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spektive kann man leicht zur räumlichen Perspektive übergehen, indem man den Kegelschnitt um die Perspektivitätsachse aus der gemeinsamen Ebene herausdreht. Hier erscheint dann der Kegelschnitt als Kurve auf einem schiefen Kreiskegel. Es läßt sich aber zeigen, daß man durch jeden Kegelschnitt auch Rotationskegel legen kann und zwar unendlich viele. Umgekehrt lassen sich aus einem gegebenen Rotationskegel alle möglichen Ellipsen, Parabeln und Hyperbeln (die letzteren nur innerhalb gewisser Grenzen) ausschneiden, und dieser Frage wollen wir jetzt näher treten. Man soll aus einem gegebenen Rotationskegel eine Ellipse mit den vorgegebenen Halbachsen a und b ausschneiden (a > b). Wir legen durch die Kegelachse l eine Ebene TT, Meridianebene, die den Kegelmantel in zwei Erzeugenden m und m, schneidet (Fig. 221 a), dabei sei der am Scheitel S gelegene Winkel Z mm, = a. Alle zur Meridianebene TT normalen Sehnen des Kegels werden von dieser aus Gründen der Symmetrie halbiert. Es gilt nun der Satz: Die Mittelpunkte aller zu einer Meridianebene normalen Sehnen des Rotationskegels, welche eine vorgeschriebene Länge 2 b besitzen, liegen auf einer Hyperbel. Die Asymptoten sind die in der Meridianebene liegenden Erzeugenden m und m1, sie schneiden auf der Scheiteltangente die Strecke 2 b ab. Es möge O ein beliebiger Punkt von TT sein, in dem die normale Sehne die Länge 2 b aufweist, und ebenso sei L ein Punkt der Kegelachse l mit einer normalen Sehne von der Länge Fig. 221. 2 b. Zieht man ferner durch O und L Senkrechte zur Kegelachse und schneiden diese die Erzeugenden in M und M resp. in J und J, so gelten die Relationen 0M. 0M = b” und LJ. LJ = b”; da ja die normalen Kegelsehnen in 0 und L zugleich Sehnen der über den Durchmessern LM und JJ beschriebenen Kreise sind. Nach 334 liegt somit 0 auf einer Hyperbel h mit den Asymptoten m und m, und dem Scheitel L. (Die Endpunkte aller zu TT normalen Sehnen von der Länge 2b liegen auf zwei zu h parallelen Hyperbeln.) Soll nun die in 0 auf TT senkrechte Kegelsehne BB (= 2b) die kleine Achse einer Ellipse sein, so ist O der Mittelpunkt ihrer großen Achse AA, die von den Erzeugenden m und m begrenzt wird. Demnach muß AA, die Hyperbel h in O berühren. Die großen Achsen aller auf dem Rotationskegel liegender Ellipsen, deren kleine Achsen zur Meridianebene TT normal und von der Länge 2 b sind, tangieren die genannte Hyperbel h in ihren Mittelpunkten. 339. Diese Hyperbel h hat nach 333 die Eigenschaft, daß SA. SA, = SJ. SJ ist, oder daß die Dreiecke SAA und SJJ gleichen Flächeninhalt besitzen. Richtet man es insbesondere so ein, daß AA, die vorgeschriebene Länge 2 a hat, so stellt AA, die große Achse einer auf dem Kegel liegenden Ellipse e mit den vorgegebenen Halbachsen a und b dar. Diese Aufgabe erfordert die Konstruktion des Dreiecks SAA, von dem man die Länge der Seite AA, den gegenüberliegenden Winkel a und den Inhalt (= ASJJ) kennt. In Fig. 221 b ist diese Konstruktion ausgeführt. Es ist AA mit dem Mittelpunkt 0 angenommen, dann ist die Höhe h des ASAA, aus der Proportion h: SL = LJ: OA abgeleitet (in den Dreiecken JJS und AAS verhalten sich die Grundlinien umgekehrt wie die Höhen), Die Ecke S liegt also auf einer Parallelen zu AA im Abstande h und auf einem Kreise, der über der Sehne AA, beschrieben ist und Z - ce als zugehörigen Peripheriewinkel faßt. Trägt man nun noch die Strecken SA und SA, von S aus auf m und m, auf, so ist AA, die große Achse der gesuchten Ellipse e, deren Ebene auf TT senkrecht steht. In der Figur 221 a ist sie um AA in TT als eo umgelegt. 340. Ein Rotationskegel soll in einer vorgegebenen Parabel geschnitten werden. Wir nehmen wie vorher eine Meridianebene TT an, die aus dem Kegel zwei Mantellinien m und m, ausschneidet. Dann schneiden alle zu TT senkrechten Ebenen, deren Spurlinien in TT zu m (resp. m) parallel sind, aus dem Kegel Parabeln aus. Die vorgegebene Parabel p ist durch die Richtung ihrer Achse a, den Scheitel A auf ihr und einen ihrer Punkte B völlig bestimmt (Fig. 222 b). Man ziehe also (Fig. 222 a) zum eine Parallelen, die auf m, die Strecke SP= 40 abschneidet, errichte in S auf l die Normale, welche n in Q trifft, und trage an Q die Strecke QR = OB senkrecht zu QS an. Dann bestimme man K auf SQ so, daß Z SRK = 90" ist, und M auf m, durch die Gerade KM | m; hierauf ziehe man senkrecht zu l die Gerade MM, welchen in O begegnet. Die zu TT senkrechte Ebene, deren Spur a durch O und parallel zum geht, schneidet aus dem Kegel die verlangte Parabel p aus. Ihr Scheitel A liegt nämlich in m × a und sie besitzt im Abstand AO eine zu a normale Sehne BB von der vorgeschriebenen Länge. Denn das Quadrat der halben Sehne ist gleich OM. OM = QS. QK = (QR)“, wie verlangt. In der Figur ist die Parabel um a als po umgelegt. 341. Einen Rotationskegel in einer vorgeschriebenen Hyperbel zu schneiden. Die Hyperbel h ist durch den Winkel s ihrer Asymptoten und die Größe 2 a ihrer reellen Achse der Gestalt nach völlig bestimmt. Man gehe nun wieder von einer Meridianebene TT aus und den beiden Erzeugenden m und m, in ihr (Z_ mm = a) (Fig. 223). Schneidet eine zu TT normale Ebene E den Kegel in einer Hyperbel, so schneidet eine zu ihr parallele Ebene durch die Kegelspitze S ein Paar Mantellinien u und v aus. Auf ihnen liegen die unendlich fernen Punkte der Hyperbel, d. h. sie sind zu deren Asymptoten parallel. Soll also E die verlangte Hyperbel h ausschneiden, so müssen u und v den Winkel s miteinander einschließen. Das ist aber nur dann möglich, wenn s = oz ist. Um u und v zu finden, lege man einen Normalschnitt zur Kegelachse l,

