wo 26 den zu TU 2 a konjugierten Durchmesser bezeichnet. Gehen t, u, v, w in die vier Scheiteltangenten der Ellipse über (Fig. 216a), so bedeuten a und b die Halbachsen.

Läßt man dagegen bei der Hyperbel die Gerade v in eine Asymptote übergehen, so ergiebt sich, da jetzt PT und QU entgegengesetzte Richtung haben:

wo 2b das zwischen den Asymptoten liegende Stück der Tangenten in den Endpunkten des Durchmessers TU 2 a bezeichnet. Gehen speziell t, u, v, w in die Scheiteltangenten und Asymptoten über

=

(Fig. 216b), so bedeutet a die reelle Halbachse der Hyperbel, während man b als imaginäre Halbachse bezeichnet.

332. Es seien MX und MY konjugierte Durchmesser des Kegelschnittes, und zwar sei MY parallel zu den Tangenten t und u, während MX durch ihre Berührungspunkte T und U geht. Wir legen ihnen (wie in Fig. 215 durch Pfeile angedeutet) einen bestimmten Durchlaufungssinn bei. Die parallel zu MX und MY gemessenen Abstände irgend eines Punktes der Ebene von MY resp. MX nennen wir seine Koordinaten x, y und geben ihnen das positive oder negative Vorzeichen, je nachdem sie mit MX und MY von gleichem Sinne sind, oder nicht. X und Y seien die unendlich fernen Punkte der betrachteten konjugierten Durchmesser. Letztere würden in der Sprache der analytischen Geometrie als Achsen des schiefwinkligen Koordinatensystems zu bezeichnen sein und ihr Schnittpunkt M als Koordinatenanfangspunkt.

Das Dreieck PQY ist dem Kegelschnitt umschrieben; die Verbindungslinien seiner Ecken mit den Berührungspunkten der Gegenseiten: PU, QT, YV schneiden sich daher in einem Punkte L (273).

Ist also noch: K = MX × VY, d. h. VK || MY, so ergeben sich die Beziehungen:

VQ: PQ LV: TP, also KL = LV;

=

KL: TP = KU: TU =
KL: UQ= KT: UT, also (KL. TU)2 = KU.TK.TP. UQ.

Setzt man x, y als die Koordinaten des Kegelschnittpunktes ein, so hat man MK = x (in der Figur ist z negativ), KV = y = 2 KL,

KU = α

X, TK = a + x und überdies TP. UQ

=

+b2, je nachdem

eine Ellipse oder Hyperbel vorliegt. Demnach erhält man:

als Gleichung der Hyperbel, beide bezogen auf zwei konjugierte Durchmesser (oder speziell die Achsen) als Koordinatenachsen.

333. Der Satz über das einem Kegelschnitt umschriebene Viereck, wonach seine Diagonalen und die Verbindungslinien der Berührungspunkte seiner Gegenseiten durch den nämlichen Punkt gehen (266), läßt noch eine sehr wertvolle Anwendung auf die Hyperbel zu, wenn man zwei Gegenseiten dieses Vierecks mit den Asymptoten zusammenfallen. läßt. In Fig. 217 stellt PQRS ein solches Viereck dar, und es müssen sich seine Diagonalen PR und QS auf der unendlich fernen Geraden schneiden, da die letztere die Berührungspunkte der Asymptoten verbindet. Aus dem Parallelismus von PR und QS folgt die Ähnlichkeit der Dreiecke MPR und MQS, und diese liefert die Relation:

M

T

T

Fig. 217.

Tangenten sein. Die Hyperbeltangenten schneiden auf den Asymptoten Strecken ab, deren Produkt konstant ist. Oder mit anderen Worten: Das von einer beliebigen Tangente der

Hyperbel und ihren Asymptoten begrenzte Dreieck hat konstanten Flächeninhalt.

Faßt man PMS als ein der Hyperbel umschriebenes Dreieck auf, so müssen sich die Verbindungslinien seiner Ecken mit den Berührungspunkten der gegenüberliegenden Seiten in einem Punkte schneiden. Ist also T der Berührungspunkt der Tangente PS, so geht MT durch den Schnittpunkt der Geraden, die man durch. P und 8 resp. zu MS und MP parallel ziehen kann. 7' ist demnach der Mittelpunkt des Parallelogramms mit den Seiten MP und MS und halbiert die Strecke PS. Die von den Asymptoten auf einer beliebigen Hyperbeltangente begrenzte Strecke wird vom Berührungspunkt halbiert.

334. Nimmt man die Asymptoten als Koordinatenachsen und setzt für den Hyperbelpunkt 7 die Koordinaten:

x = MT' = } MS, y = MT" = {MP an, so folgt als Gleichung der Hyperbel:

xy = konst.

