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punkt der Ellipse beliebig wählen kann. Umgekehrt kann jede Ellipse auf unendlich viele Weisen als affines Bild eines Kreises erhalten werden, indem auch hier die Wahl der Affinitätsachse noch völlig frei steht. Hierüber belehrt uns der Satz: Eine Ellipse k ist durch zwei konjugierte Durchmesser AA und B B völlig bestimmt. Es sei P ein beliebiger Punkt der Ellipse k, Q ein Punkt auf AA und PQ | BB; ferner setzen wir zur Abkürzung M/A = a, MB = b, MQ = r und QP=y (Fig. 13). Ein zur Ellipse affiner und affin gelegener Kreis sei k.; die zu A, A, B, B, M, P, Q affinen Punkte seien A, A, B, B, J/, P, Q, während wir MA = M/ B = ri, MQ = r und Q, P =y setzen. Mag nun die affine Beziehung zwischen Ellipse und Kreis beschaffen sein, wie sie wolle, immer gelten die Relationen: 3 2 1 / _ /

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Nun besteht für jeden Punkt des Kreises die Gleichung: r*+y* = r“, also besteht für jeden Punkt der Ellipse die Gleichung:

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3:2 Dabei bedeuten rund / die Längen der beiden zu den konjugierten Durchmessern parallelen Strecken, die einerseits von dem beliebigen Ellipsenpunkt und andererseits von diesen Durchmessern begrenzt werden. Durch Länge und Lage der konjugierten Durchmesser AA und B B ist hiernach die Gesamtheit der Ellipsenpunkte bestimmt. 17. Wir wollen jetzt zu der Ellipse k mit den konjugierten Durchmessern AA und BB den affin gelegenen Kreis k konstruieren, wenn die Affinitätsachse a beliebig gegeben ist. Die Tangenten in A und B mögen sich in I schneiden (IABB, IBAA), dann muß dem Parallelogramm MAIB in der affinen Figur ein Quadrat M/A I B entsprechen (Fig. 13) Schneiden also die Geraden MA, MB und MI die Affinitätsachse a in R, S und 7 so ist M, derart zu bestimmen, daß z RMS = 90" und z. RM, T = z_ TMS = 45" wird. Zu dem Ende zeichne man über RS als Durchmesser einen Hilfskreis und wähle auf ihm den Punkt U in der Mitte des Halbkreisbogens RS; dann schneidet UT den Hilfskreis in dem gesuchten Punkt M (z. RMT = Z TI/S = 45° als Peripheriewinkel über den Viertelkreisbogen RU und US). In der That entspricht jetzt dem Parallelogramm MA IB in der affinen Figur ein Quadrat MA IB, wobei M der zu Maffine Punkt ist, und zu dem Kreise k mit dem Mittelpunkt M und dem Radius MA, = MB, ist die Ellipse k mit den konjugierten Halbmessern MA und MB affin (IA × IA, und IB × I B auf a). 18. Will man eine Ellipse k aus zwei konjugierten Durchmessern konstruieren, so kann man einen zu ihr affinen und affin gelegenen Kreis k zeichnen und dann rückwärts zu einzelnen Punkten des Kreises die affinen Punkte der Ellipse suchen, Wie wir soeben sahen, ist dabei die Wahl der Affinitätsachse a noch freigestellt. Um die Konstruktion möglichst einfach zu gestalten, empfehlen sich besonders die folgenden beiden Verfahren. Erstes Verfahren. Es seien (Fig. 14) O der Mittelpunkt, AA' und BB die gegebenen konjugierten Durchmesser einer Ellipse k. Der über AA' als Durchmesser beschriebene Kreis k ist dann zu k affin und AA' ist die Affinitätsachse. Dem Punkt B von k entspricht der affine Punkt B von ki, wo OB LOA ist, und BB ist ein Affinitätsstrahl. – Zu einem Punkte P von k ergiebt sich der affine Ellipsenpunkt P, indem man PQ LAA' zieht und die Parallele zu OB aus Q mit der Parallelen zu BB aus P in P schneidet. – Trifft die Kreistangente in P die Affinitätsachse in 7, so ist PT' die Ellipsentangente in P. – Sollen aus einem Punkte R die Tangenten an die Ellipse gezogen werden, so suche man den affinen Punkt R, und die Berührungspunkte X und K der von ihm an den Kreis k1 gelegten Tangenten; dann sind die zu ihnen affinen Punkte X und Y die Berührungspunkte der gesuchten Ellipsentangenten. – Die Richtungen der Achsen der Ellipse und der zugehörigen rechtwinkligen Durchmesser des Kreises ergeben sich aus der Konstruktion entsprechender rechter Winkel an den affinen Punkten B und B, die Scheitel der Ellipse aus den Endpunkten der genannten Kreisdurchmesser. 19. Zweites Verfahren. Man ziehe durch den Endpunkt B des einen Durchmessers eine Parallele a zum konjugierten AA, die zugleich Ellipsentangente sein wird (Fig. 15). Ein Kreis k vom Radius O, A = OA, welcher a ebenfalls in B berührt, ist dann zur Ellipse kaffin gelegen. Dabei ist a die Affinitätsachse, 0 und 0, sind affine Punkte, und den beiden zu a parallelen und senkrechten Kreisdurchmessern A A und BB entsprechen die konjugierten Durchmesser AA' und BB' der gesuchten Ellipse. Die Konstruktion einzelner Ellipsenpunkte ist analog dem Vorigen. Die Achsen findet man hier direkt aus der Bestimmung der entsprechenden rechten Winkel Z_ XOY und z_ XO, Y an den Mittelpunkten, hierauf aus den Endpunkten C und D, der rechtwinkligen Kreisdurchmesser die Ellipsenscheitel C Fig. 15. und D, u. s. f. 20. Konstruktion der Ellipse aus den Achsen. Es seien OA = a und OB = b (Fig. 16a) die gegebenen Halbachsen einer Ellipse k. Man schlage um 0 zwei Kreise k und k, resp. vom Radius a und b. Jeder ---------

