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253. Wir untersuchen weiterhin noch einige spezielle Fälle, in denen ein Kreis in einen andern Kreis projiziert wird unter gleichzeitiger Erfüllung besonderer Bedingungen.

Es giebt unendlich viele Centralprojektionen, bei denen einem gegebenen Kreis k ein Kreis und einer außerhalb des Kreises k in seiner Ebene E gegebenen Geraden e, die unendlich ferne Gerade der Bildebene entspricht. Die durch den Mittelpunkt von k senkrecht zu e, gelegte Ebene A diene wieder als Aufrißebene, während wir die Ebene von k als Grundrißebene benutzen. Man zeichne nun in A irgend einen Kreis, der den Durchmesser AB von k zur Sehne hat und ziehe an ihn aus M = A × e. eine Tangente, die in 0 berühren mag (Fig. 168). Schneidet dann eine beliebige Parallele zu M0 die Strahlen OA und OB resp. in A und B , so

* ist z_ BAO = Z - BOM = Z - A B O, und folglich liegen die Punkte ABA, B, auf einem Kreise. Hieraus erkennt man (wie in 251), daß die durch A, B, normal zu Agelegte Ebene E. auf dem Kegel mit der Spitze 0 und dem Grundkreis k einen Wechselschnitt zu k, also einen Kreis k bestimmt. Da überdies E | Oe, ist, so hat die durch O als Centrum und E als Bildebene bestimmte Centralprojektion die oben geforderte Eigenschaft. Alle durch unsere Konstruktion erhältlichen Centren O liegen auf einem in A um M beschriebenen Kreise m (vergl. 243). 254. Es giebt unendlich viele Centralprojektionen, bei denen einem gegebenen Kreise k ein Kreis und einem von k eingeschlossenen Punkt C der Mittelpunkt des Bildkreises entspricht. Es sei A B der durch C gelegte Durchmesserdes Kreises k (Fig. 169); ferner teile D mit C die Strecke AB harmonisch und e, ziehe man in D normal zu AB. Dann benutze man die Ebene des Kreises k als Grundriß und die in AB = r auf ihr senkrechte Ebene A als Aufriß und bestimme wie vorher das Centrum O einer Projektion, bei

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welcher er die Verschwindungslinie bildet und k in einen Kreis k, übergeht. Werden die Punkte A, B, C in A, B, C abgebildet, so entspricht dem vierten harmonischen Punkt D der ersten Reihe der unendlich ferne Punkt der letzteren. C ist folglich die Mitte der Strecke A, B und, da A, B, ein Durchmesser ist, der Mittelpunkt des Bildkreises. Die Konstruktion wird am einfachsten ausgeführt, indem man durch C die auf A B senkrechte Sehne des Kreises k und in einem ihrer Endpunkte F' die Tangente zieht, welche AB in D schneidet. CF ist nämlich die Polare von D in Bezug auf k, Pol und Polare teilen aber den Durchmesser AB harmonisch (238y). O kann auf dem in A um D mit dem Radius DF beschriebenen Kreise m willkürlich angenommen werden; E ist Oe zu wählen. 255. Zwei gegebene Kreise k und k lassen sich so in perspektive Lage bringen, daß drei gegebenen Punkten A, B, C des einen drei gegebene Punkte A, B, C des andern entsprechen. Wir nehmen beide Kreise in einer Ebene gelegen an und geben für diesen Fall die Konstruktion. Man zeichne den mit k kongruenten und mit k konzentrischen Kreis k' und bestimme auf ihm die Punkte A, B, C durch die Radien J/A, MB, und MC (Fig. 170) Dann kann man k so mit k zur Deckung bringen, daß die Punkte A, B, C mit A, B, C resp. perspektiv liegen. Wäre 0 das Centrum der fraglichen Perspektive, so müßte z_ AOB = Z - ABB – Z - AAB sein. Die letzteren beiden Winkel sind aber als Peripheriewinkel über den Bogen AB und AB bekannt. O liegt demnach auf einem Kreise, der über der Sehne A B beschrieben ist und den bekannten Winkel A0B als Peripheriewinkel über dieser Sehne faßt. Ganz ebenso liegt 0 auf einem zweiten Kreise über der Sehne BC, der einen bekannten Winkel BOC als zugehörigen Peripheriewinkel faßt. Somit ist O konstruierbar und man erhält A, B, C in der gesuchten Lage auf k durch die Strahlen OA, OB, OC Bringt man schließlich k samt den Punkten A, B, C in ähnliche Lage zu k und den Punkten A, B, C, indem man 0 als Ahnlichkeitscentrum ansieht (M/ A, MA und von bekannter Größe), so ist auch die perspektive Lage der Kreise k und k und der auf ihnen gegebenen Punkte A, B, C resp. A, B, C hergestellt. 256. Wir haben uns in diesem Kapitel die Aufgabe gestellt, die Centralprojektionen des Kreises zu studieren. Bisher haben wir indessen nur solche besondere Centralprojektionen oder perspektive Abbildungen des Kreises untersucht, die denselben entweder in einen neuen Kreis oder in sich selbst verwandeln. Die Abbildung eines Kreises in sich selbst hat uns insbesondere zu den Eigenschaften von Pol und Polare geleitet, deren Bedeutung später noch mehr hervortreten wird, und die wir dort noch in anderer Weise ableiten werden. Die räumliche Auffassung des Problems führte uns zum schiefen Kreiskegel und zu dem Resultat, daß auf einem solchen neben den Parallelschnitten zum Basiskreis noch ein zweites System von Kreisschnitten existierte, die wir als Wechselschnitte bezeichneten.