Das Produkt der Abstände eines Hyperbelpunktes von den Asymptoten ist konstant, wenn diese Abstände jedesmal in der Parallelen zur andern Asymptote gemessen werden. Oder auch: Das Produkt der Abstände eines Hyperbelpunktes von den Asymptoten ist konstant, wenn alle Abstände in der gleichen Richtung gemessen werden. Denn sind P und Q zwei Hyperbelpunkte und MP', MP", MQ', MQ" die zugehörigen Koordinaten (Fig. 218), so ist: MP': MQ' MQ": MP". Schneiden nun zwei Parallelen durch P und Q die Asymptoten in A1, A1⁄2, resp. B1, B2, so folgt:

und:

=

MP': MQ' = PA1: QB1

MP": MQ" PA: QB2.

=

Die linken Seiten dieser Gleichungen stimmen überein, also auch die rechten; so ergiebt sich die gewünschte Relation:

Stehen die Asymptoten einer Hyperbel aufeinander senkrecht, so heißt sie gleichseitig. In diesem Falle folgt nämlich aus 331 b = a.

335. Die konjugierten Durchmesser eines Kegelschnittes bilden eine Involution und bei der Hyperbel sind die Asymptoten die Doppelstrahlen dieser Involution (290). Demnach liegen die Asymptoten der Hyperbel zu jedem Paare konjugierter Durchmesser harmonisch. Zieht man also (Fig. 219) zu irgend einem Durchmesser

=

eine Parallele DE, so halbiert der konjugierte Durchmesser die Strecke DE, welche von den Asymptoten auf ihr abgeschnitten wird (CD CE). Andererseits wird aber jede zu einem Durchmesser parallele Sehne vom konjugierten Durchmesser halbiert, so daß CA CB ist. Die Strecken, welche auf einer Sekante

=

zwischen der Hyperbel und ihren Asymptoten liegen, sind einander gleich (AE = BD).

=

Daraus ergiebt sich auch wieder das obige Resultat für die Tangente, nämlich TR TS. Aus dem Gesagten kann man die Hyperbel leicht konstruieren, wenn man ihre Asymptoten und einen ihrer Punkte A kennt.

ein Durchmesser. Führen wir diese Konstruktion insbesondere bei der Parabel aus (Fig. 220), so geht dieselbe durch die Mitte O der

Strecke LW, da L und UV als Pol und Polare den genannten Durchmesser, dessen einer Endpunkt unendlich fern ist, harmonisch teilen. Es besteht also der Satz: Die Strecke zwischen dem Mittelpunkt einer Parabelsehne und ihrem Pole wird von der Parabel halbiert.

Wie in 333 der Hyperbel, so wollen wir jetzt der Parabel ein Viereck umschreiben, und zwar wählen wir als dessen Seiten drei beliebige Tangenten u, v, m und die unendlich ferne Gerade. Sind U, V und M die Berührungspunkte von u, v und m, sind ferner P und Q die Schnittpunkte von u und v mit m, endlich S und R die auf u und v liegenden unendlich fernen Punkte, so schneiden sich PR (v) und QS(u) in einem Punkte N, durch den sowohl die Sehne UV als auch der durch M gezogene Durchmesser gehen. Daraus folgt:

PU: PLNU: NV=QL: QV.

Aufzwei Parabeltangenten werden die Strecken zwischen ihrem Schnittpunkt und ihren Berührungspunkten von jeder weiteren Tangente nach demselben Verhältnis geteilt. 337. Ziehen wir in unserer Figur noch UU' || VV' || m (U' und V' auf MN), so können wir

und

ansehen.

Dabei spielen die Tangente in M und der durch M gehende Parabeldurchmesser die Rolle der Koordinatenachsen. Nun verhalten sich zwei parallele Strecken PU und QN ebenso wie ihre Parallelprojektionen MU' und MN auf die Gerade MX, also: MU': MN PU: QN = NU: VN = UU' : VV':

Durch Multiplikation folgt hieraus als Gleichung der Parabel: x: x = yy, oder y2: x = y2: x1

=

konst.

Wählt man irgend einen Durchmesser der Parabel zur Abscissenachse und die Tangente in seinem Endpunkte zur Ordinatenachse, so verhalten sich die Abscissen der Parabelpunkte wie die Quadrate ihrer Ordinaten. Insbesondere verhalten sich die senkrechten Abstände der Parabelpunkte von der Scheiteltangente, wie die Quadrate ihrer Abstände von der Achse der Parabel.

338. Schon im vorigen Abschnitt (307 und 308) sind perspektive Beziehungen zwischen einem beliebigen Kegelschnitt und einem Kreise hergestellt worden. Von der dort behandelten ebenen Per