Abbildungen der Seite
PDF
EPUB

in einem Punkte M schneiden (Fig. 174). Legen wir das Viereck STQU zu Grunde, so sind QS und UT seine Diagonalen, während seine zwei Paar Gegenseiten in D und C, resp. B und A berühren. Ganz in der gleichen Weise wie vorher findet man, daß sich jetzt die vier Geraden QS, UT, CD und BA in einem Punkte L schneiden. Endlich folgern wir aus dem umgeschriebenen Viereck RTPU, daß die vier Geraden PR, UT, DA und CB einen Punkt N gemein haben, womit unser Satz abermals bewiesen ist.

268. Die Gegenseiten eines einem Kreise oder Kegelschnitte eingeschriebenen Sechsecks schneiden sich in den Punkten einer Geraden. Dieser Satz heißt der Pascal'sche Satz und die Gerade die zu dem Sechseck gehörige Pascal'sche Gerade.") Es seien P: = 12 × 45, 23 × 56 und R = 34 × 61 die Schnittpunkte der Gegenseiten und überdies S= 34 × 56, T= 45 × 61

Q

=

[blocks in formation]

eck 123456 einem Kreise oder einem Kegelschnitte einbeschrieben ist. Die Schnittpunkte des ersten Büschels mit der Geraden 45 sind der Reihe nach: P, 4, 5, 7, die des zweiten mit der Geraden 56 aber: Q, S, 5, 6. Diese Punktreihen sind projektiv als Schnitte pro

[ocr errors]

P 9

2

Fig. 177.

ies

[ocr errors]

4

jektiver Büschel und, da sie den Punkt 5 entsprechend gemein haben in perspektiver Lage, d. h. die Verbindungslinien P = PQ, 4 S (oder 3 4), 76 (oder 61) schneiden sich in einem Punkte R, w. z. b. w.

269. Die Verbindungslinien der Gegenecken eines einem Kreise oder Kegelschnitte umgeschriebenen Sechsseits schneiden sich in einem Punkte. Dieser Satz rührt von Brianchon her und der zu dem Sechs

seit gehörige Punkt wird sein Brianchon'scher Punkt genannt. 10)

Es seien I, II, III, IV, V, VI die Seiten, p

25, q

=

36, r = 14

die Verbindungslinien der Gegenecken und s= 46, t = 51 (Fig. 177). Die auf den Tangenten I und III von den Tangenten II, IV, V, VI ausgeschnittenen Punkte bilden nach 265 zwei projektive Punktreihen. Die Punkte der ersten Reihe werden aus dem Centrum 5 durch die Strahlen p, IV, V, t, die Punkte der zweiten Reihe aus dem Centrum 6 durch die Strahlen q, s, V, VI projiziert. Diese Strahlbüschel sind folglich projektiv und, da sie den Strahl V entsprechend gemein haben, in perspektiver Lage, d. h. die Schnittpunkte P = p × q, IV × s (oder 4), t × VI (oder 1)

liegen auf einer Geraden r, w. z. b. w.

3

270. Die Sätze von Pascal und Brianchon lassen eine Reihe von Spezialisierungen zu, die wir hier erwähnen müssen. Läßt man bei dem eingeschriebenen Sechseck 123456 die beiden Ecken 5 und 6 sich mehr und mehr nähern, bis sie zusammenfallen, dann wird die Seite 56 zur Tangente tim Punkt 5 6. Aus dem Pascal'schen Satze folgt alsdann, daß die Punkte: 12 x 45 P, 23 × t = S

=

=

[ocr errors]

und 34 × 51 = R in gerader Linie liegen (Fig. 178). Teilt man die fünf Seiten eines einem Kegel

S

P

R

t

Fig. 178.

schnitt einbeschriebenen Fünfecks beliebig in zwei Paare und eine einzelne Seite, doch so daß jedes Paar vier Ecken enthält, dann liegen die Schnittpunkte der beiden Paare in gerader Linie mit dem Schnittpunkt der letzten Seite und der Tangente in der gegenüberliegenden Ecke.

271. Auch der in 266 aufgestellte Satz ist als spezieller Fall des Pascal'schen Satzes anzusehen (Fig. 174). Lassen wir nämlich in dem einem Kegelschnitt einbeschriebenen Sechseck A4, BCC,D die Ecke 4, mit 4 und die Ecke C, mit C zusammenrücken, so entsteht das eingeschriebene Viereck ABCD mit den beiden Tangenten in A und C; folglich liegen die Punkte AB X CDL, BC X DA = N und U als Schnittpunkt der beiden Tangenten in A und C auf einer Geraden. Das Sechseck ABB,CDD1, bei welchem einerseits B1 und B und andererseits D1 und D unendlich nahe liegen, liefert bei Anwendung des Pascal'schen Satzes das Resultat, daß AB x CD = L, BC X DA N und T als Schnittpunkt der Tangenten in B und D auf einer Geraden liegen.

R

A

K

.

Geht man dagegen von dem Viereck ACBD aus, so lehren die gleichen Schlüsse, daß die Punkte AC x BD = M, CB × AD = N sowohl mit dem Schnittpunkt P der beiden Tangenten in A und B, als auch mit dem Schnittpunkt der beiden Tangenten in C und D auf einer Geraden sich befinden. Das Viereck ACDB endlich führt zu den vier in gerader Linie liegenden Punkten M, L, Q, S. 272. Wenn endlich in dem einem Kegelschnitt eingeschriebenen Sechseck 44, BB, CC, die Ecken A, B, C, bezüglich mit den Ecken A, B, C zusammenfallen, so entsteht ein eingeschriebenes Dreieck ABC mit den Tangenten in seinen Ecken (Fig. 179). Die Anwendung des Pascal'schen Satzes liefert sofort das Resultat: Schreibt man einem Kegelschnitt ein Dreieck ein und in den nämlichen Punkten ein zweites Dreieck um, so werden die Seiten des ersteren von den in den gegenüberliegenden Ecken tangierenden Seiten des letzteren in drei Punkten einer Geraden. geschnitten. In der Figur sind J, K und L Punkte einer Geraden.

