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einem Paare getrennter Strahlen ein vertauschbares Entsprechen, so ist das Entsprechen auch für die übrigen Strahlen vertauschbar; sie bilden die Strahlenpaare einer In volution. Zwei involutorische Strahlenbüschel sind entweder gleichlaufend, oder entgegenlaufend, je nachdem entsprechende Strahlen sich in gleichem oder entgegengesetztem Sinne drehen. Im letzteren Falle giebt es zwei sich selbst entsprechende oder Doppelstrahlen. 229. Zwei Paare entsprechender Strahlen einer Involution bestimmen diese vollständig, und man kann zu jedem weiteren Strahl derselben den entsprechenden konstruieren. Sind etwa aa und bb, zwei Strahlenpaare der Involution und soll zu c der entsprechende Strahl c gesucht werden, so wähle man auf c einen beliebigen Punkt C und ziehe durch ihn zwei beliebige Strahlen (Fig. 152). Der eine von ihnen mag a in A und b in B, der andere mag a, in A und b, in B schneiden; dann liegt der Schnittpunkt C = A, B × AB auf einem Strahle c, der mit c ein Strahlenpaar der Involution bildet. Zum Beweise bezeichne man noch P= c X AB und Q= cm × A, B, so ist: (abcc) = (ABCP) als Schnitt des Büschels, ferner (ABCP) = (B A CQ), da beide Reihen aus dem Centrum C perspektiv liegen. Weiter ist (B ACQ) = (b a cc) und endlich (b, a cc) = (a, b, c, c) nach 190; also wird auch (ab cc) = (a, b, c, c), d. h. die Strahlen c und c, entsprechen sich vertauschbar und die Strahlenpaare aa, bb, cci gehören einer Involution an. Diese Konstruktion liefert noch den Satz: Verbindet man die drei Paar Gegenecken eines vollständigen Vierseits mit einem beliebigen Punkt seiner Ebene, so erhält man drei Strahlenpaare einer Involution. 230. In jeder Strahlenin volution giebt es ein Paar entsprechender Strahlen, die aufeinander senkrecht stehen. Nach 183 sahen wir, daß es in zwei projektiven Strahlbüscheln zwei entsprechende rechte Winkel giebt, die wie früher mit r Ly und r, Ly bezeichnet sein mögen. Legen wir nun die beiden projektiven Strahlbüschel so aufeinander, daß die nicht entsprechenden Schenkel der entsprechenden rechten Winkel sich decken, so sind die Büschel in involutorischer Lage und r =y, y = r bilden ein Paar rechtwinkliger Strahlen, die sich vertauschbar entsprechen. Leicht überzeugt man sich, daß bei einer solchen Übereinanderlagerung der beiden Büschel entsprechende gleich große Winkel zur Deckung gelangen, indem die nicht entsprechenden Schenkel dieser Winkel zusammenfallen. Um diese Verhältnisse zu überblicken, bringe man die Strahlbüschel S und S in eine solche perspektive Lage, daß die Strahlen r und r sich decken (Fig. 153). Sind hier a und a entsprechende Strahlen, so geht die Perspektivitätsachse e. durch A = a × a und ist zu yy parallel. Wir tragen jetzt am Scheitel S zu beiden Seiten des Strahles r und am Scheitel S, zu beiden Seiten des Strahles y den willkürlich gewählten Winkel p an. Die so erhaltenen neuen Winkelschenkel mögen durch a, d, b, c, bezeichnet werden, ihre Schnittpunkte mit derPerspektivitätsachse durch A, D, B, C und die zu ihnen perspektiv liegenden Strahlen durch an, d, , b, c. Dann sind die rechtwinkligen Dreiecke SXA und BXS ähnlich, da ihre Winkel bei S und B gleich p sind, also: SX: XA = BX: XS. Folglich sind auch die rechtwinkligen Dreiecke SXA und BXS ähnlich und es ist: z. BSX = Z SAX, oder Z ba = Z a y. Bezeichnet man die Größe dieser beiden Winkel mit p, so kommt: Z_ ab = a, b = Z . cd = Z . cid = "p p. Ebenso findet man: Z a c = Z a c = Z_ bd = Z_b, d = p + p. Man kann nun beide Büschel S und S zur Deckung bringen, indem man r mit y und y mit r zusammenfallen läßt. Das kann aber noch in doppelter Weise geschehen, wie die Figg. 154 a und 154 b erkennen lassen. Im ersten Fall decken sich die gleichen Winkel ab und b a, sowie cd und d c); im zweiten Fall decken sich die Winkel ac und c a, sowie bd und db. Im ersten Fall entspricht einer Drehung des Strahles r durch die Lage a hindurch

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Fig. 153.

