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199. Wir haben in 190 gesehen, daß vier beliebige Punkte einer Geraden in folgenden vier verschiedenen Anordnungen ABCD, BADC, CDAB, DCBA zu einander projektiv sind. Liegen die vier Punkte im besonderen harmonisch, und werden etwa die Punkte AB durch CD harmonisch getrennt, so sind nach 195 auch die Punkte BACD und ABCD projektiv. Auch hier giebt es wieder vier zu einander projektive Anordnungen BACD, A BDC, CD BA, DCAB, so daß also bei vier harmonischen Punkten im ganzen acht zu einander projektive Reihenfolgen existieren. Man erhält alle acht Anordnungen, wenn man sowohl die beiden Punktepaare, die sich gegenseitig harmonisch trennen, als auch die Punkte jedes Paares unter sich vertauscht. 200. Vier Strahlen aus einem Punkte und ebenso vier Ebenen durch eine Achse heißen harmonisch, wenn sie von einer Geraden in vier harmonischen Punkten geschnitten werden. Offenbar giebt es auch für solche vier Strahlen und für solche vier Ebenen acht Reihenfolgen, die untereinander projektiv sind. Hiernach gilt auch der Satz: In jeder Ecke eines Vierseits werden die beiden Seiten von der Diagonale und dem Strahl nach dem Schnittpunkt der andern beiden Diagonalen harmonisch getrennt. 201. Zweimal vier harmonische Punkte (Strahlen, Ebenen) sind stets projektiv, d. h. sie können in perspektive Lage gebracht werden. Werden die Punkte AB durch CD und die Punkte A, B durch CD, harmonisch getrennt, so sind durch die Wahl der Punkte ABC einerseits und A, B, C, andererseits die Punkte D und D, mitbestimmt. Man bringe nun A, B, C zu ABC in perspektive Lage, indem man C. mit C vereinigt (Fig. 141), und verbinde dann A und B mit jedem der beiden Punkte A und B. Diese vier Geraden bilden ein Vierseit, von dem AB und A, B, zwei Diagonalen sind, während die dritte Diagonale JK auf ihnen die vierten harmonischen Punkte D resp. D, ausSchneidet. Aus der Figur ist aber Fig. 141. zu ersehen, daß ABCD und A, B, C, D, vom Centrum K aus perspektiv liegen. Es ist nach Früherem selbstverständlich, daß es acht verschiedene Reihenfolgen der Punkte A, B, C, D, giebt, deren jede zu ABCD projektiv ist.

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Hiermit ist auch die Aufgabe gelöst, einen Punkt D zu finden, der mit C zusammen die Strecke A B harmonisch teilt. Man zieht nämlich eine beliebige Gerade durch C und nimmt auf ihr zwei beliebige Punkte A und B an (Fig. 141). Die vier Geraden AA, AB, BA, BB, bilden ein Vierseit mit den Diagonalen A B und A B. dessen dritte Diagonale JK den Punkt D ausschneidet. 202. Das vollständige Viereck wird von vier Punkten ABCD einer Ebene gebildet, deren sechs Verbindungslinien seine Seiten heißen. Diese ordnen sich paarweise als Gegenseiten an, nämlich AB und CD, AC und B D, A D und BC, so daß jedes Paar alle vier Ecken enthält. Die Schnittpunkte je zweier Gegenseiten heißen Diagonalpunkte TF°L und bilden das Diagonaldreieck LMN ---- (Fig. 142). - 203. In jedem DiagonalC punkt werden die Seiten des W Fig. 142. vollständigen Vierecks durch die Seiten seines Diagonaldreiecks harmonisch getrennt. So liegen im Punkte M der Fig. 142 die Vierecksseiten MA und MB zu den Seiten ML und MN des Diagonaldreiecks harmonisch. Die vier Geraden BL, BM, CL, CM bilden nämlich ein Vierseit, und nach 200 liegen seine Seiten MB, MA harmonisch zu seiner Diagonale ML und dem Strahl nach dem Schnittpunkt M der Diagonalen AD und BC. Auf jeder Seite eines Vierecks werden die Ecken durch einen Diagonalpunkt und den Schnittpunkt mit der Verbindungslinie der beiden andern Diagonalpunkte harmonisch geteilt. Denn in dem von den Geraden BL, BM, CL, CM gebildeten Vierseit sind A und D Gegenecken, S und M aber Diagonalschnittpunkte; somit werden A und D durch M und S nach 195 harmonisch geteilt. Um den Strahl d zu finden, der mit einem Strahle c zusammen den Winkel ab harmonisch teilt, wähle man auf c einen beliebigen Punkt und ziehe durch ihn zwei beliebige Gerade a und b (Fig. 143). Die vier Schnittpunkte a × a, a × b1, b × a, b × b, bilden ein Viereck mit den Diagonalpunkten a × b und a × b, durch dessen dritten Diagonalpunkt der Strahl d zu ziehen ist.