[ocr errors]

Fig. 179.

273. Läßt man die Berührungspunkte zweier Kreis- oder Kegelschnittstangenten sich einander immer mehr nähern, so wird

der Winkel der Tangenten immer spitzer und der Abstand ihres Schnittpunktes von ihren Berührungspunkten immer kleiner. Fallen schließlich die Berührungspunkte zusammen, so fallen auch. die zugehörigen Tangenten zusammen und ihr Schnittpunkt geht dabei in den. Berührungspunkt über. Fallen also bei dem einem Kegelschnitt umgeschriebenen Sechsseit I II III IV V VI die Seiten V und VI zusammen und ist B der Berührungspunkt der Seite V = VI, so schneiden sich die Verbindungslinien von Ix II mit IV x V, von II x III mit B und von III × IV mit V x I in einem Punkte P (Fig. 180).

Fig. 180.

Auch aus dem Brianchon'schen Satze kann man den Satz in

266 durch Spezialisierung ableiten. Läßt man von dem umgeschriebenen Sechsseit die erste Seite mit der zweiten und ebenso die vierte mit der fünften zusammenfallen, so erhält man ein umgeschriebenes Vierseit, und der Brianchon'sche Satz sagt aus, daß sich bei diesem die beiden Diagonalen und die Verbindungslinie der Berührungspunkte zweier Gegenseiten in einem Punkte schneiden. Durch mehrmalige Anwendung ergeben sich wieder die Eigenschaften der Fig. 174.

Sind endlich bei dem umgeschriebenen Sechsseit die erste und zweite, die dritte und vierte, die fünfte und sechste Seite zusammengerückt, so wird aus demselben ein umgeschriebenes Dreiseit und aus seinen sechs Ecken gehen die Ecken und Berührungspunkte des Dreiseits hervor. In Fig. 179 sind dies der Reihe nach die Punkte ARBPCQ, so daß sich AP, BQ und CR in einem Punkte M schneiden. Schreibt man einem Kegelschnitt ein Dreiseit um, so schneiden sich die Verbindungslinien seiner Ecken mit den Berührungspunkten seiner Gegenseiten in einem Punkte.

274. Es mag noch darauf hingewiesen werden, daß die Sätze von Pascal und Brianchon und die daraus abgeleiteten Sätze beim Kreise für besondere Lagen der Punkte oder Tangenten unmittelbar einleuchtend sind, und daß daraus auch die Richtigkeit der Sätze bei allgemeiner Lage geschlossen werden kann. Schreibt man z. B. dem Kreise ein gleichseitiges Dreieck um, so gehen die Verbindungslinien seiner Ecken mit den Berührungspunkten (Mittelpunkten) der gegenüberliegenden Seiten durch den Kreismittelpunkt. Nach 255 kann aber der Kreis so in einen andern Kreis perspektiv abgebildet werden, daß die Berührungspunkte des gleichseitigen Dreiecks in drei beliebige Punkte des zweiten Kreises übergehen. Damit gilt dann der Satz für jedes einem Kreise umgeschriebene Dreiseit.

[merged small][ocr errors][merged small][merged small]

N

P

W

T

A

T

L

V1

[ocr errors][ocr errors][merged small]

endlich fern wird. Das eingeschriebene Viereck wird hier zum Rechteck und die Wahrheit des Satzes in 266 ist in die Augen springend. Auch das einem Kreise um- oder einbeschriebene Sechseck kann man durch Perspektive in besondere Formen bringen, für welche die angeführten Sätze sich leicht erweisen lassen, doch soll hier nicht weiter darauf eingegangen werden.

Pol und Polare eines Kegelschnittes; Mittelpunkt, Durchmesser und Achsen.

275. In 238 wurden die Haupteigenschaften von Pol und Polare abgeleitet, indem wir sie als Centrum und Achse einer ebenen Perspektive ansahen, die den Kreis in sich selbst abbildet. Hier sollen diese Eigenschaften nochmals nachgewiesen werden und zwar gestützt auf den Satz vom Viereck und Vierseit, die einem Kegelschnitt in den nämlichen vier Punkten ein- und umgeschrieben

[merged small][merged small][merged small][ocr errors][merged small][ocr errors][merged small][merged small][merged small]

sind. In Fig. 182 sind ABCD die vier Punkte auf dem Kegelschnitt. PR, QS und TU sind die drei Diagonalen des umgeschriebenen Vierseits; sie bilden ein Dreieck, dessen Ecken L, Mund N zugleich die Diagonalpunkte des eingeschriebenen Vierecks sind. Nach 203 werden auf jeder Seite eines vollständigen Vierecks die beiden Ecken durch einen Diagonalpunkt und den Schnittpunkt mit der Verbindungslinie der beiden andern harmonisch getrennt. So teilen L und J = AB × MN die Sehne AB, ferner Z und H= CD x MN die Sehne CD harmonisch. Auf der Geraden MN liegen noch die vier weiteren Punkte P,

« ZurückWeiter »