positiv, die in dem entgegengesetzten Sinn beschriebenen negativ. Durch ab bezeichnen wir den Winkel, den die Gerade a in positivem Drehsinn beschreiben muß, um in die Lage b zu gelangen, so zwar, daß die positiven Durchlaufungsrichtungen beider Geraden übereinstimmen. Es ist dann:

wenn a' mit a zusammenfällt, aber eine entgegengesetzte positive Durchlaufungsrichtung zeigt.

Wenn wir verabreden, daß ganze Umdrehungen außer Acht bleiben, also Winkel, die sich um ganze Vielfache von 4 R unterscheiden, als gleich angesehen werden sollen, so haben wir die Gleichung:

Ebenso besteht für drei beliebige Gerade a, b, c einer Ebene die Gleichung:

= Lac

Lab + L bc + L ca = 0, oder ab Lbc. Ähnliche Gleichungen giebt es für mehr Gerade. Wie man leicht erkennt, ist es gleichgültig, ob die betrachteten Geraden durch den nämlichen Punkt gehen oder nicht. Auch bedarf es keiner weiteren Erläuterung, wie die gegebenen Erklärungen auf die Bestimmung der Winkel windschiefer Geraden, oder der Neigungswinkel gegebener Ebenen auszudehnen sind.

Wird ein Winkel durch seinen Scheitel O und zwei auf den Schenkeln gelegene Punkte A und B bestimmt, so bezeichnen wir ihn durch AOB, wenn er von einem Strahle beschrieben wird, der aus der Lage OA mit positivem Drehsinn in die Lage OB übergeht. Dann ergiebt sich, ähnlich wie vorher:

LAOB BOA = 0, oder ▲ BOAL AOB, LAOB + BOC+ COA = 0, oder AOB = L AOC - BOC, u. s. f., wobei die Punkte O, A, B, C... beliebig in der Ebene verteilt sein können.

210. In einer Punktreihe ist nach Festlegung zweier Grundpunkte A und B jeder dritte Punkt C durch das Verhältnis

seiner Abstände von den Grundpunkten bestimmt (wobei vorausgesetzt wird, daß x auch dem Vorzeichen nach bekannt sei). x ist ersichtlich ein reiner Zahlenwert; jedem solchen Wert gehört ein Punkt der Reihe AB zu. Durchläuft das Abstandsverhältnis z stetig alle positiven Werte von bis +1 und von +1 bis 0, dann alle

dementsprechend der Punkt C die Punktreihe in der Richtung der

negativen Werte von 0 bis -1 und von 1 bis

dem Unendlichen kommend bis 4, dann von A bis zur Mitte M der Strecke AB und endlich von hier bis wieder zu B (Fig. 146). 211. In einem Strahlbüschel ist nach Angabe zweier Grundstrahlen a und b (und willkürlicher Festsetzung ihrer positiven Richtungen) jeder dritte Strahl c durch das Verhältnis der senkrechten Abstände irgend eines seiner Punkte von den Strahlen a und b, oder was dasselbe ist durch das Sinusverhältnis

n

b

с

m

Y

a

seiner Winkel mit den Grundstrahlen bestimmt bis auf die Durchlaufungsrichtung, welche willkürlich bleibt. Mag man aber diese Durchlaufungsrichtung von c wählen, wie man will, immer wird das Sinusverhältnis z negativ sein, wenn c in dem von den positiven Richtungen der Grundstrahlen a und b gebildeten Winkel liegt; im andern Falle wird x positiv. Speziell nimmt x die Werte 0, 0, - 1 und + 1 an, wenn die Gerade c mit a, b, m oder n zusammenfällt, wo m den Winkel ab und n seinen Nebenwinkel halbiert (Fig. 147). Analoges gilt von der Bestimmung der Ebenen eines Büschels durch ein Sinusverhältnis.

Fig. 147.