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Aus der geschilderten Konstruktion folgt zugleich, daß von den beiden Strahlen, welche den Winkel ab harmonisch teilen, der eine im Winkel ab, der andere aber außerhalb liegt. Ganz ebenso zeigt die frühere Konstruktion, daß von zwei Punkten, welche die Strecke A B harmonisch teilen, der eine auf der Strecke, der andere aber außerhalb liegen muß.

204. Wir wollen jetzt unsere Aufmerksamkeit noch kurz einigen speziellen Vierseiten und Vierecken zuwenden. Projizieren wir ein Vierseit derart auf eine andere Ebene, daß das Bild einer Diagonale ins Unendliche fällt, so erhalten wir ein Parallelogramm. Auf einer Diagonale des Parallelogramms liegen dann die Eckpunkte mit dem Mittelpunkt und dem unendlich fernen Punkt harmonisch. Jede Strecke wird also von ihrem Mittelpunkt und dem unendlich fernen Punkt harmonisch geteilt.

Durch perspektive Abbildung können wir auch ein beliebiges Viereck ABCD in ein Rechteck A, B, C, D, verwandeln (Fig. 144). Dazu brauchen wir nur die Verbindungslinie zweier Diagonalpunkte L und M zur Verschwindungslinie e, zu machen und das Centrum O S0 zu wählen, daß ON_L OL wird, während die Achse e, Zu e beliebig parallel gezogen werden kann. Da aber im Punkte M die Geraden AC und BD mit ML und M/M harmonisch liegen, so sind in M die Diagonalen des Rechtecks harmonisch zu den beiden Geraden, die den Seiten des Rechtecks parallel laufen. Jeder Winkel wird also von seiner Halbierungslinie und der Halbierungslinie seines Nebenwinkels harmonisch geteilt und umgekehrt. Oder auch: Stehen von vier harmonischen Strahlen

ROHN u. PAPPERITz. I. 2. Aufl. 11

Fig. 143.

Fig. 144.

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die Strahlen des einen Paares senkrecht aufeinander, so halbieren sie Winkel und Nebenwinkel der beiden andern. Die Richtigkeit dieser Sätze erkennt man auch, wenn man vier

S. spezielle harmonische Punkte zu Grunde legt, von denen der eine unendlich fern ist (Fig. 145). Projiziert man diese aus einem Punkte S, so daß SC _L AB ist, dann stehen zwei der vier harmonischen Strahlen durch S aufeinander

A (" senkrecht, während die beiden andern Fig. 145 SA und SB mit SC gleiche Winkel ein- schließen.

205. Will man ein beliebiges Viereck A BCD in ein Quadrat A, B, C, D, durch Perspektive abbilden, so hat man in Fig. 144 das Centrum O so zu wählen, daß nicht nur OL L 0M wird, sondern auch die beiden Strahlen, die O mit den Punkten U = e. >< AC und Y= e, x BD verbinden, aufeinander senkrecht stehen. Denn beim Quadrat schneiden sich auch die Diagonalen A, C und B, D, rechtwinklig. Demnach wird O als Schnittpunkt zweier Kreise erhalten, von denen der eine über dem Durchmesser LM und der andere über dem Durchmesser UY beschrieben ist.

