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Zieht man in Fig. 17 durch C eine Parallele zu OC und schneidet diese die Achsen OA und OB in A“ und B“, so ist OA“ = EC, OB“= EC, CA“= b, CB“= a, B“A“= C,C = (a – b). Hieraus folgt der weitere Satz: Gleitet eine Strecke A“ B“ mit ihren Endpunkten auf zwei rechtwinkligen Geraden, so beschreibt ein Punkt C auf ihrer Verlängerung, dessen Abstände von ihren Endpunkten gleich a und b sind, eine Ellipse mit den Halbachsen a und b. Jede Ellipse kann also in doppelter Weise durch Bewegung erzeugt werden, indem man entweder eine Strecke von der Länge (a + b) oder eine von der Länge (a b) mit ihren Endpunkten auf den Achsen der Ellipse gleiten läßt. Im ersten Falle ist es ein Punkt der Strecke selbst, im letzteren ein Punkt auf ihrer Verlängerung, der die Ellipse erzeugt.

24. Konstruktion der Ellipse k aus fünf gegebenen Punkten A, B, C, D, E derselben. Wählen wir die Gerade A B = a zur Affinitätsachse, so muß nach 17 ein zur Ellipse k affiner Kreis k existieren, falls es möglich sein soll durch die fünf beliebig gegebenen Punkte eine Ellipse zu legen. Bezeichnen wir nun (Fig. 18) mit C, D, E, die affinen Punkte zu C, D, E, so müssen die Punkte P' = D E. × D, E und P= DC × D, C auf a liegen, ferner DD, | EE | CC sein und endlich müssen die fünf Punkte A, B, C, D, E, einem Kreise k angehören. Das liefert die Relationen: PD: PE = PD, : PE und PA. PB = PD, PE,

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und aus den letzteren: PA . PB , PD (PD)* = ++++ Da auf der rechten Seite dieser Gleichungen nur bekannte Punkte vorkommen, so lassen sich die Werte PD und PD, wie folgt konstruieren. Man bestimme Q' auf a, so daß DQ EA wird, dann ist: P'Q' = PA . P' D: PE. Damit geht die erste Gleichung in (PD)* = PQ. P B über, d. h. PD, ist gleich der Kathete PF eines rechtwinkligen Dreieckes mit der Hypotenuse P'Q', dessen Höhe in B errichtet ist. Ebenso bestimme man Q auf a, so daß DQCB wird; dann ist PD, gleich der Kathete PF eines rechtwinkligen Dreieckes mit der Hypotenuse PA, dessen Höhe in Q errichtet ist. Damit ist aber D, als Schnittpunkt zweier Kreise gefunden. Legt man jetzt einen Kreis k durch A, B und D, , so schneidet er D, P und DP noch in den Punkten E und C, und es ist gemäß unserer Konstruktion EE | DD, CC. Der Kreis k ist demnach wirklich zu der gesuchten Ellipse affin, und man konstruiert ihre Punkte vermöge dieser Affinität, wobei a die Achse und D und D, entsprechende Punkte sind. Man erkennt aus der Figur, daß nicht jede fünf willkürlich gegebenen Punkte auf einer Ellipse liegen, da die Kreise mit den Mittelpunkten P resp. P und den Radien PF resp. PF sich nicht immer schneiden. Die vollständige Erklärung hierfür wird sich erst an späterer Stelle im fünften Kapitel ergeben.

ZWEIT ES KAP IT EL.

Darstellung der Punkte, Geraden und Ebenen in Orthog0naler Projektion. Bestimmung der einfachen Beziehungen dieser Grundgebilde zu einander.

Das Verfahren der orthogonalen Parallelprojektion.

25. Werden durch alle Punkte einer räumlichen Figur senkrecht zu einer gegebenen Ebene TT, projizierende Strahlen gezogen, so erzeugen deren Schnitt- oder Spurpunkte in TT, ein ebenes Bild der Raumfigur, welches als eine orthogonale Projektion bezeichnet wird. Jeder Punkt P des Raumes hat einen bestimmten Punkt P in TI, zu seiner Orthogonalprojektion; dagegen bildet der Punkt P gleichzeitig die Projektion aller Punkte der durch ihn zu TI, gelegten Senkrechten. Ein Raumpunkt P ist somit durch seine Projektion P noch nicht bestimmt, vielmehr gehört hierzu ein weiteres Bestimmungsstück, etwa die Strecke PP, d. h. der senkrechte Abstand des Punktes P von der Projektionsebene TT. Dabei ist diesem Abstand zur Unterscheidung der beiden Richtungen, nach denen er von P aus aufgetragen werden kann, ein bestimmtes Vorzeichen beizulegen. Auf die zuletzt angeführte Bestimmungsweise kommt seinem Wesen nach das gebräuchlichste Darstellungsverfahren”) zurück, das unter Voraussetzung zweier zu einander rechtwinkliger Projektionsebenen TI und TT, jeden Punkt durch seine beiden Orthogonalprojektionen P und P“ auf TT und TT, bestimmt. 26. Um die Vorstellung zu fixieren, nimmt man die erste Projektionsebene TT horizontal, mithin die zweite Projektionsebene TT, vertikal an und bezeichnet P als Grundriß, erste oder Horizontalprojektion, P“ als Aufriß, zweite oder Vertikalprojektion. Ferner nennt man TT, die Grundriß- oder Horizontalebene, TI, die Aufriß- oder Vertikalebene und r = TT, × TT, die Achse der Projektion. Von den Ebenen TT, und TT, werden natürlich nur begrenzte Teile als Projektionstafeln Z/ thatsächlich benutzt; sie sind P" aber an sich als unbegrenzt ----- vorzustellen. Der ganze Raum / wird durch die Projektions- ebenen in vier Fächer oder – – Quadranten, jede Projektionsz ebene durch die Achse in /7 zwei Halbebenen zerlegt. Zur Orientierung dienen Benennungen, die, ebenso wie die schon angeführten, für Fig. 19. einen auf der Grundrißebene stehenden und der Aufrißebene zugewandten Beschauer zutreffen. Man sagt nämlich von einem Punkte, er liege über, auf oder unter der Grundrißebene und zugleich vor, auf oder hinter der Aufrißebene. Die auf den projizierenden Strahlen gemessenen Strecken PP = (P – TT). PP“ = (P – TT)