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Entstehung der Kegelschnitte aus der Centralprojektion des Kreises. Um- und eingeschriebene Polygone.

257. Entgegen den seitherigen Untersuchungen wollen wir uns jetzt mit den Eigenschaften derjenigen Kurven befassen, die aus einem Kreise bei einer ganz beliebigen perspektiven Abbildung hervorgehen. Dabei ist es gleichgültig, ob man die Centralprojektion in der Ebene oder im Raume zu Grunde legen will, da ja die eine in die andere übergeführt werden kann (164). Die Centralprojektion eines Kreises aus einem Raumpunkt auf eine beliebige Ebene ist aber nichts anderes als der Schnitt dieser Ebene mit einem schiefen Kreiskegel. Aus dieser Anschauung heraus bezeichnet man jedes beliebige perspektive Bild eines Kreises als Kegelschnitt. Daß man jede derartige Kurve sogar immer als Schnitt eines geraden Kreiskegels erhalten kann, werden wir später nachzuweisen haben.*) Wir werden nun solche Eigenschaften der Kreise aufzusuchen haben, die bei einer Centralprojektion unveränderlich sind; dann kommen die gleichen Eigenschaften auch den Kegelschnitten zu. So werden alle Sätze beim Kreise, die aussagen, daß drei oder mehr Punkte auf einer Geraden liegen, oder daß drei oder mehr Gerade durch einen Punkt gehen, sich bei den Kegelschnitten wiederfinden müssen, da die Punkte einer Geraden und ebenso die Geraden durch einen Punkt sich wieder als Punkte und Gerade von der nämlichen Eigenschaft projizieren. Auch projektive Punktreihen oder Strahlbüschel, die beim Kreise auftreten, projizieren sich als projektive Punktreihen oder Strahlbüschel beim Kegelschnitt, und alle hierauf basierenden Sätze haben gleichzeitig für den Kreis und sein perspektives Bild – den Kegelschnitt – Gültigkeit. Insbesondere verlieren harmonische Punkte oder Strahlen und involutorische Reihen oder Büschel bei der perspektiven Abbildung ihre Eigenschaften nicht. Die Beziehungen zwischen Pol und Polare, wie sie beim Kreis auftreten, werden sich deshalb auch beim Kegelschnitt einstellen müssen. Hiermit ist aber die Richtung angegeben, in der sich unsere weiteren Untersuchungen zu bewegen haben. Zunächst sollen allerdings einige allgemeine Bemerkungen über die Kreisprojektionen vorausgeschickt werden. 258. Wir stellen an den Anfang die Definition: Die ebenen Centralprojektionen oder perspektiven Bilder des Kreises heißen Kegelschnitte. Durchläuft ein Punkt P den Kreis, so dreht sich sein projizierender Strahl OP um das Centrum 0 und sein Bildpunkt P durchläuft den Kegelschnitt als Bild des Kreises. So wie P den Kreis in einem Zuge beschreibt und zur Ausgangslage zurückkehrt, so beschreibt auch P von einem seiner Punkte anfangend den ganzen Kegelschnitt in einem ununterbrochenen Zuge und kehrt nach Durchlaufung desselben in die Anfangslage zurück. Man darf daher jeden Kegelschnitt, ebenso wie den Kreis, als eine stetige geschlossene Kurve bezeichnen. Es ist nicht ausgeschlossen, daß bei der geschilderten Bewegung der Bildpunkt P sich ins Unendliche entfernt und wieder zurückkehrt, der Kegelschnitt also sich ins Unendliche erstreckt. Man hat ihn dann, ähnlich wie die gerade Linie (160), als im Unendlichen geschlossen aufzufassen. 259. Aus dem gegenseitigen Entsprechen der geraden Linien in der Original- und Bildfigur und ihrer Schnittpunkte mit dem gegebenen Kreise resp. mit seinem Bilde, dem Kegelschnitt, folgen unmittelbar die Sätze: Ein Kegelschnitt wird von irgend einer Geraden seiner

