Kreise, wenn diese sich nicht treffen (Fig. 156), oder verbindet ihre Schnittpunkte, wenn es solche giebt (Fig. 158). Von diesem letzteren Umstande rührt die Bezeichnung

P

M M,

Chordale her; daß ihre Punkte in Bezug auf beide Kreise die gleiche Potenz haben, ist selbstverständlich. Daß es auch eine gemeinsame, zur Centralen senkrechte Potenzlinie giebt, wenn die Kreise k und k, sich nicht schneiden, folgt so. Ist S ein beliebiger Punkt gleicher Potenz in Bezug auf k und k1, so ist: (SM)2 — r2 = (SM1)2 — r12. Ist ferner E der Fußpunkt des aus S auf die Centrale MM, gefällten Lotes und subtrahiert man (SE) von dieser Gleichung, so kommt: (EM)2 — r2 = (EM1)2 — r12, also ist auch E ein Punkt gleicher Potenz.

k

Fig. 156.

Für drei Kreise gilt der Satz, daß die drei Potenzlinien, welche je zwei von ihnen bestimmen, sich in einem Punkte schneiden. Denn der Schnittpunkt zweier Potenzlinien ist ein Punkt gemeinsamer Potenz für alle drei Kreise, liegt also auch auf der dritten Potenz

linie. Diesen Satz kann man benutzen, um die Potenzlinie zweier sich nicht schneidender Kreise k und k1 zu zeichnen. Zieht man nämlich einen beliebigen Hilfskreis, der k und k, schneidet, dann

schneiden sich die so bestimmten Chordalen in einem Punkt der gesuchten Potenzlinie.

1

235. Wir wollen nun die vorher behauptete perspektive Lage der beiden Kreise k und k, nachweisen. Dabei ist es gleichgültig, ob die Kreise k und k1 sich gegenseitig ausschließen (Fig. 157), oder schneiden (Fig. 158), oder einer den andern einschließt (Fig. 156). Ist der äußere oder innere Ähnlichkeitspunkt der beiden Kreise k und k1, so läßt sich auf den Strahlen durch O jedem Punkt P auf k ein bestimmter Punkt P, auf k, als entsprechender Punkt zuordnen. Freilich schneidet der Strahl OP aus k1 noch zwei Punkte P1 und P2 aus; aber einer von ihnen, etwa P2, ist der zu P ähnlich liegende Punkt des Kreises k, und ist dadurch charakterisiert, daß die Radien MP und MP, parallel sind. Wir lassen nun je zwei Punkte der Kreise k und keinander entsprechen, die sich auf einem Strahle durch O befinden, aber nicht parallelen Radien angehören, also nicht ähnlich liegen, so z. B. die Punkte P und P, Q und Q1 u. s. f. Auf diese Weise gehört zu jedem Punkt des einen Kreises ein und nur ein Punkt des andern, und wir werden jetzt zeigen, daß hierdurch die beiden Kreise in perspektive Beziehung gebracht sind. Einerseits laufen ja die Verbindungslinien entsprechender Punkte durch den festen Punkt 0, der das Centrum der Perspektive bildet. Andererseits müssen sich entsprechende Gerade auf einer festen Geraden, der Achse der Perspektive, schneiden. Das ist in der That der Fall, denn eine ganz beliebig gewählte Sehne PQ von k und die entsprechende Sehne PQ von k1 treffen sich immer in einem Punkt der gemeinsamen Potenzlinie e1 beider Kreise, die somit die Achse der Perspektive darstellt. Um dies zu erkennen, beachte man (Figg. 156, 157, 158), daß die Sehnen PQ und PQ, ähnlich liegen, also parallel sind, und daß deshalb aus der Gleichheit der Winkel in P1 und Q2 (als Centriwinkel über dem Kreisbogen PQ1) die Gleichheit der Winkel in P, und Q folgt. Hiernach kann man durch die vier Punkte PQPQ einen Hilfskreis legen, und dieser bestimmt mit k die Chordale PQ und mit k, die Chordale P1Q1; beide müssen sich aber nach dem früher erwähnten Satze auf der gemeinsamen Potenzlinie e1 von k und k1 schneiden.

1

2

2

236. Wir haben in der vorigen Nummer nachgewiesen, daß die beiden Kreise k und k, sich in perspektiver Lage befinden, wobei wir allerdings von der Annahme ausgingen, daß das Centrum der Perspektive stets einer der beiden Ähnlichkeitspunkte sei. Wir haben nun nachträglich noch den Beweis zu führen, daß in der

That nur ein Ähnlichkeitspunkt das Perspektivitätscentrum bilden kann. Zunächst zeigen wir, daß dieses auf der Centrale MM, liegen muß. Entsprechende Tangenten der Kreise k und k, schneiden sich auf der Achse e, deren Lage wir freilich noch nicht kennen. Insbesondere entsprechen den zu e, parallelen Tangenten des einen Kreises die zu e, parallelen Tangenten des andern. Somit entsprechen sich auch ihre Berührungspunkte und die sie verbindenden Durchmesser, die zu e, normal sind. Da sich aber beide als entsprechende Gerade auf der Achse e, schneiden müssen, liegen sie auf der nämlichen Normalen zur Achse. So sehen wir denn, daß die Centrale MM, der beiden Kreise zur Achse e, der Perspektive

senkrecht ist und als Träger entsprechender Punkte durch das Centrum der Perspektive hindurchgeht.

