R, H, J. Durch zwei von ihnen, etwa P und J, ist diese Gerade bestimmt. Die Wahl des Punktes L und der Sehne AB durch L genügt aber, um P als Schnitt der Tangenten in A und B, sowie J als vierten harmonischen Punkt zu AB und L zu konstruieren. Hält man also den Punkt Z und die eine Sehne durch ihn, nämlich AB, fest, während man die andere Sehne CD sich um L drehen läßt, so bewegen sich zwar auch die Punkte H, R, M und N auf der Geraden PJ, die Lage der Geraden selbst aber bleibt ungeändert. Hält man dagegen die Sehne CD fest und läßt die Sehne AB sich um I drehen, so bleiben R und H fest und damit wiederum die Lage der Geraden.

Demnach kann man beide Sehnen nacheinander Drehungen um L ausführen lassen, was auch eine Bewegung der sechs Punkte M, N, P, R, H, J nach sich zieht, ohne daß der Träger dieser Punkte seine Lage verändert. Das will aber doch sagen, daß die Gerade MN nur von der Wahl des Punktes L, nicht aber von der Wahl der durch L gezogenen Sehnen abhängt. Aus der Figur können wir nun unmittelbar die schon früher aufgezählten Eigenschaften von Pol und Polare hinsichtlich des Punktes L und der Geraden ablesen.

a) Je zwei beliebige Sehnen durch den Pol besitzen vier Endpunkte, deren vier Verbindungslinien sich zweimal zu zwei auf der Polare schneiden (woraus ihre Konstruktion folgt).

P) Jede Sehne durch den Pol bestimmt in ihren Endpunkten zwei Tangenten, die sich auf der Polare schneiden. 7) Jede Sehne durch den Pol wird von diesem und seiner Polare harmonisch geteilt.

d) Die Tangenten aus dem Pol falls es solche giebt haben ihre Berührungspunkte auf der Polare.

Eine aus an den Kegelschnitt gezogene Tangente ist nämlich als unendlich kleine Sehne aufzufassen, und da L außerhalb der Sehne liegt, muß der vierte harmonische Punkt auf ihr liegen, d. h. er fällt mit dem Berührungspunkt der Tangente zusammen.

276. Die Fig. 182 läßt uns erkennen, daß nicht nur MN die Polare von L ist, sondern daß auch LM die Polare von N und LN die Polare von M ist. Denn BC und AD sind zwei Sehnen durch N; deshalb schneiden sich die vier Verbindungslinien ihrer Endpunkte paarweise auf der Polare von N, nämlich BD und AC in M und AB und CD in L. Das Dreieck LMN hat die besondere Eigenschaft, daß jede Seite die Polare der gegenüberliegenden Ecke ist. Ein solches Dreieck nennt man ein Polardreieck des Kegelschnittes.

ROHN u. PAPPERITZ. I. 2. Aufl.

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Der Anblick unserer Figur lehrt uns sofort die beiden Sätze: Die Diagonalpunkte eines einem Kegelschnitte eingeschriebenen vollständigen Vierecks ABCD bilden die Ecken eines Polardreiecks. Die Diagonalen eines dem Kegelschnitte umschriebenen Vierseits PQRS bilden die Seiten eines Polardreiecks.

277. Der wichtigste Satz der Polarentheorie lautet nun: Geht die Polare eines Punktes I durch einen Punkt N, so geht auch umgekehrt die Polare von N durch den Punkt L. Zieht man nämlich durch N eine beliebige Sehne BC (Fig. 182) und verbindet ihre Endpunkte B und C mit L, so schneiden diese den Kegelschnitt noch je in einem Punkte A resp. D. AB und CD sind aber zwei Sehnen durch L; die vier Verbindungslinien ihrer Endpunkte schneiden sich somit paarweise in zwei Punkten der Polare von L. So wird BC von AD in einem Punkte der genannten Polare getroffen; dies kann jedoch nur der Punkt N sein, da nach der Voraussetzung N ein Punkt dieser Polare ist. Nun gehen BC und AD durch N, folglich liegt L = AB X CD auf der Polare n von N. Zwei Punkte, von denen jeder auf der Polare des andern liegt, heißen harmonische oder konjugierte Pole in Bezug auf den gegebenen Kegelschnitt. Die Beziehung zwischen beiden ist wechselseitig, und falls ihre Verbindungslinie den Kegelschnitt schneidet, liegen sie zu diesen Schnittpunkten harmonisch. Das folgt unmittelbar aus den Eigenschaften von Pol und Polare.

