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Kreise, wenn diese sich nicht treffen (Fig. 156), oder verbindet ihre
Schnittpunkte, wenn es solche giebt (Fig. 158). Von diesem letzteren

Umstande rührt die Bezeichnung
Chordale her; daß ihre Punkte in
Bezug auf beide Kreise die gleiche
Potenz haben, ist selbstverständ-
lich. Daß es auch eine gemeinsame,
zur Centralen senkrechte Potenz-
linie giebt, wenn die Kreise k und
k, sich nicht schneiden, folgt so.
Ist S ein beliebiger Punkt gleicher
Potenz in Bezug auf k und k, so
ist: (SM)? – r* = (SM)” – r”. Ist
ferner E der Fußpunkt des aus S
auf die Centrale MM, gefällten

Fig. 156.

Lotes und subtrahiert man (SE)” von dieser Gleichung, so kommt:

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Für drei Kreise gilt der Satz, daß die drei Potenzlinien, welche je zwei von ihnen bestimmen, sich in einem Punkte schneiden. Denn der Schnittpunkt zweier Potenzlinien ist ein Punkt gemeinsamer Potenz für alle drei Kreise, liegt also auch auf der dritten Potenz

linie. Diesen Satz kann man benutzen, um die Potenzlinie zweier sich nicht schneidender Kreise k und k zu zeichnen. Zieht man nämlich einen beliebigen Hilfskreis, der k und k schneidet, dann 12*

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schneiden sich die so bestimmten Chordalen in einem Punkt der gesuchten Potenzlinie. 235. Wir wollen nun die vorher behauptete perspektive Lage der beiden Kreise k und k nachweisen. Dabei ist es gleichgültig, ob die Kreise k und k sich gegenseitig ausschließen (Fig. 157), oder schneiden (Fig. 158), oder einer den andern einschließt (Fig. 156). Ist 0 der äußere oder innere Ähnlichkeitspunkt der beiden Kreise k und k, so läßt sich auf den Strahlen durch O jedem Punkt P auf k ein bestimmter Punkt P auf k als entsprechender Punkt zuordnen. Freilich schneidet der Strahl OP aus k noch zwei Punkte P und P, aus; aber einer von ihnen, etwa P, ist der zu P ähnlich liegende Punkt des Kreises k und ist dadurch charakterisiert, daß die Radien MP und MP, parallel sind. Wir lassen nun je zwei Punkte der Kreise k und k einander entsprechen, die sich auf einem Strahle durch O befinden, aber nicht parallelen Radien angehören, also nicht ähnlich liegen, so z. B. die Punkte P und P, Q und Q, u. s. f. Auf diese Weise gehört zu jedem Punkt des einen Kreises ein und nur ein Punkt des andern, und wir werden jetzt zeigen, daß hierdurch die beiden Kreise in perspektive Beziehung gebracht sind. Einerseits laufen ja die Verbindungslinien entsprechender Punkte durch den festen Punkt O, der das Centrum der Perspektive bildet. Andererseits müssen sich entsprechende Gerade auf einer festen Geraden, der Achse der Perspektive, schneiden. Das ist in der That der Fall, denn eine ganz beliebig gewählte Sehne PQ von k und die entsprechende Sehne P Q von k treffen sich immer in einem Punkt der gemeinsamen Potenzlinie e beider Kreise, die somit die Achse der Perspektive darstellt. Um dies zu erkennen, beachte man (Figg. 156, 157, 158), daß die Sehnen PQ und PQ, ähnlich liegen, also parallel sind, und daß deshalb aus der Gleichheit der Winkel in P und Q2 (als Centriwinkel über dem Kreisbogen P„Q) die Gleichheit der Winkel in P und Q folgt. Hiernach kann man durch die vier Punkte PQP Q, einen Hilfskreis legen, und dieser bestimmt mit k die Chordale PQ und mit k die Chordale P Q,; beide müssen sich aber nach dem früher erwähnten Satze auf der gemeinsamen Potenzlinie e von k und k schneiden. 236. Wir haben in der vorigen Nummer nachgewiesen, daß die beiden Kreise k und k sich in perspektiver Lage befinden, wobei wir allerdings von der Annahme ausgingen, daß das Centrum der Perspektive stets einer der beiden Ähnlichkeitspunkte sei. Wir haben nun nachträglich noch den Beweis zu führen, daß in der That nur ein Ähnlichkeitspunkt das Perspektivitätscentrum bilden kann. Zunächst zeigen wir, daß dieses auf der Centrale MM liegen muß. Entsprechende Tangenten der Kreise k und k schneiden sich auf der Achse e, deren Lage wir freilich noch nicht kennen. Insbesondere entsprechen den zu e, parallelen Tangenten des einen Kreises die zu e parallelen Tangenten des andern. Somit entsprechen sich auch ihre Berührungspunkte und die sie verbindenden Durchmesser, die zu e normal sind. Da sich aber beide als entsprechende Gerade auf der Achse e schneiden müssen, liegen sie auf der nämlichen Normalen zur Achse. So sehen wir denn, daß die Centrale MM, der beiden Kreise zur Achse e der Perspektive

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senkrecht ist und als Träger entsprechender Punkte durch das Centrum O der Perspektive hindurchgeht.