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nach y die Drehung des Strahles r = y durch die Lage a =b hindurch nach y = r; wir haben es hier mit entgegenlaufenden involutorischen Strahlbüscheln zu thun. Im zweiten Fall entspricht einer Drehung des Strahles x durch die Lage a hindurch nach y die Drehung des Strahles r = y durch die Lage a, = c hindurch nach y = r; die involutorischen Strahlbüschel sind also hier gleichlaufend. 231. Geht man im speziellen von zwei kongruenten Strahlbüscheln aus und wählt irgend zwei rechtwinklige Strahlen r und y im ersten Büschel, so entsprechen ihnen auch zwei rechtwinklige Strahlen r und y. im zweiten. Sind ferner a und b zwei andere rechtwinklige Strahlen des ersten Büschels und an und b die entsprechenden rechtwinkligen im zweiten, so hat man Z_ ra = Z yb = z- r a = Zy, b. Nun lege man beide Büschel so aufeinander, daß y auf r und b, auf a fällt, dann deckt sich auch r mit y und a mit b; d. h. jetzt sind die beiden Strahlbüschel in involutorischer Lage und die Strahlen jedes der beiden Paare rar, und aa unserer Involution stehen senkrecht aufeinander. Jedes Strahlenpaar der Involution hat aber die gleiche Eigenschaft, denn der Strahl a war beliebig gewählt. Es giebt eine spezielle Involution von Strahlen, bei der je zwei entsprechende Strahlen zu einander normal sind. 232. Bei zwei entgegenlaufenden in volutorischen Strahlbüscheln giebt es zwei sich selbst entsprechende oder Doppelstrahlen, bei gleichlaufenden giebt es solche Strahlen nicht. Die Doppelstrahlen lassen sich leicht konstruieren, wenn man von der in 230 angenommenen perspektiven Lage der beiden Strahlbüschel S und S ausgeht. Sind nämlich SU und S U zwei perspektive Strahlen (Fig. 155) und sollen dieselben bei der Vereinigung der Büschel zur Involution zur Deckung kommen, so muß z- ru, = zyu sein, und da r Ly ist, folgt un Lu. Beschreibt man daher über SS als Durchmesser einen Kreis, so schneidet er

Fig. 154.

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die Perspektivitätsachse e in Punkten U und Y, die mit S resp. So verbunden die gesuchten Strahlen u, v resp. u, v, liefern. Aus dieser Konstruktion folgt unmittelbar: Die beiden Geraden, welche Winkel und Nebenwinkel der beiden Doppelstrahlen einer Involution halbieren, sind ihre entsprechenden rechtwinkligen Strahlen.

Aus denselben Gründen wie oben für die Punktreihen folgt - noch Fig. 155. der Satz: Bei zwei entgegenlaufenden in volutorischen Strahlbüscheln werden je zwei einander vertauschbar entsprechende Strahlen durch die Doppelstrahlen harmonisch getrennt.

233. Auch für die involutorischen Strahlbüschel soll noch zum Schluß eine metrische Beziehung abgeleitet werden. Sind aa und bb, zwei beliebige und ist ra, das rechtwinklige Strahlenpaar einer Involution, so haben wir gleiche Doppelverhältnisse (aba r) = (ab rix) oder:

sin aca sin aca sin ra1 . sin ra,
sina b’ sin cb sin ab, "sin cb.

Da aber z_ra + Z_ar = R ist, so ist: sin ra = cos ra, und ähnliche Relationen gelten für die andern Strahlen. Dadurch geht unsere Gleichung über in:

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da ja die beiden Strahlenpaare aa und bb, völlig beliebig aus der Involution gewählt sind. Dieses Resultat führt zu dem Satz: Je zwei entsprechende Strahlen einer In volution schließen mit einem der beiden sich entsprechenden rechtwinkligen Strahlen zwei Winkel ein, für welche das Produkt ihrer trigonometrischen Tangenten konstant ist. Sind zwei involutorische Punktreihen oder Strahlbüschel gegeben – etwa durch Angabe zweier Paare von einander vertausch

ROHN u. PAPPERITZ. I. 2. Aufl. 12

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bar entsprechenden Elementen – so entsteht die Frage nach der Konstruktion ihrer Doppelelemente. Die einfachsten Hilfsmittel hierzu werden wir später kennen lernen.

FÜNFTES KAPITEL.

Die Kegelschnitte als Kreispr0jekti011en.

Perspektivität zweier Kreise. Pol und Polare beim Kreise. Involutorische Centralprojektion in der Ebene. Perspektivität zweier Kreise im Raume.

234. Es ist bekannt, daß zwei beliebige Kreise einer Ebene in doppelter Weise als ähnliche und ähnlich liegende Figuren angesehen werden können (vergl. 4). Dabei entsprechen sich die Mittelpunkte und die Endpunkte je zweier paralleler Radien. Sind die Radien gleichgerichtet, so geht die Verbindungslinie ihrer Endpunkte stets durch den äußeren, dagegen durch den inneren Ähnlichkeitspunkt, falls die Radien entgegengesetzte Richtung haben. Die Ähnlichkeit kann als spezieller Fall der Perspektive angesehen werden, wobei die Achse der Perspektive ins Unendliche gerückt ist. Es gilt aber auch weiter noch der Satz: Zwei beliebige Kreise k und k einer Ebene stehen auf doppelte Weise in perspektiver Beziehung; dabei bildet einer der beiden Ähnlichkeitspunkte das Centrum und ihre gemeinsame Potenzlinie die Achse der Perspektive.

Zur Erklärung erinnern wir an folgende elementare Sätze. Das Streckenprodukt SP. SQ hat für alle durch einen Punkt S gezogenen Sehnen PQ eines Kreises k denselben Wert und heißt die Potenz des Punktes S in Bezug auf den Kreis k. Diese Potenz läßt sich auch in der Form (SM)” – r” schreiben, wenn M das Centrum und r der Radius von k ist. Der geometrische Ort aller Punkte gleicher Potenz in Bezug auf zwei Kreise k und k ist eine Gerade, welche die gemeinsame Potenzlinie oder Chordale genannt wird. Sie steht auf der gemeinsamen Centralen (Verbindungslinie der beiden Kreiscentren) senkrecht, liegt außerhalb der beiden

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