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Ebene in höchstens zwei Punkten geschnitten. Einer Kreistangente und ihrem Berührungspunkt entsprechen im Bilde eine Tangente des Kegelschnittes und deren Berührungspunkt. An einen Kegelschnitt können aus irgend einem Punkte seiner Ebene höchstens zwei Tangenten gezogen werden, die in eine zusammenfallen, wenn der Punkt auf der Kurve liegt. Beim Kreise spricht man von einem Gebiete innerhalb und von einem solchen außerhalb desselben; dem ersteren gehören alle Punkte an, von denen sich keine Tangenten an den Kreis legen lassen, dem letzteren alle Punkte mit zwei Kreistangenten. Ganz ebenso sagt man beim Kegelschnitt von einem Punkte seiner Ebene, daß er außerhalb oder innerhalb desselben liege, je nachdem durch ihn Tangenten an den Kegelschnitt gelegt werden können oder nicht. 260. Es giebt drei Arten von Kegelschnitten, auf deren Unterscheidung man sofort geführt wird, wenn man ihre Beziehung zur unendlich fernen Geraden der Ebene in Betracht zieht. Geht man vom schiefen Kreiskegel aus, dessen Spitze das Centrum der Perspektive und dessen Mantellinien projizierende Strahlen sind, so kann die Bildebene TT, die den Kegel in der Bildkurve schneidet, folgende drei wesentlich verschiedene Lagen gegen den Kegel einnehmen. Die Ebene TT kann entweder nur den einen Mantel des Kegels schneiden, oder sie kann beide Mäntel (Kegel und Gegenkegel) treffen; zwischen beiden Fällen aber bildet ein dritter den Übergang. Von solchen Fällen, die keine eigentlichen Kegelschnitte liefern, sehen wir ab. Denkt man sich durch das Centrum O (Spitze des Kegels) eine Parallelebene zu TT gelegt, so wird sie den genannten drei Fällen entsprechend entweder keine Mantellinie des Kegels enthalten, oder deren zwei, oder sie wird ihn längs einer Mantellinie berühren. Die fragliche Ebene schneidet aber die des gegebenen Kreises k (die Originalebene E) in der Verschwindungslinie e. Hiernach können wir unsere Unterscheidungen auf die Lage des Originalkreises gegen die Verschwindungslinie seiner Ebene basieren. 261. Die Centralprojektion eines Kreises auf eine Ebene ergiebt drei verschiedene Kegelschnitte, je nachdem der Kreis mit der Verschwindungslinie seiner Ebene keinen, zwei getrennte, oder einen Berührungspunkt gemein hat; sie heißen: Ellipse, Hyperbel, Parabel. Aus dieser Erklärung folgt: Die Ellipse ist im Endlichen geschlossen. Ihre Über

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