heißen erster und zweiter Tafelabstand des Punktes P; für beide wird das Vorzeichen in dem vorderen oberen Fache positiv angenommen; es wechselt beim Durchgang von P durch die betreffende Projektionsebene. Die Ebene PPP" der beiden projizierenden Strahlen steht zu beiden Projektionsebenen und folglich auch zur Achse r senkrecht. Ist also (Fig. 19) P. = PPP“ × r, so sind PP, PP und P“P. L x und PPPP ist ein Rechteck. 27. Hieraus erkennt man:

a) Die von den beiden Projektionen eines Punktes (und von diesem selbst) auf die Achse gefällten Lote haben denselben Fußpunkt P.

3) Der erste (zweite) Tafelabstand eines Punktes stimmt nach Größe und Vorzeichen mit dem Abstande seiner zweiten (ersten) Projection von der Achse überein. Liegt insbesondere der Punkt P auf einer Projektionsebene, so fällt die bezügliche Projektion mit ihm zusammen, die andere auf die Achse. Ein Punkt der Achse endlich liegt mit seinen beiden Projektionen vereinigt.

Aus den beiden in TI und TT, verzeichneten Projektionen eines Punktes, welche die Bedingung a) erfüllen müssen, sonst aber beliebig angenommen werden können, wird dieser selbst nach 3) eindeutig bestimmt und zwar am einfachsten als Schnittpunkt der in P' auf TT und in P“ auf TT, errichteten Senkrechten. – Aus der Darstellung eines Punktes ergeben sich aber die der Geraden und Ebenen, sowie überhaupt der zusammengesetzten Raumgebilde.

28. Die Projektion einer Linie wird als Gesamtheit der Projektion ihrer Punkte erhalten. Die ersten Projektionen aller Punkte einer Geraden g ergeben deren Grundriß, erste oder Horizontalprojektion g', ebenso die zweiten Projektionen den Aufriß, die zweite oder Vertikalprojektion g''. Die projizierenden Strahlen sämtlicher Punkte von g bilden resp. eine erste oder zweite projizierende Ebene. Die Projektionen der Geraden sind also die Schnittlinien (Spuren) ihrer projizierenden Ebenen in TT und TT, mithin selbst gerade Linien. Eine Ausnahme tritt nur für den besonderen Fall ein, daß die Gerade g zu einer Projektionsebene senkrecht ist; es existiert dann keine zugehörige projizierende Ebene mehr; die betreffende Projektion wird ein Punkt, während die andere Projektion eine zur Achse senkrechte Gerade bildet.

29. Nach Annahme einer Geraden g ist ihre Orthogonalprojektion g' auf eine gegebene Ebene als Spur der projizierenden Ebene bestimmt; dagegen ist g durch eine Projektion noch nicht bestimmt. Die beiden Projektionen g und g“ auf TT und TT, die wir willkürlich annehmen dürfen, definieren jedoch eine Raumgerade g, und zwar ist sie die Schnittlinie der beiden durch g' resp. g“ senkrecht zu TT resp. TT, gelegten Ebenen. Ausgenommen hiervon ist der Fall, wo eine der projizierenden Ebenen auf der Achse senkrecht steht; dann fällt die andere projizierende Ebene mit ihr zusammen, und die Projektionen g' und g“ stehen in dem nämlichen Punkt der Achse auf dieser senkrecht. Ist demnach g' zur Achse normal, so ist auch g' in dem gleichen Punkt zur Achse normal; zur vollständigen Bestimmung der Raumgeraden g sind hier noch weitere Angaben erforderlich.

30. Die Darstellung einer Geraden g kann immer auf die zweier auf ihr liegender Punkte P und Q zurückgeführt werden, durch deren Projektionen dann die der Geraden g hindurchgehen,

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also g= P'Q', g= P"Q". Unter allen Punkten einer Geraden haben aber ihre Schnittpunkte mit den Projektionsebenen, nämlich G =g × TT, und G2 =g × TT, eine besondere Bedeutung. Sie heißen erster und zweiter Spur- oder Durchstoßpunkt der Geraden. Jeder Spurpunkt fällt mit seiner gleichnamigen Projektion zusammen, während seine andere Projektion auf der Achse liegt (Fig. 20). – Ist g einer Tafelebene parallel, so liegt in dieser ihr Spurpunkt unendlich fern, die Projektion auf die andere Tafelebene wird zur Achse parallel. Z. B. folgt aus g TT, daß gg und g“ x ist (Fig. 21).

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