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Hiernach und nach dem Obigen haben die vier Geraden AC, BD, PR und QS den Punkt M gemein. In gleicher Weise folgt, daß sich die vier Geraden AC BD, PR und QS in einem Punkte M, schneiden, wenn D, der Berührungspunkt der Tangente RS ist, u. s. f. Es ist also der Strahlbüschel B (D, D1, D2, . . . ) projektiv zu der Reihe (M, M, M, . . . ) und somit projektiv zu den Reihen (R, R, J2, . . . ) und (S, S, S2, . . . ). Nun ist PQ eine beliebige Tangente und B ihr Berührungspunkt. Für jeden andern Punkt B der Kurve gilt das Gleiche, so daß die genannten Reihen auch zu dem Büschel B (D, D1, D2, . . . ) projektiv sind. Damit ist der Satz in 299 beW1ESEN. 301. Die in diesem Abschnitt behandelte doppelte Erzeugungsweise der Kegelschnitte durch zwei projektive Punktreihen oder Strahlbüschel giebt uns die Mittel an die Hand, beliebig viele Tangenten und Punkte desselben in einfachster Weise zu zeichnen. Zunächst gilt der Satz: Fünf Punkte einer Ebene, von denen keine drei in einer Geraden liegen, bestimmen einen Kegelschnitt, der sie enthält. Die aus zweien der gegebenen Punkte, A und B, nach den übrigen C, D, E gezogenen Strahlen bestimmen nämlich zwei projektive Strahlbüschel und diese erzeugen einen durch die fünf Punkte verlaufenden Kegelschnitt. Den nämlichen Kegelschnitt erhält man nach 295 auch, wenn man irgend zwei andere unter den gegebenen Punkten als Scheitel zweier projektiver Strahlbüschel wählt, in denen sich wieder je zwei Strahlen durch den nämlichen Kurvenpunkt entsprechen. Ist F irgend ein Punkt des Kegelschnittes, so sind die Strahlbüschel A (C, D, E, F, . . .) und B (C, D, E, F, . . .) projektiv. Den Fig. 194. ersteren schneiden wir mit CD, den letzteren mit CE, dann sind auch die Punktreihen (C, D, E, F ...) und C, D, E, F, ...) projektiv (Fig. 194) und sogar perspektiv. Sonach geht FF, durch den Schnittpunkt 0 = DD, × E, E. Man erhält also jedesmal einen Punkt des Kegelschnittes, indem man eine beliebige Gerade durch O zieht, ihren Schnittpunkt auf CD mit A und ihren Schnittpunkt auf CE mit B verbindet; beide Verbindungslinien schneiden sich auf der Kurve. Da insbesondere dem Strahl A B des ersten Büschels im zweiten die Tangente in B entspricht, so verbinde man B = AB × CD mit O, dann geht die in B berührende Tangente durch B = B,0 × CE. 302. Aus unserer Figur folgt auch wiederum der Pascal'sche Satz. Denn bei dem Sechseck AFBDCE liegen die Punkte AF × DC = F , FB × CE = F, und BD × EA = 0 in gerader Linie. Der Pascal'sche Satz ist hiernach eine unmittelbare Folge der Erzeugungsweise eines Kegelschnittes durch zwei projektive Strahlbüschel. Während aber bei dieser zwei Punkte desselben als Scheitel der Büschel auftreten, sind beim Pascal'schen Satz alle sechs Punkte gleichberechtigt. Kennt man fünf Punkte BDCEA des Kegelschnittes, so findet man einen weiteren, wenn man durch A irgend einen Strahl zieht, seinen Schnittpunkt auf CD mit O verbindet, diese Linie mit CE schneidet und dann von B aus einen Strahl durch diesen Schnittpunkt zieht. Die Strahlen durch A und B liefern einen neuen Punkt des Kegelschnittes. Aus unserer Figur erkennt man auch, daß die Umkehrung des Pascal'schen Satzes Geltung hat. Die Ecken eines Sechsecks, dessen drei Paar Gegenseiten sich in drei Punkten einer Geraden schneiden, liegen stets auf einem Kegelschnitt. 303. Ein Kegelschnitt ist bestimmt durch vier Punkte und die Tangente in einem derselben, oder durch drei Punkte und die Tangenten in zweien. Sind A, B, C, D und die Tangente in A gegeben, und ist F irgend ein Punkt des Kegelschnittes, so ist B(A, C, D, F) projektiv zu A (A, C, D, F), wenn AA die Tangente in A bedeutet (Fig. 194). Daraus folgt die Perspektivität der Reihen (A2, C, D, F) und (A, C, D, F), und es ist 0 = A, A, × DD, das Centrum dieser perspektiven Beziehung. Die Konstruktion von F geschieht dann wie vorher. Sind drei Punkte A, B, C und die Tangenten PA und PB in A und B gegeben, so ziehe man durch P einen beliebigen Strahl, der AC und BC in M und M schneiden mag; dann ist D = AN × BM ein Punkt des Kegelschnittes (Fig. 195). Denn die Büschel A(P, B, C, D) und B (P, A, D, C) sind perspektiv, also sind die Büschel A(P, B, C, D) und B (A, P, C, D) projektiv, wie es für den gesuchten Kegelschnitt sein muß (294). Ist L = A B × CD, so ist A LMV ein Polardreieck und die Tangenten in A, B, C, D schneiden sich paarweise auf seinen Seiten (vergl. 296). 304. Fünf Gerade einer Ebene, von denen keine drei durch einen Punkt gehen, bestimmen einen Kegel