278. Die soeben gewonnenen Resultate kann man noch in anderer Form aussprechen. Bewegt sich ein Punkt L auf einer Geraden n, so dreht sich seine Polare 7 um den Pol N dieser Geraden und umgekehrt. Da nämlich hierbei L stets auf n liegt, oder mit anderen Worten die Polare n von N stets durch L geht, so muß auch die Polare l von I stets durch N gehen, w. z. b. w. Hieraus ergiebt sich auch die Konstruktion des Poles L einer Geraden. Man nehme dazu auf 7 zwei beliebige Punkte J und K an und bestimme ihre Polaren i und k nach 275a. Der Punkt ixk ist dann der Pol von 7, denn die Polare eines jeden Punktes von geht ja durch den zu gehörigen Pol L.

279. Liegt der Pol einer Geraden / auf einer Geraden n, so liegt auch umgekehrt der Pol von n auf der Geraden l Denn ist der Pol von 7 und N der Pol von n, so liegt I nach der Voraussetzung auf n. Da somit die Polare von N durch L geht, muß nach dem Satze in 277 auch die Polare von L, also l

durch N gehen. Zwei Gerade, von denen jede durch den Pol der andern geht, heißen harmonische oder konjugierte Polaren in Bezug auf den gegebenen Kegelschnitt.

die zu

t2

N

Kann man vom Schnittpunktzweier konjugierter Polaren Tangenten an den gegebenen Kegelschnitt legen, so teilen sie den Winkel dieser Tangenten harmonisch. Sind 7 und m die konjugierten Polaren, Lauf m und M auf gehörigen Pole, so ist LM die Polare von N=1x m nach der vorigen Nummer (Fig. 183). Die Berührungspunkte T und T, der von N an den Kegelschnitt gelegten Tangenten t1 und t2 liegen

Fig. 183.

2

L

m

auf der Polare von N, d. h. auf LM. Lund M sind aber konjugierte Pole und teilen deshalb die Sehne TT2 harmonisch, und somit teilen auch und m den Winkel der Tangenten t, und t to harmonisch.

280. Nach dem Vorausgehenden gelten offenbar auch die Sätze: Die harmonischen Pole zu einem gegebenen Pole P in Bezug auf einen Kegelschnitt liegen auf einer Geraden p, der Polare von P. Die harmonischen Polaren zu einer gegebenen Polare p in Bezug auf einen Kegelschnitt gehen durch einen Punkt P, den Pol von p. Ferner ist klar: Berührt die Polare den Kegelschnitt, so ist ihr Pol der Berührungspunkt, und umgekehrt. In Fig. 183 teilen M und L die Sehne TT, harmonisch. Nähert sich nun L dem Punkt T1, so nähert sich auch M diesem Punkt, und rückt L in T, hinein, so thut dies auch M. Es ist aber M der Pol von LN; rückt also der Pol auf den Kegelschnitt, so wird seine Polare zur Tangente in ihm.

Ein Punkt in der Ebene eines Kegelschnittes heißt äußerer oder innerer Punkt, je nachdem seine Polare denselben schneidet oder nicht (vergl. 259).

281. Der in 278 aufgestellte Satz kann noch in folgender Weise erweitert werden: Beschreibt ein Punkt eine Punktreihe, so beschreibt die ihm in Bezug auf einen gegebenen Kegelschnitt zugehörige Polare einen Strahlbüschel, der projektiv zur Punktreihe ist und umgekehrt. Bewegt sich der Punkt L auf einer Geraden m, so dreht sich seine Polare 7 um den Pol M von m. Die Konstruktion der Polare des Punktes L

in seinen verschiedenen Lagen, die wir mit L, L, L,... bezeichnen, führen wir folgendermaßen aus (Fig. 184). Durch M legen wir irgend eine Sehne AC, die wir für alle Konstruktionen festhalten. Die Geraden LA und LC schneiden den Kegelschnitt noch in je einem Punkte D resp. B. Nach 275a liegen dann die Punkte AC X BD und AB X CD auf der Polare 7 von L. Da aber durch den Punkt M von AC geht, so schneiden sich AC und BD in M,

