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einstimmung mit der affinen Kurve des Kreises (vergl. die Definition in 15) wird weiterhin nachgewiesen werden. Die Hyperbel schneidet die unendlich ferne Gerade ihrer Ebene in zwei getrennten Punkten; sie verläuft also zweimal durch das Unendliche. Ihre beiden unendlich fernen Punkte sind die Bilder der Schnittpunkte des Originalkreises mit der Verschwindungslinie e... Die Tangenten der Hyperbel in diesen Punkten sind die Bilder der Tangenten des Kreises in seinen beiden Verschwindungspunkten und heißen Asymptoten; die unendlich fernen Punkte der Hyperbel werden durch die Asymptotenrichtungen vertreten. Die Parabel berührt die unendlich ferne Gerade ihrer Ebene. Der Berührungspunkt ist das Bild des Berührungspunktes von Verschwindungslinie und Originalkreis.

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262. Da man aus einem Kreise die gleichen Bilder sowohl durch eine ebene wie durch eine räumliche Perspektive erhalten

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kann, werden wir bei der konstruktiven Erzeugung des Kegelschnittes die erstere benutzen, weil sie für die Zeichnung bequemer ist. Sind Centrum O, Achse e und Verschwindungslinie e, oder an Stelle der letzteren ein Paar entsprechender Punkte gegeben, so können wir nach den in 166 bis 171 auseinandergesetzten Prinzipien zu beliebig vielen Punkten und Tangenten eines vorgelegten Kreises die perspektiven Bilder und somit beliebig viele Punkte und Tangenten eines Kegelschnittes erhalten. In Fig. 171 sind drei konzentrische Kreise so gewählt, daß einer die Verschwindungslinie e. nicht schneidet, einer dagegen sie schneidet und einer sie berührt, Dementsprechend werden die Bilder durch eine Ellipse, eine Hyperbel und eine Parabel dargestellt. Von der Hyperbel sind zugleich die Asymptoten angegeben. 263. Wir werden jetzt eine Reihe von Sätzen für den Kreis aufstellen, die sich unmittelbar auf die Kegelschnitte als perspektive Bilder des Kreises übertragen lassen. Insbesondere werden wir dabei den Satz benutzen: Bei der perspektiven Abbildung einer Figur in eine andere gehen projektive Punktreihen oder Strahlbüschel wieder in projektive Punktreihen oder Strahlbüschel über. Denn das Bild der ersten Reihe ist projektiv (sogar perspektiv) zu dieser Reihe; nach Voraussetzung ist die erste Reihe projektiv zu einer zweiten, und diese wiederum ist projektiv (sogar perspektiv) zu ihrem Bilde. Somit sind nach 189 auch die Bilder der beiden Reihen projektiv. – 264. Eine Reihe beliebig auf einem Kreise gegebener Punkte A, B, C, D, . . . wird aus irgend zwei festen Punkten S und S desselben durch kongruente Strahlbüschel projiziert (Fig. 172). Denn je zwei Strahlen des einen Büschels, etwa SA. und SB, schließen den gleichen Winkel ein, wie die entsprechenden Strah

winkel über dem gleichen Bogen AB). Dabei entspricht ersichtlich dem Strahl SS, des ersten Büschels im zweiten Büschel die Kreistangente in S und dem Strahl SS Fig 172. des zweiten Büschels im ersten Büschel die Kreistangente in S.