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ROHN u. PAPPERITz. I. 2. Aufl. 15

schnitt, der sie berührt. Die auf zwei von den gegebenen

Geraden, a und b, durch die übrigen c, d, e ausgeschnittenen Punkte bestimmen nämlich zwei projektive Punktreihen, und diese erzeugen einen die fünf Geraden be

rührenden Kegelschnitt, Ist f irgend eine von seinen weiteren Tangenten (Fig. 196), so sind die von c, d, e, f... auf a und b ausgeschnittenen Punktreihen (C, D, E, F, ...) und (C2, D2, E, F, . .) pro

--- jektiv und folglich die z Strahlbüschel P (C, Fig. 195. D1, E , F, ...) und

P (C, D, E, F, . . .) perspektiv, wo P = c × d und P = c × e ist. Demnach liegt der Punkt PF x P„F, = F auf der Geraden D, E. Man erhält also jedesmal eine Tangente des Kegelschnittes, indem man von P. und P. nach einem beliebigen Punkt von D, E Strahlen zieht und die Punkte, die sie auf a resp. b ausschneiden, miteinander verbindet. Da insbesondere dem Punkt a × b = B der ersten Reihe in der zweiten der Berührungspunkt B, entspricht, so geht die Verbindungslinie von P. mit P B × D, E durch B, hindurch. AD 305. Unsere Figur liefert auch wiederum den Brianchon’schen Satz. In dem von den sechs Seiten afbdce in der angeführten Reihenfolge gebildeten Sechseck sind a × f= F und d× c = P, ferner fx b= F. und c × e = P, endlich b × d = D, und e × a = E drei Paar Gegenecken, deren Verbindungslinien durch den nämlichen Punkt F gehen.

Fig. 196.