N29

=

B1D1 erscheint. Wir können uns noch weitere Polaren konstruiert denken, dabei wird allgemein die Polare von L, als Verbindungslinie der Punkte M und N. AB, × CD, erhalten. Auf der Geraden m befinden sich nun zwei projektive Punktreihen (L, L1, L2, . . .) und (N, N1, ). Denn zieht man von C aus Strahlen nach den Punkten der ersten Reihe und von A aus Strahlen nach denen der zweiten, so erhält man zwei Strahlbüschel, deren Scheitel auf dem Kegelschnitt liegen und deren entsprechende Strahlen sich in Punkten B, B1, B2, . . . desselben schneiden. Solche Büschel sind aber nach 264 projektiv. Aus der Projektivität der Reihen können wir sofort schließen, daß auch die Punktreihe (L, L1, L, ...) und der Strahlbüschel M (N, N1, N2, ..) projektiv sind, w. z. b. w.

282. Die beiden Punktreihen (L, L1, L1⁄2, ...) und (N, N1, N2, .) sind indessen nicht nur projektiv, sondern sogar involutorisch. Um dies zu beweisen, haben wir nach 220 nur zu zeigen, daß dem Punkte N als einem Punkt der ersten Reihe in der zweiten Reihe wiederum der Punkt L entspricht. Von einem Punkte L, der ersten Reihe gelangt man aber zu dem entsprechenden N in der zweiten, indem man L, mit C verbindet, diese Gerade mit dem Kegelschnitt in B, schneidet; dann liegt N, auf der Verbindungslinie von B, mit A. Fällt L, mit N zusammen, so rückt

i

...

B nach D und DA schneidet auf m den entsprechenden Punkt N aus, der sich also mit I deckt. Die Punktepaare LN, L,N, LN2, · · sind harmonische Pole in Bezug auf den gegebenen Kegelschnitt. Das giebt den Satz: Auf einer jeden Geraden bilden die Paare harmonischer Pole eine Involution. Schneidet die Gerade den Kegelschnitt, so sind ihre Schnittpunkte die Doppelpunkte der Involution. Das letztere ist ohne weiteres klar, da diese Schnittpunkte zu jedem Paar harmonischer Pole harmonisch liegen (223).

Betrachtet man in Fig. 184 die harmonischen Polaren durch den Punkt M, so erkennt man sofort, daß sie involutorische Strahlbüschel bilden, da sie die Gerade m in den Punktepaaren LN, L1N1, L2N2 ... einer Involution schneiden. Alle durch einen Punkt gehenden Geraden ordnen sich in Bezug auf einen Kegelschnitt in Paare harmonischer Polaren zusammen und diese bilden eine Involution. Kann man von dem Punkt aus Tangenten an denselben legen, so sind sie die Doppelstrahlen der Involution.

283. Aus der Fig. 184 können wir noch weitere Schlüsse ziehen. Indem wir von den einzelnen Punkten des Kegelschnittes aus Strahlenpaare nach den festen Punkten A und C ziehen, schneiden diese auf der Geraden m die Punktepaare einer Involution aus, welche harmonische Pole bilden. Dabei ist nur die Voraussetzung gemacht, daß AC durch den Pol M von m geht, daß also m und AC harmonische Polaren sind. Die Verbindungslinien beliebiger Punkte B, B1,, . . eines Kegelschnittes mit zwei festen Punkten und C desselben schneiden jede Gerade m, die harmonische Polare zu AC ist, in harmonischen Polen L und N, L, und N1, . . .

284. Die Resultate der letzten Nummern haben wir aus der Fig. 184 mit Hilfe des eingeschriebenen Vierecks abgeleitet. Wir können sie aber auch aus den Eigenschaften des umgeschriebenen Vierseits gewinnen (Fig. 185). Lassen wir hier den Punkt M und somit auch seine Polare m ungeändert und halten ferner den Punkt U und die durch ihn gehenden Seiten a und c des Vierseits fest, während wir dem Punkte T verschiedene Lagen T, T, T2,... auf m erteilen. Dann nehmen auch die Seiten b und d des Vierseits verschiedene Lagen an und ebenso seine Diagonalen = PR und n = QS. Doch gehen diese letzteren in allen ihren Lagen 7 und n, 1 und n1, l, und n2 durch den Punkt M und bilden harmonische Polaren. Man erhält je zwei harmonische Polaren durch M dadurch,

...