Metrische Beziehungen zwischen perspektiven Grundgebilden.

206. Für zwei ähnliche ebene Figuren gilt das Gesetz: Alle Strecken des Originals haben zu ihren Bildern das nämliche Verhältnis (gleichviel in welcher Richtung sie gezogen sind). Für affine Figuren ergab sich: Alle unter sich parallele Strecken des Originals haben zu ihren Bildern das gleiche Verhältnis (aber dies ändert sich von einer Richtung zur andern). In beiden Fällen besteht zwischen den Abständen dreier Punkte A, B, C einer Geraden und denen der entsprechenden Punkte A, B, C der Bildgeraden die Verhältnisgleichung:

AC: BC = AC : BC.

Es erhebt sich jetzt die Frage nach einem analogen Gesetze für perspektive Figuren.

207. Zwischen drei Punkten A, B, C einer Geraden und den entsprechenden Punkten A, B, C der dazu perspektiven Bildgeraden kann keine Streckenrelation bestehen, denn wir haben gesehen, daß letztere noch willkürlich angenommen werden dürfen, wenn erstere gegeben sind. Dagegen zeigt der in 178 bewiesene

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wie

Satz, daß vier Punkte einer Geraden g, eine Streckenrelation erfüllen
müssen, wenn es möglich sein soll, sie mit vier gegebenen Punkten
einer andern Geraden g in Perspektive zu setzen. Hier sind aber
nicht mehr, wie bei affinen Figuren, die Streckenverhältnisse selbst
auf der Original- und Bildgeraden gleich; vielmehr werden erst die
Quotienten zweier Streckenverhältnisse auf beiden Geraden einander
gleich, und ein derartiger Quotient wird Doppelverhältnis ge-
nannt. – Obgleich nun in der darstellenden Geometrie auf die Be-
stimmung von Doppelverhältniswerten im allgemeinen nicht Bezug
genommen wird, so soll doch hier der Begriff des Doppelver-
hältnisses entwickelt und seine Bedeutung für perspektive Figuren
erklärt werden. Dies kann indes nicht geschehen, ohne einige all-
gemeine Bemerkungen über die Messung von Strecken und
Winkeln vorauszuschicken.")
208. Eine Strecke ist durch ihre Endpunkte A und B ein-
deutig bestimmt, wenn zugleich die Richtung gegeben ist, in der
sie durchlaufen werden soll. Ist dies die Richtung von A nach B,
so bezeichnen wir die Strecke durch AB, durch BA dagegen im
entgegengesetzten Falle. Wir setzen ferner für jede Gerade eine
positive Richtung fest (welche ist gleichgültig), d. h. wir stellen
alle in der einen Richtung durchlaufenen Strecken als positiv
in Rechnung, die in der umgekehrten Richtung durchlaufenen
Strecken aber als negativ. Hiernach besteht für zwei beliebige
Punkte A und B die Gleichung:
A B + BA = 0, oder BA = AB;
ebenso besteht für drei beliebig auf einer Geraden gelegene Punkte
A, B, C die Gleichung:
AB + BC + CA = 0, oder AB = AC + CB,
und ähnliche Gleichungen gelten für mehr Punkte.
209. Der von zwei Geraden a und b (in einer Ebene) einge-
schlossene Winkel ist eindeutig bestimmt, wenn angegeben wird, nach
welcher Richtung vom Scheitel 0 aus die Schenkel gehen und in
welchem Drehsinne der Winkel beschrieben werden soll. Be-
zeichnen wir mit a nicht bloß die Gerade, sondern drücken durch
dieses Zeichen zugleich eine bestimmte Richtung aus, welche als
positive Durchlaufungsrichtung genommen wird, und machen wir
die gleiche Festsetzung für b, so giebt es zwischen den Schenkeln
a und b, die vom Scheitel O in positiver Richtung ausgehen,
zwei verschiedene Winkel, die sich zu 4 R ergänzen. Wir setzen
ferner für jede Ebene willkürlich einen positiven Drehsinn fest,
d. h. wir rechnen die in dem einen Sinn beschriebenen Winkel

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