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Kennt man also fünf Tangenten bd.cea eines Kegelschnittes, so findet man eine weitere, indem man b × d mit e × a verbindet und ferner c × d mit demjenigen Punkte von a, durch den die gesuchte Tangente gehen soll. Ihr Schnittpunkt auf b liegt dann mit c × e und dem Schnittpunkt der genannten Verbindungslinien auf einer Geraden. Aus der Figur erkennt man auch die Umkehrung des Brianchon’schen Satzes. Gehen die drei Verbindungslinien der Gegenecken eines Sechsecks durch einen Punkt, so berühren seine sechs Seiten einen Kegelschnitt. 306. Ein Kegelschnitt ist bestimmt durch vier Tangenten und den Berührungspunkt von einer derselben, oder durch drei Tangenten und die Berührungspunkte von zweien. Sind a, b, c, d und der Berührungspunkt A., von a gegeben, so sind die Reihen (A, C, D, F) und (A2, C, D2, P.) auf a und b projektiv (Fig. 196) und die Strahlbüschel P. (A, C, D, F) und P. (A2, C, D, F,) perspektiv. Ihre entsprechenden G Strahlenschneiden sich aufeiner Geraden, die durch PA X PA, und D2 = P D X P, D2 geht; die Konstruktion von f geschieht dann mit Hilfe dieser Geraden wie vorher. Sind die drei Tangenten a, b, c und die Berührungspunkte A und B von a und b gegeben (Fig, 197), so wähle man auf AB einen beliebigen Punkt M; dann schneidet QM auf a einen Punkt S und RM auf b einen Punkt P aus Fig. 197. (Q = b× c, R = a × c) und es ist PS = d eine neue Tangente unseres Kegelschnittes. Denn die Punktreihe (U, A, R, S) ist perspektiv zur Reihe (U, B, P, (9) und folglich nach 190 projektiv zur Reihe (B, U, Q, P), wie es nach 299 für den gesuchten Kegelschnitt sein muß. Verbindet man U = a × b mit Y= c × d und schneidet diese Gerade mit QS in L, so gehen LA und LB durch die Berührungspunkte C resp. D der Tangenten c und d. Die Verbindungslinie beider Berührungspunkte läuft durch M (vergl. 296). 307. Wir hatten in diesem Abschnitt den Kegelschnitt als das Erzeugnis zweier projektiver Strahlbüschel definiert. Wir müssen nun noch zeigen, daß diese Definition mit der früheren übereinstimmt, d. h. daß ein durch zwei projektive Strahlbüschel erzeugter Kegelschnitt sich immer als perspektives Bild eines Kreises ansehen läßt. Zu diesem Zwecke beweisen wir den Satz: Zwei projektive Strahlbüschel kann man durch perspektive Abbildung stets derart in zwei kongruente Strahlbüschel verwandeln, daß der eine von ihnen ungeändert bleibt. Dabei geht dann natürlich der von den ersteren Büscheln erzeugte Kegelschnitt in den von den letzteren erzeugten Kreis über. Es seien a, b, c und a, b, c je drei Strahlen der gegebenen projektiven Büschel mit den Scheiteln S und S (Fig. 198). Dann geht der Kegelschnitt k durch die Punkte S, S, A=a × a, B=b × b, C=c× c, und berührt in S die Gerade t, welche dem Strahl SS = t entspricht und nach 301 konstruiert wird (im Fünfeck SS, ABC schneidet die Verbindungslinie von SS × BC und SA × CS auf AB einen Punkt der gesuchten Tangente t aus). Zieht man nun einen beliebigen Kreis k, der t in S berührt, so ist er perspektiv zum Kegelschnitt k, und zwar ist S das Centrum der Perspektive. Das ergiebt sich, wie folgt. Der Kreis k2 möge t, a, b, c in S, A, B, C, schneiden; ferner sei D =d × d ein beliebiger Punkt von k und D, der auf d liegende Punkt von k2. Nach der Voraussetzung sind die Strahlbüschel (t, a, b, c, d) und (t, a, b, c, d) projektiv, und der erstere ist zu dem Büschel S, (S, A, B, C, D,) kongruent. Demnach ist auch der zweite Büschel zu dem dritten projektiv und sogar perspektiv, da beide den Strahl t, entsprechend gemein haben. Es liegen also die Schnittpunkte von a und S, A, von b, und S, B, von c und S„C, von d und S, D, auf einer Geraden e. Die perspektive Beziehung, für welche S das Centrum, e die Achse bildet und S, S, ein Paar entsprechender Punkte sind, läßt den Büschel mit dem Scheitel S ungeändert und verwandelt den Büschel S in

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den Büschel S.. Insbesondere bildet sie den Strahl d in den

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