Verwandelt man den Kreis durch perspektive Abbildung in einen Kegelschnitt, so gehen (nach 263) die kongruenten Strahlbüschel der Kreisfigur – da die Kongruenz ein Spezialfall der Perspektivität ist – in projektive Büschel beim Kegelschnitt über, und wir haben den Satz: Eine Reihe beliebig auf einem Kegelschnitt gegebener Punkte A, B, C, D, . . . wird aus irgend zwei festen Punkten S und S desselben durch projektive Strahlbüschel projiziert. Der Tangente in S (resp. S) entspricht dabei der Strahl SS (resp. SS). Für den Kreis gilt offenbar auch die Umkehrung des obigen Satzes: Zwei kongruente Strahlbüschel erzeugen einen Kreis, d. h. ihre entsprechenden Strahlen schneiden sich in den Punkten eines Kreises, der durch die Scheitel der beiden Büschel hindurchgeht. Dagegen wissen wir nicht, ob zwei beliebig gegebene projektive Strahlbüschel einen Kegelschnitt erzeugen. Dazu gehört noch der Nachweis, daß zwei derartige Strahlbüschel stets durch perspektive Abbildung aus zwei kongruenten Strahlbüscheln gewonnen werden können, was erst im nächsten Abschnitt gezeigt wird. 265. Zieht man an einen Kreis irgend welche Tangenten a, b, c, d, . . ., so schneiden sie auf zwei beliebig gewählten Kreistangenten t und t projektive Punktreihen aus. Beide Punktreihen werden vom Kreismittelpunkt M durch kongruente Strahlbüschel projiziert (Fig. 173). Bezeichnen wir die auft und t, ausgeschnittenen Reihen mit A, B, C, D, . . . resp. A, B, C, D, , . . ., so brauchen wir nur zu zeigen, daß die Strahlen MA, MB, MC, . . . in die Strahlen MA, MB, MC, . . . durch Drehung um den gleichen Winkel und in dem gleichen Sinne übergehen. Dann sind die Strahlbüschel kongruent und schneiden auft und t projektive Punktreihen aus. Nun bilden t und t mit jeder der Tangenten a, b, c, . . . ein Dreieck und alle diese Dreiecke haben z tt gemein. Folglich ist z. CAA, + Z CA A = Z CBB + Z C B, B, oder wenn man alle Winkel der Gleichung halbiert: z. MAA, + z. MAA = z I/BB + z. MB, B, was die Relation z AMA = Z - BMB, nach sich zieht. Durch Drehung um diesen Winkel gehen MA und MB in MA, und MB, über. Man zeigt ebenso einfach, daß Z CMC = 2 R Z AMA, ist; z- CMC ist aber in entgegengesetztem Sinne gerechnet wie z AMA. Dreht man also MC in gleichem Sinne und um den gleichen Winkel, wie bei der Drehung von MA nach MA, , so fällt die gedrehte Gerade mit der verlängerten Geraden MC zusammen, w. z. b. w. Nach 263 erkennen wir unmittelbar die Richtigkeit des Satzes: Zieht man an einen Kegelschnitt irgend welche Tangenten a, b, c, d, . . ., so schneiden sie auf zwei beliebig gewählten Tangenten t und t, desselben projektive Punktreihen aus. Auch hier ist zu bemerken, daß die Umkehrung noch später zu beweisen ist. 266. Die weiteren Sätze beziehen sich auf Polygone, die einem Kreise oder Kegelschnitt ein- oder umgeschrieben sind. An erster Stelle wollen wir hier den Satz ableiten, auf den sich weiterhin einerseits die Theorie von Pol und Polare und andererseits die doppelte Erzeugungsweise der Kegelschnitte stützen soll. Die erstere findet sich im folgenden Abschnitt eingehender entwickelt und ist schon in 238 auf anderer Basis kurz besprochen worden; der letzteren ist der übernächste Abschnitt gewidmet. Schreibt man einem Kreise oder Kegelschnitt ein beliebiges Viereck um, so schneiden sich seine beiden Diagonalen und die beiden Sehnen, welche die Berührungspunkte seiner Gegenseiten verbinden in einem Punkte. Es seien PQ, QR, RS, SP die Seiten des Vierecks und B, C, D, A die zugehörigen Berührungspunkte (Fig. 174). Bezeichnen wir nun mit C (QBAD) einen Strahlbüschel, dessen Scheitel C ist und dessen Strahlen durch Q, B, A, D gezogen sind, so erkennen wir, daß die beiden Strahlbüschel C(QBAD) und B(CQAD) in der Figur kongruent sind. Falls jedoch an Stelle des Kreises kein Kegelschnitt tritt, werden die bezüglichen Strahlbüschel nur noch projektiv sein (264) und nur diese Eigenschaft benutzen wir für den Beweis unseres Satzes. Nach 190 sind auch die Strahlbüschel C (QBA D) und B (QCDA) projektiv, und da der beiden gemeinsame Strahl CB sich selbst entspricht, sind sie auch perspektiv. Somit liegen die Punkte Q, M = CA × BD und L = CD × BA in gerader Linie. Ganz ebenso sind die Strahlbüschel D (SABC) und A (SDCB) projektiv und die Punkte S, M und L liegen auf einer Geraden. Es gehören also die vier Punkte Q, S, M, L, der nämlichen Geraden an; ferner befinden sich die vier Punkte P, R, M und N = CB × DA auf einer zweiten Geraden, und die Punkte L, M, U= SP× QR und T= PQ × RS auf einer dritten, wie man ganz analog beweist. Hiermit ist aber nicht nur der obige Satz erwiesen, sondern zugleich der folgende allgemeinere Satz: Schreibt man einem Kegelschnitt in den nämlichen vier willkürlich gewählten Punkten ein vollständiges Viereck ein und ein Vierseit um, so verbinden die Diagonalen des letzteren die Diagonalpunkte des ersteren. (Die Seiten des Vierseits berühren den Kegelschnitt in den Ecken des Vierecks.) 267. Da der vorstehende Satz, wie wir noch sehen werden, von fundamentaler Bedeutung für die ganze Theorie der Kegelschnitte ist, so mag hier für den Fall des Kreises noch ein Beweis stehen, der auf der Anwendung ganz einfacher planimetrischer Sätze beruht. Gilt der Satz aber für den Kreis, dann gilt er selbstverständlich auch für sein perspektives Bild, den Kegelschnitt. Es seien wieder PQ, QR, RS, SP die Seiten des umgeschriebenen Vierecks und B, C, D, A die zugehörigen Berührungspunkte (Fig. 175). Schneiden sich dann CA und QS in M, so hat man: MQ: MS = QC: SA. Liegt nämlich G auf AC und ist QG AS,

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M', so erhält man analog: M'Q: M'S = QB: SD. Nun ist QB = QC und SD = SA, also auch: M'Q: MS = MQ: MS; dies hat aber das Zusammenfallen von M' und M zur Folge, da zwei verschiedene Punkte auf einer Strecke nicht das gleiche Abstandsverhältnis besitzen können. Somit geht QS durch den Schnittpunkt von AC und BD. Die gleiche Beweisführung zeigt, daß auch PR durch diesen Schnittpunkt hindurchgeht, so daß sich die vier Geraden AC BD, PR und QS in dem Punkte M schneiden. Indem wir von dem umgeschriebenen Viereck PQRS ausgingen, zeigten wir soeben, daß die vier Geraden AC BD, PR und QS sich

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