212. Vier Punkte A, B, C, D einer Geraden bestimmen ein Doppelverhältnis; es ist dies der Quotient der beiden Abstandsverhältnisse, welche der dritte und vierte Punkt in Bezug auf die ersten beiden ergeben, und hat somit den Wert

CA ᎠᎪ
CB DB'

der gewöhnlich kurz durch das Symbol (BCD) bezeichnet wird. Vier Strahlen a, b, c, d (Ebenen A, B, г, A) eines Büschels haben als Doppelverhältnis den Quotient der beiden Sinus

verhältnisse, welche der dritte und vierte Strahl (Ebene) in Bezug auf die ersten beiden ergeben, und hat somit den Wert

wo die rechte Seite der Gleichung wieder ein Symbol für den Wert der linken ist, und der Winkel zweier Geraden einfach durch Nebeneinanderschreiben ihrer Zeichen ausgedrückt wird.

213. Ändert man die Reihenfolge der vier Punkte ABCD, so ändert sich im allgemeinen auch der Wert ihres Doppelverhältnisses, indem die beiden darin auftretenden Abstandsverhältnisse andere und andere werden. Bei gewissen Vertauschungen der vier Punkte bleibt jedoch der Wert ungeändert. Man hat nämlich: CA DA ᎠᏴ CB AC BC BD AD

:

:

=

:

=

:

CB DB DA CA AD BD BC AC'

oder (ABCD) = (BADC) = (CDAB) = (DCBA) (vergl. 190).

Teilt man also die vier Punkte irgendwie in zwei Paare und vertauscht man in der ursprünglichen Reihenfolge die beiden Punkte eines jeden Paares miteinander, so behält das Doppelverhältnis seinen Wert bei. Den 24 möglichen Anordnungen der vier Punkte entsprechen daher nicht ebenso viele, sondern nur sechs verschiedene Doppelverhältnis werte. So zeigen die Anordnungen

ABCD, ABDC, ACBD, ACDB, ADBC, ADCB,

oder die mit ihnen äquivalenten, lauter verschiedene Werte. Die gleichen Betrachtungen lassen sich für die Doppelverhältniswerte von vier Strahlen oder vier

Ebenen eines Büschels wiederholen.

214. Vier Strahlen eines Büschels haben das gleiche Doppelverhältnis wie die vier Punkte, die eine beliebige Gerade auf g ihnen ausschneidet. Die Gerade g mag die Strahlen a, b, c, d in den Punkten A, B, C, D schneiden, und es sei h das vom Scheitel O des Büschels auf g gefällte Lot (Fig. 148). Der doppelte Flächeninhalt des Dreiecks CAO läßt sich dann in der doppelten Form ausdrücken:

B
Fig. 148.

C

215. In zwei projektiven Punktreihen (Strahlbüscheln) haben vier beliebige Punkte der einen Reihe (Strahlen des einen Büschels) das gleiche Doppelverhältnis wie die entsprechenden Punkte der andern Reihe (Strahlen des andern Büschels). Bringt man nämlich beide Reihen in perspektive Lage, so erscheinen sie als Schnitte eines und desselben Strahlbüschels. Nach dem voraufgehenden Satze haben dann zweimal vier Punkte, die sich in beiden Reihen entsprechen, das gleiche Doppelverhältnis wie die vier Strahlen, welche sie ausschneiden. Bringt man zwei projektive Strahlbüschel in perspektive Lage, so schneiden sich ihre entsprechenden Strahlen in den Punkten einer Geraden. Je zweimal vier Strahlen, die sich in beiden Büscheln entsprechen, haben das gleiche Doppelverhältnis wie die vier Punkte der Geraden, in denen sie sich schneiden.

