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Nach 297 gilt der Satz: Jede Punktreihe auf einem Kegelschnitt ist projektiv zu dem Tangentenbüschel, dessen Tangenten ihn in den entsprechenden Punkten der Reihe berühren. Beachtet man, daß hiernach zu zwei projektiven Punktreihen auf einem Kegelschnitt zwei projektive Tangentenbüschel gehören, und daß zwei projektive Reihen involutorisch liegen, wenn ein vertauschbares Entsprechen zwischen ihren Punkten stattfindet, so ergiebt sich ein neuer Satz: Bilden auf einem Kegelschnitt die Punktepaare A A1, B, B, CC, . . . eine Involution, so gilt das Gleiche von den Tangentenpaaren aa1, bb1, cc , . . ., deren Berührungspunkte jene sind. 315. Die Verbindungslinien der Punktepaare 4A, B B1, CC , . . . einer auf einem Kegelschnitte liegenden In volution gehen durch einen Punkt M, den Mittelpunkt der Involution (Fig. 202). Zunächst ist aus 224 bekannt, daß zwei Paare entsprechender Punkte genügen, um die Involution festzulegen. Die vier Punkte A, ° B, C, C des Kegelschnittes sind projektiv zu den ihnen involutorisch entsprechenden Punkten A, B, C, C. Folglich a, ist auch der Strahlbüschel B(A, B, C, C) projektiv zu dem Büschel A (A, B, C, C) und nach 190 projektiv zu dem Büschel A (B, A, C, C). Der erste und dritte Büschel haben den Strahl BA entsprechend gemein, sie sind somit perspektiv; folglich liegen die Punkte AA, × BB = M, C und C auf einer Geraden, oder die Geraden AA, BB, CC gehen durch einen Punkt M. 316. Sind nun a, a, b, b, c, c, . . . die Tangenten des Kegelschnittes k in den Punkten A, A1, B, B, C, C, . . . der vorhin betrachteten Involution, so bilden sie die Paare einer Involution von Tangenten an demselben. Zugleich sind die Punkte a × a, b × b, e × c, . . . die Pole der Verbindungslinien AA, BB, CC, . . . in Bezug auf den Kegelschnitt. Da letztere durch einen Punkt 1 gehen, liegen erstere auf seiner Polare m, daher gilt der Satz:

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Fig. 202.

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Sind aa, bb, cc , . . . die Paare einer Involution von Tangenten an einem Kegelschnitt, so liegen ihre Schnittpunkte auf einer Geraden m, der Achse der Involution. 317. Eine Strahlenin volution mit dem Scheitel S sei durch zwei Paare a und a, b und b, sich vertauschbar entsprechender Strahlen gegeben. Man konstruiere: erstens zu einem gegebenen Strahle c den entsprechenden c, zweitens das Paar rechtwinkliger Strahlen, drittens die Doppelstrahlen der Involution. Die gegebenen Strahlen schneiden einen beliebig durch S gelegten Kreis k in Punktepaaren A und A, B und B, einer Involution (Fig. 203). Man findet den Mittelpunkt M der Involution als AA X BB. Schneidet der Strahl c den Kreis in C, so trifft ihn der entsprechende Strahl c in C, wo C den zweiten Schnittpunkt der Linie MC mit k bedeutet. Schneidet ferner die Verbindungslinie von M mit dem Kreismittelpunkt K aus dem Kreis die Punkte X und X aus, so sind r=SX und r = SX. die sich entsprechenden rechtwinkligen Strahlen. Sind endlich U und Y die Berührungspunkte der aus M an den Kreis gelegten Tangenten (oder die Schnittpunkte mit der Polare m von M), so bilden u = SU und v = SY die Doppelstrahlen der Involution. 318. Eine Involution von Punkten auf einer Geraden g sei durch zwei Paare A und A, B und B, sich vertauschbar entsprechender Punkte gegeben. Man bestimme: erstens zu einem gegebenen Punkt C den entsprechenden C , zweitens den Mittelpunkt und drittens die Doppelpunkte der Involution. Man lege an den Träger g der Involution einen berührenden Kreis k; seine durch die gegebenen Punkte verlaufenden Tangenten a und a, b und b, bestimmen eine Involution von Tangenten (Fig. 204). Die Achse p derselben ergiebt sich als Verbindungslinie von A = a × a, mit B = b × b. Je zwei Tangenten c und ci des Hilfskreises, die sich in einem Punkte C von p treffen, schneiden auf g entsprechende Punkte C und C aus. Der zu g parallelen Tangente m, entspricht auf gleiche Weise die den Mittelpunkt M der Involution enthaltende Tangente m. Endlich entsprechen die

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Fig. 204.