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von ihnen kann als zur ? - so gesuchten Ellipse affin - \ A3, Y gelegen gelten. Bei der Z - N Affinität zwischen k, und 4, 2. B 2 --k ist OA die Achse und (?- LY Y

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bei der Affinität zwischen k, und k ist OB die Achse und A2 und A sind entsprechende Punkte. – Zu einem Punkte P auf k. Fig. 16a. ergiebt sich der affine Ellipsen punkt P auf k, indem man PS LOA zieht, mittels der Beziehung PS: PS = BO: BO = PO: PO; man schneide also PO mit 2 in P, und ziehe P, POA. P ist zugleich der affine Punkt zu P, auf kg. Zwei rechtwinklige Kreisradien OP und OQ, liefern zwei konjugierte Halbmesser OP und OQ der Ellipse. Die Tangenten in P und Q sind zu OQ und OP resp. parallel. Zieht man um O einen Kreis ks mit dem Radius (a + b) und schneidet dieser die Strahlen OP und OQ, in P% und Q, resp., so sind PP, und QQ, Ellipsen normalen, d. h. sie stehen in P und Q auf den bezüglichen Tangenten senkrecht. Denn es ist A PPP, S- A Q2QQ , (P P = Q, Q2, z_ QQQ2 = Z_ PP, P., etc.); ferner ist A Q„QQ, S- A OPP (Q2Q = OP, QQ, = PP, Z_Q2Q1Q = Z OPP). Demnach ist Q„Q = OP und Q„Q LOP (da Q„O LOP ist). Jeder Strahl durch O liefert einen Punkt P der Ellipse als Schnittpunkt zweier Geraden, von denen die erste durch P, parallel zu OA und die zweite durch P. parallel zu OB gezogen ist. Die Gerade PP ist eine Normale der Ellipse und gleich dem zu OP konjugierten Halbmesser OQ. Die Punkte P., P. und P. auf dem durch O gezogenen Strahl haben die bezüglichen Abstände b, a und (a + b) von O. 21. Das eingeschlagene Verfahren ergiebt auch die Lösung der Aufgabe: Zu einem nur der Richtung nach gegebenen Halbmesser der Ellipse den Endpunkt und den konjugierten Halbmesser zu finden. Ein in der gegebenen Richtung aus 0 gezogener Strahl schneide die Kreise k und k2 resp. in den Punkten U und Y (Fig. 16 b); aus diesen konstruiere man wie vorher den Punkt W der Ellipse. Zieht man ferner durch U und Y Parallelen zu OA und O B, die sich in X schneiden mögen, und legt man die Affinität zwischen k und der Ellipse k Fig. 16b. zu Grunde, so entspricht dem Punkt U der Punkt W, der Geraden UX die Gerade WW, dem Punkte X der Punkt V und folglich dem Strahl 0X der Strahl 0/. Insbesondere entspricht dem Punkte P von k der Punkt P von k (PP OB, PP OA), und der zu OX rechtwinklige Strahl 0Q„Q, liefert den Endpunkt Q des zu OP konjugierten Halbmessers 00. 22. Konstruktion der Achsen einer Ellipse aus konjugierten Durchmessern. Irgend zwei konjugierte Halbmesser OC und OD einer Ellipse (Fig. 17) werden aus rechtwinkligen Halbmessern OC, OD, resp. OC, OD, des um- und eingeschriebenen Kreises (vom Radius a und b) erhalten, indem man CC und D D, parallel zur Halbachse OB und CC und D D, parallel zur Halbachse OA zieht. Wird das rechtwinklige Dreieck DD, D, um das Centrum O durch den Z_ DOC = R gedreht, so erhält es die Lage ECC, in der seine Katheten wiederum den Achsen parallel liegen. Nun ist M = EC × CC, der Mittelpunkt des Rechteckes CC, EC2, also MC = MC = MC, = ME. Deshalb schneidet EC die Achsen OA und OB resp. in A' Fig. 17. und B, so daß: MO = MA' = MB wird, d. h. ein um M mit dem Radius MO beschriebener Kreis schneidet die Gerade CE in Punkten A und B der Achsen. Überdies folgt:

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OC = EA = CB = a, OC = CA = EB = b. Sind umgekehrt OC und OD als konjugierte Halbmesser gegeben, so ergiebt sich folgende einfache Konstruktion der Achsen. Man ziehe OE L und = OD, halbiere EC in M und schneide CE mit einem Kreise vom Radius MO in A und B. Dann sind OA' und OB die Achsen der Lage nach und AE = BC resp. A'C = BE die bezüglichen Längen der Halbachsen. 23. Läßt man C die Ellipse durchlaufen, so geschieht dies auch mit dem Endpunkt D des zu OC konjugierten Halbmessers O D. Man erhält dann durch die vorige Konstruktion andere und andere Punkte A und B auf den Achsen; immer aber ist BC = a A C = b, also die Strecke A B von der konstanten Länge (a + b). Hieraus folgt der Satz: Gleitet eine Strecke A' B mit ihren Endpunkten auf zwei rechtwinkligen Geraden, so beschreibt ein Punkt C, der sie in die Teile a und b zerlegt, eine Ellipse mit den Halbachsen a und b. Dieser Satz kann bequem zur Konstruktion von Ellipsenpunkten verwendet werden.

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