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punkt der Ellipse beliebig wählen kann. Umgekehrt kann jede Ellipse auf unendlich viele Weisen als affines Bild eines Kreises erhalten werden, indem auch hier die Wahl der Affinitätsachse noch völlig frei steht. Hierüber belehrt uns der Satz: Eine Ellipse k ist durch zwei konjugierte Durchmesser AA und BB' völlig bestimmt. Es sei P ein beliebiger Punkt der Ellipse k, Qein Punkt auf A und PQ || BB'; ferner setzen wir zur Abkürzung MA = a, MB = b, MQ=x und QP=y (Fig. 13). Ein zur Ellipse affiner und affin gelegener Kreis sei k1; die zu A, A, B, B', M, P, Q affinen Punkte seien A1, A1', B1, B1', M1, P1, Q1, während wir M11 = M1B1 = r1, M11

1

= X1 und Q1P1

=

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setzen.

Mag nun die affine Beziehung zwischen Ellipse und Kreis beschaffen sein, wie sie wolle, immer gelten die Relationen:

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2

2

=

2

Nun besteht für jeden Punkt des Kreises die Gleichung: x12+y12 also besteht für jeden Punkt der Ellipse die Gleichung:

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Dabei bedeuten und y die Längen der beiden zu den konjugierten Durchmessern parallelen Strecken, die einerseits von dem beliebigen Ellipsenpunkt und andererseits von diesen Durchmessern begrenzt werden. Durch Länge und Lage der konjugierten Durchmesser A und BB' ist hiernach die Gesamtheit der Ellipsenpunkte bestimmt.

1 1 1 1

17. Wir wollen jetzt zu der Ellipse k mit den konjugierten Durchmessern AA und BB' den affin gelegenen Kreis k, konstruieren, wenn die Affinitätsachse a beliebig gegeben ist. Die Tangenten in A und B mögen sich in I schneiden (IA||BB', IB||AA'), dann muß dem Parallelogramm MAIB in der affinen Figur ein Quadrat M111В1 entsprechen (Fig. 13)., Schneiden also die Geraden MA, MB und MI die Affinitätsachse a in R, S und T, so ist M1 derart zu bestimmen, daß RMS = 90° und RM,T = TMS = 45° wird. Zu dem Ende zeichne man über RS als Durchmesser einen Hilfskreis und wähle auf ihm den Punkt U in der Mitte des Halbkreisbogens RS; dann schneidet UT den Hilfskreis in dem gesuchten Punkt M2 (L RMT = 2 TMS = 45° als Peripheriewinkel über den Viertelkreisbogen RU und US). In der That entspricht jetzt dem Parallelogramm MAIB in der affinen. Figur ein Quadrat M4LB1, wobei M, der zu M affine Punkt ist,

und zu dem Kreise k, mit dem Mittelpunkt M1 und dem Radius
МА
M1A1 = M1B1 ist die Ellipse k mit den konjugierten Halbmessern
MA und MB affin (IA × Ã1⁄4 und IB × ÏÂ1 auf a).

1

18. Will man eine Ellipse k aus zwei konjugierten Durchmessern konstruieren, so kann man einen zu ihr affinen und affin gelegenen Kreis k, zeichnen und dann rückwärts zu einzelnen Punkten des Kreises die affinen Punkte der Ellipse suchen. Wie wir soeben sahen, ist dabei die Wahl der Affinitätsachse a noch freigestellt. Um die Konstruktion möglichst einfach zu gestalten, empfehlen sich besonders die folgenden beiden Verfahren.

B.

Erstes Verfahren. Es seien (Fig. 14) O der Mittelpunkt, AA' und BB' die gegebenen konjugierten Durchmesser einer Ellipse k. Der über AA als Durchmesser beschriebene Kreis k1 ist dann zu k affin und AA' ist die Affinitätsachse. Dem Punkt B von k entspricht der affine Punkt B1 von k,, wo OB, OA ist, und BB, ist ein Affinitätsstrahl. Zu einem Punkte P1 von k1 ergiebt sich der affine Ellipsenpunkt P, indem man PQAA' zieht und die Parallele zu OB aus Q mit der Parallelen zu B1B aus P1 in P schneidet. Kreistangente in P1 die Affini

Y

Fig. 14.

R

1

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1

1

Trifft die

tätsachse in 7, so ist PT die Ellipsentangente in P. Sollen aus einem Punkte R die Tangenten an die Ellipse gezogen werden, so suche man den affinen Punkt R1 und die Berührungspunkte X und Y1 der von ihm an den Kreis k1 gelegten Tangenten; dann sind die zu ihnen affinen Punkte X und Y die Berührungspunkte der gesuchten Ellipsentangenten. Die Richtungen der Achsen der Ellipse und der zugehörigen rechtwinkligen Durchmesser des Kreises ergeben sich aus der Konstruktion entsprechender rechter Winkel an den affinen Punkten B und B1, die Scheitel der Ellipse aus den Endpunkten der genannten Kreisdurchmesser.