1

Sind jetzt P, P, zwei entsprechende Punkte der Kreise k und k1, so schneidet PP, auf MM, das Centrum O aus und trifft die Kreise noch in zwei weiteren entsprechenden Punkten Q und Q. Auch die Tangenten an k1 in P1 und Q und ihr Schnittpunkt R1 entsprechen den Tangenten an k in P und Q und deren Schnittpunkt R (Fig. 159); deshalb muß auch RR, durch O gehen. Zugleich sind RM und R1M1 senkrecht zu dem Strahle OP und halbieren die Sehnen PQ und PQ, in 8 resp. S. Nun sind die rechtwinkligen Dreiecke MPR und M,Q,R, ähnlich und, vom Centrum O aus gesehen, in ähnlicher Lage. Denn MR und MR1 sind ähnlich gelegen, und das zu ▲ MPR ähnlich liegende Dreieck mit der Seite MR1 muß seine dritte Ecke auf OP haben und rechtwinklig sein, da MPR 90° ist. Es giebt aber nur zwei solche Dreiecke, nämlich MQ11 und MP1R1, also muß eines von ihnen und zwar AMQR, zu MPR ähnlich liegen. Demnach ist MP || M, Q1, so daß

1

=

1

P und ähnlich liegende Punkte auf k und k, sind und O das zugehörige Ähnlichkeitscentrum ist.

237. Es giebt unendlich viele perspektive Beziehungen oder Centralprojektionen in der Ebene, die einen gegebenen Kreis in sich selbst überführen. Die Achse oder das Centrum der Perspektive kann beliebig angenommen werden. Aus der perspektiven Beziehung eines Kreises zu einem zweiten läßt sich in einfachster Weise auch die perspektive Beziehung eines Kreises zu sich selbst ableiten. Sei k1 Gerade in seiner Ebene, so bestimme Bezug auf e1 symmetrischen Kreis k.

ein Kreis und e1 irgend eine man zunächst den zu k in Betrachtet man k, als das

perspektive Bild von
k, so ist e, die Achse
und Oe1x MM
= 1 х
als innerer Ähnlich-

mit k. Nach 163 sind dann auch die Kreise k1 und k。 in perspektiver Lage, d. h. wir haben es mit einer neuen perspektiven Beziehung zu thun, bei welcher der Kreis k1 sich selbst entspricht und die beliebige Gerade e, die Perspektivitätsachse ist. Sind ferner P und P1 entsprechende Punkte der Kreise k und k1, so gelangt P bei der Umdrehung in die Lage Po, die zu P in Bezug auf e, symmetrisch ist. P und P werden entsprechende Punkte der neuen Perspektive, die k in sich selbst verwandelt, und die Gerade P1P schneidet auf MM, das Centrum O' derselben aus. Der zu P, symmetrische Punkt und der Punkt Q1 = P。 entsprechen sich ebenfalls als Punkte von k und k1, und nach der Drehung des Kreises k bilden Q1=Po und Q = P1 entsprechende Punkte von k, und ko. So sehen wir denn, daß jeder Strahl durch O' den Kreis k1 = k。 in zwei Punkten schneidet, die sich vertauschbar entsprechen, d. h. zu dem ersten als Originalpunkt gehört der zweite als perspektives Bild und zu dem zweiten als Originalpunkt wiederum der erste als perspektives Bild.

238. Als Achse der Perspektive, die einen Kreis k in sich

P

selbst verwandelt, kann, wie wir sahen, jede Gerade e in seiner Ebene dienen, das zugehörige Centrum O ist alsdann bestimmt. Wir wollen nun noch etwas näher untersuchen, in welcher Weise Achse und Centrum einer solchen Perspektive miteinander verknüpft sind. Zunächst schicken wir die Definition voraus: Ein Punkt und eine Gerade werden als Pol und Polare in Bezug auf einen Kreis k bezeichnet, wenn sie Centrum und Achse einer Perspektive darstellen, die den Kreis k in sich selbst abbildet. Ziehen wir jetzt durch den Pol O zwei beliebige Strahlen, welche den Kreis k in P und P, resp. Q und Q1 schneiden (Fig. 161), so entsprechen den Originalpunkten P, Q, P1, Q1 die Bildpunkte P1, Q, P, Q. Demnach schneiden sich die entsprechenden Geraden PQ und P1Q, in einem

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Fig. 161.

Punkte J der Polare e und ebenso die entsprechenden Geraden PQ1 und P1Q in einem Punkte K derselben. Hierin liegt die Konstruktion der Polare zu einem gegebenen Punkt als Pol.

Auch die Tangenten in P und P, entsprechen sich, so daß ihr Schnittpunkt F auf der Polare e liegt, und in gleicher Weise muß sich der Schnittpunkt G der Tangenten in Q und Q, auf der Polare befinden. Ferner schneidet die Polare die Sehnen PP1 und QQ, in Punkten U resp. V, welche mit O zusammen diese Sehnen harmonisch teilen. Denn die Linien PQ, PQ1, P1Q, P1Q1 bilden ein Vierseit, dessen Diagonalschnittpunkte O, U und sind. Liegt O im Innern des Kreises k, so liegen U und als vierte harmonische Punkte auf den verlängerten Sehnen PP1 resp. QQ1; da ein gleiches Verhalten bei allen Sehnen durch O eintritt, schneidet die Polare e den Kreis nicht. Liegt dagegen O außerhalb k, so liegen U und innerhalb, und die Polare schneidet den Kreis in zwei Punkten X und Y. Diese sind die Berührungspunkte der von O an den Kreis gelegten Tangenten. Denn OX schneidet k in zwei Punkten, die zu O und X harmonisch liegen, und da einer dieser Schnittpunkte mit X zu