Tangenten u und v in den Schnittpunkten des Kreises mit der Achse p sich selbst und bestimmen daher auf g die Doppelpunkte U und Y der Involution. Man hätte auch die ganze Aufgabe auf die vorhergehende zurückführen können, indem man die Punktinvolution aus einem beliebigen Punkt durch eine Strahleninvolution projizierte. 319. Wir wenden uns jetzt zu den am Anfang dieses Abschnittes erwähnten Aufgaben über Kegelschnitte. Es sollen die Schnittpunkte einer Geraden g mit einem Kegelschnitte k gefunden werden, von dem man fünf Punkte A, B, C, D, E kennt. Zwei den Kegelschnitt erzeugende projektive Strahlbüschel sind z. B. durch die von A und B nach den Punkten C, D, E laufenden Strahlen gegeben; sie schneiden auf der Geraden g zwei projektive Punktreihen C, D, E und C, D, E, aus, deren Doppelpunkte U und Y sich nach 313 bestimmen lassen. Dann sind AU und BU – und ebenso AJ und BY – entsprechende Strahlen der vorher genannten projektiven Strahlbüschel, ihre Schnittpunkte U und Y liegen also auf dem Kegelschnitt und sind die gesuchten Schnittpunkte von g und k (Fig. 205). Zur Lösung unserer Aufgabe ist demnach ein Verzeichnen des Kegelschnittes selbst nicht erforderlich. 320. Analog wird die Aufgabe behandelt: Aus einem Punkte S die Tangenten an einen Kegelschnitt k zu ziehen, von dem man fünf Tangenten a, b, c, d, e kennt. Die Schnittpunkte zweier der gegebenen Tangenten, z. B. a und b, mit den drei übrigen,

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Fig. 206.

c, d und e, bilden die erzeugenden Punktreihen von k und bestimmen mit S als Scheitel zwei projektive Strahlbüschel, deren Doppelstrahlen u und v die gesuchten Tangenten sind. Hier wie dort können sich je nach der Lage von g und S gegen den Kegelschnitt zwei getrennte, zwei vereinte oder keine Doppelelemente als Lösung ergeben. 321. Die Polare eines Punktes P in Bezug auf einen durch fünf Punkte A BCD E gegebenen Kegelschnitt k wird konstruiert, indem man P mit zweien der Punkte, etwa A und B, verbindet und auf den erhaltenen Strahlen die zweiten Schnittpunkte F und G mit k aufsucht. Letzteres geschieht mit Hilfe des Pascal'schen Satzes (vergl. 268). Dann verbindet die Polare p von P nach 275a die beiden Punkte AE × FG = Q und AG × EF= R (Fig. 206). 322. Analog konstruiert man den Pol einer Geraden p in Bezug auf einen durch fünf Tangenten bestimmten Kegelschnitt k. Man schneide nämlich p mit zweien der Tangenten, etwa a und e, und ziehe aus diesen beiden Schnittpunkten die noch fehlenden Tangenten f und g an k, was mit Hilfe des Brianchon'schen Satzes geschieht (Fig. 207). Dann gehen die Verbindungslinien q von a × e und f × g, sowie r von a × g und e × f durch den gesuchten Pol P von p (pqr ist Polardreieck nach 276). 323. Wenn man zu einemingegebener Richtung unendlich fern liegenden Punkte P die Polare p in Bezug auf den Kegelschnitt durch die fünf Punkte ABCDE konstruiert, so bildet p einen Durchmesser desselben. Ist ferner P. der unendlich ferne Punkt des Durchmessers p und p, seine Polare, so bestimmen p und p, den Mittelpunkt M des Kegelschnittes und sind konjugierte Durchmesser (288). Zwei Paare konjugierter Durchmesser p und p, q und q bilden im Mittelpunkt M zwei Strahlenpaare einer Involution, deren Doppelstrahlen u, v die Asymptoten und deren rechtwinkliges Strahlenpaar r, y die Achsen des Kegelschnittes ergeben (291). Hiernach können die genannten Elemente aus fünf gegebenen Punkten eines Kegelschnittes konstruiert werden, ohne daß dieser vorher selbst verzeichnet werden müßte. Die Endpunkte der Achsen ergeben sich nach 328. Die erforderlichen zwei Paare konjugierter Durchmesser werden am einfachsten folgendermaßen gefunden. Man konstruiere, ausgehend von den fünf gegebenen Punkten ABCDE den zweiten Endpunkt F der Fig. 208. Kegelschnittsehne AF BC und ebenso den zweiten Endpunkt G der Sehne BGAE. (Diese Konstruktion, bei der man sich des Pascal'schen Satzes bedienen kann, ist in Fig. 208 als be

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Fig. 207.

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