daß man die festen Tangenten a und c mit einer beliebigen weiteren Tangente, etwa b, schneidet und die Schnittpunkte P und Q mit M verbindet. Da verschiedene Tangenten b, b1, b2, . . . auf a und c projektive Reihen P, P1, P2,... und Q, Q1, Q2, ausschneiden, so sind auch die Strahlbüschel M(P, P1, P2, .......) und M(Q, Q1, Q,2 ...**)

..

...

=

projektiv und sogar involutorisch. Denn dem Punkt S der ersten Reihe entspricht der Punkt R der zweiten; die Strahlen MP – MR und MQMS entsprechen sich also vertauschbar. Hiermit sind aber die Sätze in 281 und 282 aufs neue bewiesen. Auch erkennen wir aus diesen Darlegungen den Satz: Die Schnittpunkte be

285. Der Mittelpunkt und der unendlich ferne Punkt auf jeder

Sehne eines Kegelschnittes sind harmonische Pole. Hieraus folgt:

Die Mittelpunkte paralleler Sehnen eines Kegelschnittes liegen auf einer Geraden, der Polare ihres unendlich fernen. Punktes (ihrer Richtung); dieselbe heißt ein Durchmesser des Kegelschnittes.

Der Durchmesser enthält die Pole aller der gedachten Sehnen, insbesondere also die Berührungspunkte der zu ihnen parallelen Tangenten des Kegelschnittes (Figg. 186, 187, 188).

Liegt die Kurve gezeichnet vor, so wird ein Durchmesser AB mit Hilfe zweier paralleler Sehnen PQ und RS konstruiert, indem man ihre Endpunkte wechselseitig verbindet und den Durchmesser durch die Punkte U= PRX QS und PSX QR legt. Ꮴ =

286. Alle Durchmes

ser eines Kegelschnittes

Fig. 187.

gehen als Polaren unendlich ferner Punkte durch den Pol der unendlich fernen Geraden; dieser heißt Mittelpunkt des Kegelschnittes. Man übersieht diese Verhältnisse am besten, wenn man sich vom Kegel

Ellipse liegt in ihrem Innern, weil sie von der unendlich fernen

Geraden nicht getroffen wird.

Für die Hyperbel ist der Mittelpunkt ein äußerer Punkt, denn es giebt von ihm aus zwei Tangenten. Ihre Berührungspunkte sind die Schnittpunkte der Hyperbel mit der Polare des Mittelpunktes, d. h. mit der unendlich fernen Geraden. Die Hyperbel besitzt ja zwei unendlich ferne Punkte und die Tangenten in diesen Punkten, die Asymptoten, schneiden sich im Mittelpunkte (vergl. 261).

Der Mittelpunkt der Parabel fällt mit ihrem unendlich fernen Punkte zusammen, weil dieser als Berührungspunkt der unendlich fernen Geraden zugleich deren Pol ist. Man erkennt dies auch sofort daraus, daß die Parabel als perspektives Bild eines Kreises erhalten wird, wenn die Verschwindungslinie den Kreis berührt; der Pol der Verschwindungslinie bezüglich des Kreises ist dann eben ihr Berührungspunkt. Die Parabeldurchmesser sind sämtlich nach dem unendlich fernen Punkt der Parabel gerichtet, also unter sich parallel. Bei der Parabel sagt man auch, sie habe keinen Mittelpunkt, da er ja nicht mehr im Endlichen liegt und also die Durchmesser nicht mehr halbiert (vergl. 287).

287. Ein Durchmesser schneidet entweder den Kegelschnitt und wird dann durch die Schnittpunkte begrenzt (reeller Durchmesser), oder er trifft den Kegelschnitt nicht und ist unbegrenzt (imaginärer Durchmesser). Im ersten Falle ist sein unendlich ferner Pol ein äußerer, im zweiten ein innerer Punkt des Kegelschnittes (vergl. 280).

Die Durchmesser der Ellipse sind sämtlich begrenzt, weil die unendlich fernen Punkte ihrer Ebene alle außerhalb der Kurve liegen.

Unter den Durchmessern der Hyperbel giebt es begrenzte und unbegrenzte, weil die Punkte der unendlich fernen Geraden durch die unendlich fernen Punkte der Hyperbel in äußere und innere Punkte geschieden werden. Zwischen beiden Arten von Durchmessern bilden die Asymptoten den Übergang.

Bei der Ellipse und Hyperbel werden die begrenzten Durchmesser vom Mittelpunkt der Kurve halbiert; denn die Endpunkte eines jeden Durchmessers werden vom Mittelpunkt und seiner Polare, der unendlich fernen Geraden, harmonisch geteilt.