Sind jetzt P, P. zwei entsprechende Punkte der Kreise k und k, so schneidet PP auf MM, das Centrum O aus und trifft die Kreise noch in zwei weiteren entsprechenden Punkten Q und Q. Auch die Tangenten an k in P und Q, und ihr Schnittpunkt R, entsprechen den Tangenten an k in P und Q und deren Schnittpunkt R (Fig. 159); deshalb muß auch RR durch 0 gehen. Zugleich sind RM und R, M. senkrecht zu dem Strahle OP und halbieren die Sehnen PQ und PQ, in S resp. S. Nun sind die rechtwinkligen Dreiecke MPR und MQ, R, ähnlich und, vom Centrum O aus gesehen, in ähnlicher Lage. Denn MR und M. R, sind ähnlich gelegen, und das zu A MPR ähnlich liegende Dreieck mit der Seite MR, muß seine dritte Ecke auf OP haben und rechtwinklig sein, da Z_ MPR =90" ist. Es giebt aber nur zwei solche Dreiecke, nämlich MQ R und M PR, also muß eines von ihnen und zwar P und Q, ähnlich liegende Punkte auf k und k, sind und 0 das zugehörige Ahnlichkeitscentrum ist. 237. Es giebt unendlich viele perspektive Beziehungen oder Centralprojektionen in der Ebene, die einen gegebenen Kreis in sich selbst überführen. Die Achse oder das Centrum der Perspektive kann beliebig angenommen werden. Aus der perspektiven Beziehung eines Kreises zu einem zweiten läßt sich in einfachster Weise auch die perspektive Beziehung eines Kreises zu sich selbst ableiten. Sei k ein Kreis und e irgend eine Gerade in seiner Ebene, so bestimme man zunächst den zu k in Bezug auf e symmetrischen Kreis k. Betrachtet man k, als das perspektive Bild von k, so ist er die Achse und 0 = e × MM als innerer Ahnlichkeitspunkt – das Centrum (Fig. 160). Läßt man jetzt den Kreis k um e eine halbe Umdrehung machen und bezeichnet ihn in seiner neuen Lage mit ko, so deckt sich ko völlig mit k. Nach 163 sind dann auch die Kreise k und ko in perspektiver Lage, d. h. wir haben es mit einer neuen perspektiven Beziehung zu thun, bei welcher der Kreis k sich selbst entspricht und die beliebige Gerade e, die Perspektivitätsachse ist. Sind ferner P und P entsprechende Punkte der Kreise k und k, so gelangt P bei der Umdrehung in die Lage P, die zu P in Bezug auf e symmetrisch ist. P und P werden entsprechende Punkte der neuen Perspektive, die k in sich selbst verwandelt, und die Gerade P P% schneidet auf MM das Centrum O derselben aus. Der zu P. symmetrische Punkt Q und der Punkt Q, = P% entsprechen sich ebenfalls als Punkte von k und k, und nach der Drehung des Kreises k bilden Q, = P% und Q% = P entsprechende Punkte von k und ko. So sehen wir denn, daß jeder Strahl durch O' den Kreis k = ko in zwei Punkten schneidet, die sich vertauschbar entsprechen, d. h. zu dem ersten als Originalpunkt gehört der zweite als perspektives Bild und zu dem zweiten als Originalpunkt wiederum der erste als perspektives Bild. 238. Als Achse der Perspektive, die einen Kreis k in sich selbst verwandelt, kann, wie wir sahen, jede Gerade e in seiner Ebene dienen, das zugehörige Centrum O ist alsdann bestimmt. Wir wollen nun noch etwas näher untersuchen, in welcher Weise Achse und Centrum einer solchen Perspektive miteinander verknüpft sind. Zunächst schicken wir die Definition voraus: Ein Punkt und eine Gerade werden als Pol und Polare in Bezug auf einen Kreisk bezeichnet, wenn sie Centrum und Achse einer Perspektive darstellen, die den Kreis k in sich selbst abbildet. Ziehen wir jetzt durch den Pol O zwei beliebige Strahlen, welche den Kreis k in P und P resp. Q und Q, schneiden (Fig. 161), so entsprechen den Originalpunkten P, Q, P, Q, die Bildpunkte P, Q, P, Q. Demnach schnei- den sich die entsprechenden Fig. 161. Geraden PQ und PQ, in einem Punkte J der Polare e und ebenso die entsprechenden Geraden PQ, und PQ in einem Punkte K derselben. Hierin liegt die Konstruktion der Polare zu einem gegebenen Punkt als Pol. Auch die Tangenten in P und P entsprechen sich, so daß ihr Schnittpunkt F auf der Polare e liegt, und in gleicher Weise muß sich der Schnittpunkt G der Tangenten in Q und Q, auf der Polare befinden. Ferner schneidet die Polare die Sehnen PP und QQ, in Punkten U resp. Y, welche mit O zusammen diese Sehnen harmonisch teilen. Denn die Linien PQ, PQ, PQ, PQ, bilden ein Vierseit, dessen Diagonalschnittpunkte 0, U und Y sind. Liegt 0 im Innern des Kreises k, so liegen U und Y als vierte harmonische Punkte auf den verlängerten Sehnen PP resp. QQ, ; da ein gleiches Verhalten bei allen Sehnen durch O eintritt, schneidet die Polare e den Kreis nicht. Liegt dagegen 0 außerhalb k, so liegen U und Yinnerhalb, und die Polare schneidet den Kreis in zwei Punkten X und Y. Diese sind die Berührungspunkte der von O an den Kreis gelegten Tangenten. Denn OX schneidet k in zwei Punkten, die zu O und X harmonisch liegen, und da einer dieser Schnittpunkte mit X zu

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