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der m, m, u, v resp. in den Punkten M, M, U, / schneiden mag (SM= SM = SU= SW). Dieser schneidet den Kegel in einem Kreisk, für welchen MM, ein Durchmesser und UY eine Sehne ist, und es gilt die Relation WM. WM = (WU)”, (W = UY x MM). WU ist aber die halbe Basis des gleichschenkligen Dreiecks SUY, das sich aus der Länge seiner Schenkel (= SM) und dem Winkel s an seiner Spitze zeichnen läßt, so daß sich daraus auch der Punkt U auf k ergiebt (in der Figur sind k und U in der Umlegung k" und U" gezeichnet) und dann der Punkt I auf MM. Trägt man noch auf SW die Strecke ST = 2 a auf und zeichnet das Parallelogramm STAA, dessen Ecken A und A auf m resp. m liegen, so ist AA, der Lage und der Länge nach die reelle Achse der gesuchten Hyperbel h. In der Figur ist die um AA, umgelegte Hyperbel ho angegeben.

Gesetz der Dualität. Reciprokalfiguren in Bezug auf einen Kegelschnitt. Aufgaben zweiten Grades. Imaginäre Lösungen.

342. In den vorausgehenden Entwicklungen weist die öfters bemerkbare paarweise Gegenüberstellung von Sätzen auf ein allgemeines geometrisches Gesetz hin, welches sowohl die ebenen wie die räumlichen Figuren beherrscht: das Gesetz der Dualität. Seine Bedeutung besteht darin, daß aus jedem synthetisch-geometrischen Satze sofort ein anderer abgeleitet werden kann, indem man gewisse sich entsprechende Begriffe durcheinander ersetzt. Es nimmt zwei verschiedene Formen an, je nachdem man Figuren in der Ebene oder im Raume betrachtet.

343. In der Ebene bilden der Punkt und die Gerade die sich dual entgegenstehenden Begriffe, weil beide für die Zusammensetzung der ebenen Gebilde als Elemente betrachtet werden können und weil die hierbei allein zur Geltung kommenden Grundgesetze:

Zwei Punkte bestimmen Zwei Gerade bestimmen eine Gerade; einen Punkt;

durch Vertauschung beider Begriffe auseinander hervorgehen. Demnach entsprechen allen Punkten einer Geraden (einer Punktreihe) alle Gerade durch einen Punkt (ein Strahlbüschel), einem vollständigen Viereck mit seinen sechs Seiten ein vollständiges Vierseit mit seinen sechs Ecken, also vier harmonischen Punkten vier harmonische Strahlen, perspektiven resp. projektiven Punktreihen perspektive resp. projektive Strahlbüschel, dem Kegelschnitt als Erzeugnis projektiver Strahlbüschel ein Kegelschnitt als Erzeugnis projektiver Punktreihen, den Punkten des ersteren also die Tangenten des letzteren, einem Pascal'schen Sechseck ein Brianchon'sches Sechsseit u. s. f.

344. Im Raume bilden der Punkt und die Ebene dual entgegengesetzte Begriffe, der geraden Linie entspricht wieder eine gerade Linie. In der That lassen die für die Zusetzung der Raumgebilde aus diesen Elementen geltenden Grundgesetze die Vertauschung der als dual bezeichneten Begriffe zu. Es sind diese:

Zwei Punkte bestimmen Zwei Ebenen bestimmen eine Gerade; eine Gerade; Drei Punkte bestimmen Drei Ebenen bestimmen

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windschiefer Geraden ist Verbindungslinie der Schnittpunkte, die eine Ebene durch die erste mit jeder der beiden andern bestimmt.

windschiefer Geraden ist die Schnittlinie der Verbindungsebenen, die ein Punkt der ersten mit jeder der beiden andern bestimmt,

345. Dem Gesetz der Dualität sind nur die Eigenschaften der Figuren unterworfen, die reine Lagebeziehungen ihrer Elemente ausdrücken und folglich durch Projektion nicht zerstört werden (projektive Eigenschaften). Die an den Figuren stattfindenden metrischen Relationen unterliegen jenem Gesetz nicht, weil sie Begriffe enthalten, für die wir dual entgegengesetzte nicht haben, nämlich den Begriff der Strecke und den des Winkels. Beispielsweise entspricht zwar der Konstruktion der Doppelstrahlen zweier involutorischer Büschel (317) durch Dualität die Konstruktion der Doppelpunkte zweier involutorischer Reihen (318), aber dieses Entsprechen erstreckt sich nicht auf die Bestimmung des Rechtwinkelpaares der Strahleninvolution und die des Mittelpunktes der Punktinvolution.

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