19. Zweites Verfahren. Man ziehe durch den Endpunkt B des einen Durchmessers eine Parallele a zum konjugierten A', die zugleich Ellipsentangente sein wird (Fig. 15). Ein Kreis k, vom Radius 0, 4, Od, welcher a ebenfalls in B berührt, ist dann zur Ellipse affin gelegen. Dabei ist a die Affinitätsachse, O und O,

=

sind affine Punkte, und den beiden zu a parallelen und senkrechten Kreisdurchmessern 4,4,' und BB, entsprechen die konjugierten Durchmesser AA' und

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=

B

a

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20. Konstruktion der Ellipse aus den Achsen. Es seien OA a und OB = b (Fig. 16 a) die gegebenen Halbachsen einer Ellipse k. Man schlage um O zwei Kreise k, und k2 resp. vom Radius a und b. Jeder von ihnen kann als zur gesuchten Ellipse affin gelegen gelten. Bei der Affinität zwischen, und k ist 04 die Achse und B1 und B sind entsprechende Punkte (B1B¦ OA); bei der Affinität zwischen ką und k ist OB die Achse und 4 und A sind entsprechende Punkte. Zu

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B

B

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P

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einem Punkte P1 auf k1

Fig. 16 a.

ergiebt sich der affine Ellipsenpunkt P auf k, indem man P1SOA zieht, mittels der Beziehung

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2

2

PO: PO;

man schneide also PO mit k2 in P2 und ziehe PPOA. Pist zugleich der affine Punkt zu radien OP1 und OQ, liefern

P2 auf ką. Zwei rechtwinklige Kreis

2

zwei konjugierte Halbmesser OP und

OQ der Ellipse. Die Tangenten in P und Q sind zu OQ und OP resp. parallel.

1

Zieht man um O einen Kreis k, mit dem Radius (a + b) und schneidet dieser die Strahlen OP, und OQ, in P, und Q, resp., so sind PP, und QQ, Ellipsennormalen, d. h. sie stehen in P und Q auf den bezüglichen Tangenten senkrecht. Denn es ist QQQ1, (P1P2 = Q1 Q2, 4 Q Q1 Q2 = L PPP, etc.); QQQ1 = ▲ OPP2 (Q3Q1= OP2, QQ1

ΔΡΡΡ = AP, PP, ferner ist

2

2

=

3

=

PP2, Q3 Q1 Q = LOPP). Demnach ist QQ OP und QQ OP (da Q2O OP1 ¦ ist). Jeder Strahl durch O liefert einen Punkt P der Ellipse als Schnittpunkt zweier Geraden, von denen die erste durch P2 parallel zu OA und die zweite durch P1 parallel zu OB gezogen ist. Die Gerade PP, ist eine Normale der Ellipse und gleich dem zu OP konjugierten Halbmesser OQ. Die Punkte P2, P1 und P, auf dem durch O gezogenen Strahl haben die bezüglichen Abstände b, a und (a + b) von O.

3

21. Das eingeschlagene Verfahren ergiebt auch die Lösung der Aufgabe: Zu einem nur der Richtung nach gegebenen Halbmesser der Ellipse den Endpunkt und den konjugierten Halbmesser zu finden. Ein in der gegebenen Richtung aus 0

W

Fig. 166.

gezogener Strahl schneide die Kreise k1 und k2 resp. in den Punkten U und (Fig. 16 b); aus diesen konstruiere man wie vorher den Punkt W der Ellipse. Zieht man ferner durch U und V Parallelen zu OA und OB, die sich in X schneiden mögen, und legt man die Affinität zwischen k, und der Ellipse k zu Grunde, so entspricht dem Punkt U der Punkt W, der Ge

raden UX die Gerade WV, dem Punkte X der Punkt und folglich dem Strahl OX der Strahl OV. Insbesondere entspricht dem Punkte P1 von k, der Punkt P von k (PP||OB, P,P|| OA), und der zu OX rechtwinklige Strahl OQ,Q, liefert den Endpunkt des zu OP konjugierten Halbmessers OQ.

22. Konstruktion der Achsen einer Ellipse aus konjugierten Durchmessern. Irgend zwei konjugierte Halbmesser OC und OD einer Ellipse (Fig. 17) werden aus rechtwinkligen Halb

messern OC1, OD1 resp. OС2, OD, des um- und eingeschriebenen Kreises (vom Radius a und b) erhalten, indem man CC, und DD1

parallel zur Halbachse OB und CC2 und DD2 parallel zur Halbachse OA zieht. Wird das rechtwinklige Dreieck DD, D2 um das

2

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B

B

Fig. 17.

und B', so daß: MO= MA'

= MB' wird, d. h. ein um M mit dem Radius MO beschriebener Kreis schneidet die Gerade CE in Punkten A' und B' der Achsen. Überdies folgt:

ос EA' = CB' = a,

=

OC2 CA'

=

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Sind umgekehrt OC und OD als konjugierte Halbmesser gegeben, so ergiebt sich folgende einfache Konstruktion der Achsen. Man ziehe OE und = = OD, halbiere EC in M und schneide CE mit einem Kreise vom Radius MO in A' und B'. Dann sind OA' und OB' die Achsen der Lage nach und A'E = B'C resp. 'C B'E die bezüglichen Längen der Halbachsen.

=

23. Läßt man C die Ellipse durchlaufen, so geschieht dies auch mit dem Endpunkt D des zu OC konjugierten Halbmessers OD. Man erhält dann durch die vorige Konstruktion andere und andere Punkte A' und B' auf den Achsen; immer aber ist B'C= a A'Cb, also die Strecke 'B' von der konstanten Länge (a + b). Hieraus folgt der Satz: Gleitet eine Strecke A'B' mit ihren Endpunkten auf zwei rechtwinkligen Geraden, so beschreibt ein Punkt C, der sie in die Teile a und b zerlegt, eine Ellipse mit den Halbachsen a und b. Dieser Satz kann bequem zur Konstruktion von Ellipsenpunkten verwendet werden.

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