Es seien Mg × h und M1 = g1 × h1 die Schnittpunkte zweier entsprechender Gegenseitenpaare g = AB, h = CD und g1 = AB1, h1 = C1D1, die zusammen alle acht Ecken enthalten (Fig. 135). Denken wir uns eines der Vierecke, etwa ABCD fest, so ist dem andern eine solche Lage zu erteilen, daß die Punktreihen ABM und A,B,M1, sowie die Punktreihen CDM und CD1M1 aus einem Centrum O perspektiv liegen. Legen wir diese Reihen zunächst einzeln irgendwie perspektiv, so können wir ihre Gegenpunkte bestimmen, nämlich G, auf g, G auf g1, H auf h, H auf h1. Hieraus ergeben sich die Gegenachsen e = GH, und e der beiden perspektiven Figuren. Nach 171 müssen ferner die Beziehungen bestehen: =GH 00 v 192. Jetzt drehen wir das zweite Viereck bis e zu e parallel ev wird, dann muß sich die gewünschte perspektive Lage der beiden Vierecke durch eine bloße Parallelverschiebung der zweiten bewirken lassen. Wir ziehen nun einerseits in dem festen Viereck durch G und H respektive die Parallelen zu den Seiten g1 und h, des gedrehten Vierecks und andererseits in dem gedrehten Viereck durch Gund H respektive die Parallelen zu den Seiten g und h des festen Vierecks. Dann werden sich die ersteren in einem Punkte O' und die letzteren in einem Punkte 0,' schneiden, und eine Parallelverschiebung des zweiten Vierecks, bei der O,' mit O' zusammenfällt, bringt die beiden Vierecke in perspektive Lage. Eine andere perspektive Lage der Vierecke ergiebt sich, wenn wir das zweite Viereck nachträglich um 0′ =0′ um 180° drehen. ∞ Man kann jedoch auch zuerst das zweite Viereck um e umklappen und dann eine Drehung desselben vornehmen, so daß e le。 wird. In diesem Falle schneiden sich die durch G, und H, gezogenen Geraden, welche zu den Seiten g, und h, des so gelegenen zweiten Vierecks parallel sind, im Punkte O, und ebenso die Parallelen zug und h durch G und Him Punkte O1. Eine Parallelverschiebung des zweiten Vierecks, wobei O, mit O zusammenfällt, bewirkt wiederum eine perspektive Lage beider Vierecke, und eine weitere perspektive Lage ergiebt sich noch, wenn man das zweite Viereck nachträglich um 00, um 180° dreht. Es sind also vier verschiedene perspektive Lagen in der Ebene möglich. = In der Figur 136 ist eine der zuletzt erwähnten perspektiven Lagen dargestellt, wobei O, mit 0 vereinigt liegt. Sind G1 = 9x91 91 und H1 = h× h, die Schnittpunkte der sich entsprechenden Seiten, 1 ∞ ∞ D1 so sind die Vierecke OH M1G und MHOG, ähnlich, da ihre homologen Seiten und die homologen Diagonalen HG und HG, parallel laufen. Demnach sind auch ihre Diagonalen OM, und OM parallel, d. h. M, M1 und O liegen auf einer Geraden. Nun sind auch die Vierecke ∞ OHM,G und MH,M,G, ähnlich, da ihre homologen Seiten und die homologen Diagonalen OM, und MM1 parallel laufen, folglich ist auch HGH G Jetzt liegen drei Punkte von g, nämlich M, G, und der unendlich ferne Punkt, perspektiv vom Centrum O aus zu den entsprechenden Punkten auf g1, nämlich M1, dem unendlich fernen Punkt und G⋅ Mithin liegen je zwei entsprechende Punkte von g und 91 auf einem Strahle durch 0; insbesondere gehen AA, und BB, durch O. Ganz ebenso zeigt sich, daß CC1 und DD, durch O gehen; die Vierecke ABCD und A,B,C,D, befinden sich also in perspektiver Lage. 193. In Fig.136 ist noch eine andere perspektive Lage angegeben; sie geht aus der vorigen hervor, wenn man das Viereck A,B,C,D, um die Perspektivitätsachse e1 umklappt; hierbei ist O' das Centrum. Die Fig. 137 B 1 1 bringt die beiden noch fehlenden perspektiven Lagen; sie ergeben sich aus den Lagen in Fig. 136, wenn man das eine Viereck A,B,C,D1 um und das andere Viereck A,B,C,D1 um O' um 180° dreht. Im Raume sind nur zwei verschiedene Arten perspektiver Lagen der beiden Vierecke möglich. Sie werden erhalten, wenn man in Fig. 136 das Viereck 4,B,C,D, um die Achse e1, oder wenn man es in Fig. 137 um die Achse e', aufdreht. Harmonische Grundgebilde. Vierseit und Viereck. 194. Die einfachste Figur in der Ebene ist vom Dreieck abgesehen - das Vierseit. Das vollständige Vierseit wird von. vier Geraden a, b, c, d einer Ebene gebildet, deren sechs. Schnittpunkte seine Ecken heißen. Diese gruppieren sich paarweise als Gegenecken, nämlich: a b = E und ex d = F, axc = G und b × d = H, a × d K und bx c = G b E S H d a K Fig. 138. = J, so daß durch jedes Paar alle vier Seiten gehen. Die Verbindungslinien je zweier Gegenecken werden Diagonalen genannt und bilden das Diagonaldreiseit (Fig. 138). Die Ecken eines Vierseits und seines Diagonaldreiseits weisen eine charakteristische Lage 7 zu einander auf, die sich bei jedem Vierseit wieder findet. Daraus folgt denn auch. daß diese charakteristische Lage durch irgend welche Parallel- oder Centralprojektion nicht zerstört werden kann, da eine solche ein Vierseit immer wieder in ein Vierseit verwandelt. 