &
miteinander einschließen. Das M
ist aber nur dann möglich,
wenn & α ist. Um u und v
zu finden, lege man einen Nor-
malschnitt zur Kegelachse 7,

my

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=

=

der m, m1, u, v resp. in den Punkten M, M1, U, V schneiden mag (SM=SM1 = SU SV). Dieser schneidet den Kegel in einem Kreis k, für welchen MM, ein Durchmesser und UV eine Sehne ist, und es gilt die Relation WM. WM, = (WU)2, (W UV × MM1). WU ist aber die halbe Basis des gleichschenkligen Dreiecks SUV, das sich aus der Länge seiner Schenkel (= SM) und dem Winkel & an seiner Spitze zeichnen läßt, so daß sich daraus auch der Punkt U auf k ergiebt (in der Figur sind k und U in der Umlegung ko und U° gezeichnet) und dann der Punkt W auf MM1. Trägt man noch auf SW die Strecke ST2 a auf und zeichnet das Parallelogramm STAA1, dessen Ecken 4 und A, auf m resp. m, liegen, so ist AA, der Lage und der Länge nach die reelle Achse der gesuchten Hyperbel h. In der Figur ist die um 44, umgelegte Hyperbel h, angegeben.

Gesetz der Dualität. Reciprokalfiguren in Bezug auf einen Kegelschnitt. Aufgaben zweiten Grades. Imaginäre Lösungen.

342. In den vorausgehenden Entwicklungen weist die öfters bemerkbare paarweise Gegenüberstellung von Sätzen auf ein allgemeines geometrisches Gesetz hin, welches sowohl die ebenen wie die räumlichen Figuren beherrscht: das Gesetz der Dualität. Seine Bedeutung besteht darin, daß aus jedem synthetisch-geometrischen Satze sofort ein anderer abgeleitet werden kann, indem man gewisse sich entsprechende Begriffe durcheinander ersetzt. Es nimmt zwei verschiedene Formen an, je nachdem man Figuren in der Ebene oder im Raume betrachtet.

343. In der Ebene bilden der Punkt und die Gerade die sich dual entgegenstehenden Begriffe, weil beide für die Zusammensetzung der ebenen Gebilde als Elemente betrachtet werden können und weil die hierbei allein zur Geltung kommenden Grundgesetze:

Zwei Punkte bestimmen Zwei Gerade bestimmen eine Gerade; einen Punkt; durch Vertauschung beider Begriffe auseinander hervorgehen. Demnach entsprechen allen Punkten einer Geraden (einer Punktreihe) alle Gerade durch einen Punkt (ein Strahlbüschel), einem vollständigen Viereck mit seinen sechs Seiten ein vollständiges Vierseit mit seinen sechs Ecken, also vier harmonischen Punkten vier harmonische Strahlen, perspektiven resp. projektiven Punktreihen perspektive resp. projektive Strahlbüschel, dem Kegelschnitt als Erzeugnis

projektiver Strahlbüschel ein Kegelschnitt als Erzeugnis projektiver Punktreihen, den Punkten des ersteren also die Tangenten des letzteren, einem Pascal'schen Sechseck ein Brianchon'sches Sechsseit u. s. f.

344, Im Raume bilden der Punkt und die Ebene dual entgegengesetzte Begriffe, der geraden Linie entspricht wieder eine gerade Linie. In der That lassen die für die Zusetzung der Raumgebilde aus diesen Elementen geltenden Grundgesetze die Vertauschung der als dual bezeichneten Begriffe zu. Es sind diese:

Zwei Punkte bestimmen eine Gerade;

Drei Punkte bestimmen eine Ebene, wenn sie nicht auf einer Geraden liegen;

Zwei Ebenen bestimmen eine Gerade;

Drei Ebenen bestimmen einen Punkt, wenn sie nicht durch eine Gerade gehen.

Einfache Beispiele dualer Sätze sind die folgenden:

Beliebig viele Gerade liegen in einer Ebene, wenn je zwei einen, aber nicht alle denselben Punkt gemein haben.

Eine gemeinsame Sekante dreier windschiefer Geraden ist die Schnittlinie der Verbindungsebenen, die ein Punkt der ersten mit jeder der beiden andern bestimmt.

Beliebig viele Gerade gehen durch einen Punkt, wenn je zwei eine, aber nicht alle dieselbe Verbindungsebene haben.

Eine gemeinsame Sekante dreier windschiefer Geraden ist Verbindungslinie der Schnittpunkte, die eine Ebene durch die erste mit jeder der beiden andern bestimmt.

345. Dem Gesetz der Dualität sind nur die Eigenschaften der Figuren unterworfen, die reine Lage beziehungen ihrer Elemente ausdrücken und folglich durch Projektion nicht zerstört werden (projektive Eigenschaften). Die an den Figuren stattfindenden metrischen Relationen unterliegen jenem Gesetz nicht, weil sie Begriffe enthalten, für die wir dual entgegengesetzte nicht haben, nämlich den Begriff der Strecke und den des Winkels. Beispielsweise entspricht zwar der Konstruktion der Doppelstrahlen zweier involutorischer Büschel (317) durch Dualität die Konstruktion der Doppelpunkte zweier involutorischer Reihen (318), aber dieses Entsprechen erstreckt sich nicht auf die Bestimmung des Rechtwinkelpaares der Strahleninvolution und die des Mittelpunktes der Punktinvolution.

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