Die Durchmesser der Parabel sind einerseits durch einen Punkt im Endlichen begrenzt und erstrecken sich andererseits bis zu ihrem unendlich fernen Punkte.

Alle hier erwähnten Eigenschaften ergeben sich auch aus den Polareigenschaften des Kreises durch perspektive Abbildung.

288. Zwei Durchmesser eines Kegelschnittes heißen konjugiert, wenn jeder den unendlich fernen Pol des andern

enthält. Jedes Paar konjugierter Durchmesser bildet mit der unendlich fernen Geraden zusammen ein Polardreieck, dessen eine Ecke im Mittelpunkt des Kegelschnittes liegt. Bei der Centralprojektion des Kreises gehen nämlich alle Polardreiecke, deren eine Seite mit der Verschwindungslinie und deren eine Ecke mit ihrem Pol zusammenfällt, in die vorher erwähnten Polardreiecke des Kegelschnittes über. Es folgen hieraus noch weiter die Sätze: Von zwei konjugierten Durchmessern halbiert jeder die zum andern parallelen Sehnen. Die Tangenten in den Endpunkten eines Durchmessers sind zum konjugierten Durchmesser parallel. Konjugierte Durchmesser eines Kreises sind zu einander rechtwinklig.

289. Zu irgend einem Durchmesser der Parabel ist als konjugierter stets die unendlich ferne Gerade zu rechnen, so daß man hier eigentlich nicht von konjugierten Durchmessern reden kann. Beim Kreise, dessen Bild die Parabel ist, entsprehen den Parabeldurchmessern alle Kreissehnen, die durch den nämlichen Punkt des Kreises gehen, in dem er von der Verschwindungslinie berührt wird. Zu allen Sehnen durch den nämlichen Punkt eines Kreises ist aber die Tangente in diesem Punkte eine konjugierte Polare; dagegen können zwei derartige Sehnen nicht konjugierte Polaren sein, da nicht eine den Pol der andern enthalten kann.

Jeder Parabeldurchmesser halbiert ein System paralleler Sehnen, zu dem auch die Tangente in seinem Endpunkte parallel ist. Auch die Parabelsehnen, die zu der Richtung aller Durchmesser senkrecht stehen, werden von einem bestimmten Durchmesser halbiert. Die Parabel besitzt eine Symmetrielinie oder Achse, die alle zu ihr normalen Sehnen halbiert. Der Endpunkt der Achse heißt Scheitel, die zugehörige Tangente ist normal zur Achse.

290. Die Paare konjugierter Durchmesser eines Kegelschnittes bilden an seinem Mittelpunkte eine Involution; denn sie sind harmonische Polaren (282, 288).

Bei der Ellipse hat die Involution der konjugierten Durchmesser keine Doppelstrahlen. Dagegen hat diese Involution bei der Hyperbel Doppelstrahlen; es sind die vom Mittelpunkt an die Hyperbel gelegten Tangenten oder Asymptoten (282). Jedes Paar konjugierter Durchmesser der Hyperbel liegt zu ihren Asymptoten harmonisch.

291. Unter den konjugierten Durchmessern einer Ellipse oder Hyperbel giebt es stets zwei zu einander rechtwinklige; sie heißen Achsen und ihre Endpunkte die

Scheitel. Die Achsen sind Symmetrielinien des Kegelschnittes (vergl. 230).

Die Achsen der Ellipse endigen in vier Scheiteln. Die Achsen der Hyperbel halbieren die Winkel zwischen ihren Asymptoten; die eine trägt die beiden Scheitel der Hyperbel, die andere ist unbegrenzt.

Von der Konstruktion der Achsen wird weiterhin noch die Rede sein.

292. Nach Früherem (276) erhält man ein Polardreieck eines Kegelschnittes entweder als Diagonaldreieck eines eingeschriebenen Vierecks, oder als Diagonaldreieck eines umgeschriebenen Vierseits.

Geht nun das Viereck oder Vierseit in ein Parallelogramm über, so erhält das von ihm abhängige Polardreieck eine unendlich ferne Seite und die beiden andern werden zu konjugierten Durchmessern des Kegelschnittes. Hieraus folgen die Sätze:

Die Diagonalen eines dem Kegelschnitte einbeschriebenen Parallelogrammes schneiden sich im Mittelpunkte; seine Seiten geben die Richtungen konjugierter Durchmesser an. Die Diagonalen eines dem Kegelschnitte umschriebenen Parallelogrammes sind konjugierte Durch

messer.

In den Figg. 189 und 190 sind diese beiden Sätze veranschaulicht unter der Annahme, daß das umschriebene Parallelogramm ABCD den Kegelschnitt in den Ecken des eingeschriebenen Pa