195. Betrachten wir zwei Diagonalen eines Vierseits, so trägt jede von ihnen vier Punkte, und die vier Punkte auf der einen liegen zu den vier Punkten auf der andern in doppelter Weise perspektiv. So sind GHRT vom Centrum F aus perspektiv zu JKST, dagegen vom Centrum E aus perspektiv zu KJST. Nach 180 können somit auch die vier Punkte JKST zu den vier Punkten KJST in perspektive Lage gebracht werden, oder wie wir uns nach 189 kürzer ausdrücken: die Punkte JKST sind projektiv zu den Punkten KJST. Von vier Punkten JKST, welche diese besondere Eigenschaft besitzen, sagen wir, daß sie sich in harmonischer Lage befinden. Wir sprechen also die Definition aus: Auf jeder Diagonale eines Vierseits liegen die beiden Ecken und die Schnittpunkte mit den beiden andern Diagonalen harmoniseh. 196. Es läßt sich auch leicht die Umkehrung zeigen, daß vier Punkte JKST einer Geraden stets zwei Gegenecken und zwei Diagonalschnittpunkte eines Vierseits bilden können, falls JKST zu KJST projektiv ist. Zum Beweise ziehe man durch 7 eine beliebige Gerade und projiziere aus einem beliebigen Centrum F jene Punkte auf diese Gerade, so daß GHRT zu JKST perspektiv liegen (Fig. 138). Wenn nun aber JKST und KJST projektiv sind, so sind nach 189 auch GHRT und KJST projektiv, und da in T zwei entsprechende Punkte zusammenfallen, so sind nach 178 die zweimal vier Punkte sogar perspektiv, d. h. GK, JH und RS schneiden sich in einem Punkte E. Damit ist aber die erwähnte Umkehrung bewiesen. J 197. Aus diesen Betrachtungen geht zugleich hervor, daß durch drei von den vier harmonischen Punkten der vierte mit bestimmt ist. Denn sind JKT gegeben, so kann man wie vorher eine Gerade durch T und den nehmen, dann ergeben sich G, H und E auch SJK × EF. E R T K Fig. 139. Punkt F beliebig an- Führen wir dieselbe Konstruktion zweimal aus, wie das in Fig. 139 geschehen ist, so gelangen wir von den Punkten JKT der Geraden ausgehend immer zu dem nämlichen Punkte S, welcher sich in harmonischer Lage mit jenen drei Punkten befindet. Das giebt den Satz: Alle Vierseite, welche eine Diagonale und auf ihr zwei Eckpunkte und einen Diagonalschnittpunkt gemein haben, haben auch noch den andern Diagonalschnittpunkt auf ihr gemeinsam. Man kann die Richtigkeit dieses Satzes auch leicht direkt erkennen, wenn man in Fig. 139 von den beiden Vierseiten mit der gemeinsamen Diagonalen und den gemeinsamen Punkten JK und T das eine um aufdreht. Dann sind die beiden Vierseite in perspektiver Lage im Raume. Denn zunächst gilt dies von den Drei ecken FGH und FGH1, deren entsprechende Seiten sich auf 7 schneiden; durch das zugehörige Centrum O gehen die Geraden FF, GG1 und HH. Auch die Ebenen GKG, und HJH, enthalten den Punkt O und folglich geht auch ihre Schnittlinie EE1 durch O. Die Geraden EE, und FF, liegen also in einer Ebene und diese schneidet 7 in einem Punkte S. durch welchen die beiden Geraden EF und EF hindurchgehen. 198. Nach dem Vorhergehenden könnte es scheinen, daß von vier harmonischen Punkten zwei eine andere Rolle spielen als die beiden übrigen, insofern zwei davon, etwa J und K, zwei Ecken T ∞ H K S Fig. 140. eines Vierseits, die beiden andern aber, etwa 8 und T, zwei Diagonalschnittpunkte desselben bilden. Daß dem nicht so ist, folgt daraus, daß man auch Vierseite konstruieren kann, welche S und 7 zu Ecken, dagegen und K zu Diagonalschnittpunkten haben. Geht man nämlich von dem früheren Vierseit aus (Fig. 140) und zieht SG und SH, so liegen die Punkte P=SH × GK, Q = SG JH und T in gerader Linie. Denn die Punkte JKST sind perspektiv zu den Punkten GHRT, und folglich sind die Strahlen EJ, EK, ES, ET nach 189 projektiv zu den Strahlen SG, SH, SR, ST. Die zweimal vier Strahlen sind aber sogar in perspektiver Lage, da die entsprechenden Strahlen ES und SR sich decken (vergl. 181); sonach liegen die Schnittpunkte entsprechender Strahlen, nämlich Q, P und 1, auf einer Geraden. Jetzt bilden die Geraden THG, TPQ, SPH, SQG die Seiten eines Vierseits, dessen Diagonalen sich in E, K und schneiden, womit unsere Behauptung erwiesen ist. Wir erkennen also den Satz: Vier Punkte in harmonischer Lage gruppieren sich in zwei Paare derart, daß jedes Paar die Ecken eines Vierseits bilden kann, welches das andere Paar zu Diagonalschnittpunkten hat. Wenn man von vier Punkten ABCD nur aussagt, daß sie harmonisch liegen, so ist damit noch in keiner Weise festgelegt, wie sie sich in Paare gruppieren. Will man dieser Gruppierung Ausdruck verleihen, so sagt man: Das Punktepaar AB, oder die Strecke AB, wird durch das Punktepaar CD harmonisch geteilt. Dann wird nach den obigen Untersuchungen zugleich die Strecke CD durch die Punkte AB harmonisch geteilt. |