216. Es gilt auch ganz allgemein der Satz: In zwei projektiven einförmigen Grundgebilden (Punktreihen, Strahlbüschel, Ebenenbüschel) weisen je vier Elemente des einen Gebildes das gleiche Doppelverhältnis auf wie die entsprechenden des andern. Für Punktreihen und Strahlbüschel ist der Beweis schon geführt; und er gilt offenbar in seiner ganzen Allgemeinheit, sobald gezeigt wird, daß vier Ebenen A, B, г, ▲ eines Büschels das gleiche Doppelverhältnis besitzen wie die vier Geraden a, b, c, d, die eine beliebige Ebene, oder wie die vier Punkte A, B, C, D, die eine beliebige Gerade aus ihnen ausschneidet. Legt man aber zur Achse des Ebenenbüschels einen Normalschnitt, so ist das Doppelverhältnis der von ihm ausgeschnittenen Strahlen a', b', c', d' gleich demjenigen der vier Ebenen, da ja je zwei dieser Strahlen den Winkel der bezüglichen Ebenen messen (a'b' = L AB, u. s. f.). Ferner sind auch die Doppelverhältnisse (abcd) und (a'b'c'd') gleich, da beide Strahlbüschel perspektiv sind; somit kommt: (abcd) = (АВГД). Daß auch die vier Punkte ABCD das gleiche Doppelverhältnis besitzen, erkennt man, wenn man von einem Punkt auf der Achse des Ebenenbüschels vier Strahlen nach ihnen zieht. Denn diese vier Strahlen haben sowohl mit den vier Punkten der Reihe, als mit den vier Ebenen des Büschels das gleiche Doppelverhältnis. Damit ist unser Satz bewiesen.

=

217. Vom letzten Satze giebt es auch eine Umkehrung, die in gleicher Allgemeinheit gilt. Es genügt indessen den speziellen

Satz zu beweisen: Damit vier Punkte A, B, C, D und vier Strahlen a, b, c, d in perspektive Lage gebracht werden können, ist notwendig und hinreichend, daß ihre entsprechenden Doppelverhältnisse gleich sind. Aus diesem Satz folgt dann unmittelbar, daß man auch zweimal vier Punkte zweier Reihen, oder zweimal vier Strahlen zweier Büschel bei gleichem Doppelverhältnis in perspektive Lage bringen kann. Zum Beweise unseres Satzes verschieben wir den Träger der Punkte A, B, C, D so, daß A, B und C resp. auf a, b und c zu liegen kommen (175); dann ist zu zeigen, daß auch d durch den Punkt D geht. Schnitte nun d den Träger der Punktreihe bei seiner neuen Lage im Punkte D', so wäre:

woraus

(ABCD) = (abcd) = (ABCD'),

=

DA: DB = D'A: D'B, oder (DA – DB): DB (D'A — D'B): D'B folgt, und da das erste und dritte Glied der Proportion gleich sind, muß auch DB = D'B sein, d. h. D' muß mit D zusammenfallen.

218. Teilen die Punkte C, D das Punktepaar A, B harmonisch, so sind ihre Abstandsverhältnisse in Bezug auf dieses Paar entgegengesetzt gleich und das Doppelverhältnis der vier Punkte hat den Wert - 1. Nach 195 sind die Punkte A, B, C, D projektiv zu den Punkten B, A, C, D; sie haben also das gleiche Doppelverhältnis, und es ist:

Die rechte Seite der Gleichung ist der reciproke Wert der linken, folglich muß das Doppelverhältnis den Wert 1 aufweisen. Der Wert + 1 ist aber ausgeschlossen, sonst müßte C mit D zusammenfallen. Damit ist unsere Behauptung erwiesen, daß (ABCD):

1, oder

=

CA
CB

=

ᎠᎪ

ist. ᎠᏴ

Auch für die harmonische Lage von vier Strahlen a, b, c, d gilt die Relation: (abcd) 1. - 1. Halbieren die Strahlen c und d im speziellen den Winkel und Nebenwinkel der Strahlen a und b, so sind ihre Sinusverhältnisse in Bezug auf die letzteren gleich der negativen und positiven Einheit, sie liegen also harmonisch (vergl. 204). Halbiert der Punkt C die Strecke AB und fällt der Punkt D ins Unendliche, so werden ihre Abstandsverhältnisse ebenfalls gleich der negativen und positiven Einheit, d. h. die vier Punkte liegen harmonisch (vergl. 204).