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giebt es nach 177 eine Gerade e', welche die Strahlen a, b, c1, d1 in einer Reihe A, B, C D' schneidet, die zur Reihe A, B, C, Da kongruent ist (vergl. auch 185). Nun verschiebe man den Büschel S nach S, so, daß die auf seinen Strahlen liegenden Punkte A', B', C', D' mit der Reihe A, B, C, D2 zur Deckung gelangen.

2

183. In zwei perspektiven Strahlbüscheln S und S giebt es zwei einander entsprechende Paare rechtwinkliger Strahlen. Sie werden

(vergl. 12) gefunden, indem man durch die Scheitel S und S, einen Kreis mit dem Mittelpunkt auf der Perspektivitätsachse legt. Schneidet dieser die Achse in X und Y, so sind SX = x,

=

SY = y und S1 X = x1, SYy1 die gesuchten Rechtwinkelpaare(Fig.130). Aus dem vorigen Satz folgt weiter: Hat man in zwei perspektiven Strahlbüscheln die ent

sprechenden Recht

winkelpaare bestimmt und bringt die Büschel in irgend eine andere perspektive Lage, so entsprechen sich die Schenkel der Rechtwinkelpaare auch in der neuen Lage.

184. Wir haben ferner den Satz: Sind zwei Strahlbüschel zu einem dritten perspektiv, so können sie zu einander in Perspektive gesetzt werden, indem man sie in Bezug auf eine und dieselbe Achse zum dritten Strahlbüschel perspektiv legt. Und weiter: Wenn zwei Strahlbüschel einerseits perspektiv gelegt und andererseits drei Strahlen des einen mit den entsprechenden des andern zur Deckung gebracht werden. können, so sind sie kongruent.

185. An diese allgemeinen Sätze wollen wir noch einige besondere Bemerkungen anknüpfen, die weiterhin ihre Verwendung finden sollen. Schon in 177 haben wir gesehen, wie man perspektive Strahlbüschel in kongruenten Punktreihen schneiden kann. So sind in Fig. 128 die Punktreihen A,B,C,D, auf 91 und A'B'C'D' auf g kongruent. Aus dieser Figur erkennt man auch, daß zwei Strahlen durch 0, und 0,, die zu g, und g2 resp. parallel laufen,

sich auf g schneiden und somit entsprechende Strahlen der Büschel 0, und 0, sind. Die Konstruktion kongruenter Schnitte aus perspek

2

tiven Büscheln folgt hieraus und ist in Figur 131 dargestellt. Der Büschel S wird von g in der Reihe ABCD geschnitten. Nun ziehe man im Büschel S den Strahl h parallel g und hierauf den entsprechenden Strahl h1 im Büschel S. Die zu h1 parallele Gerade g ́schneidet dann den zweiten Büschel in der Punktreihe A'B'C' D', die zu der ersteren kongruent ist. Die Richtigkeit des Gesagten erhellt auch schon daraus, daß in kongruen

ten Punktreihen die unendlich fernen Punkte einander wechselseitig entsprechen. Es muß also in den Strahlbüscheln S und S, entsprechende Strahlen h und h1 geben, die zu den Trägern g und g' der kongruenten Schnitte parallel sind. 186. Von zwei perspektiven Strahlbüscheln kann jedes

nächst in den Büscheln S und S, die Schenkel der entsprechenden rechten Winkel xy und x,y, (Fig. 132), die sich in X und Y auf der

zu y, eine Parallele qu welche und a1

X1

Perspektivitätsachse e schneiden. Nun, ziehen wir zu y eine Parallele q, welche die Strahlen r und a in X' und A' schneidet, und in X" und " trifft, doch so, daß X"A"=X'A′ wird. Dann liefern die Büschel S und S, auf und q, resp. kongruente Punktreihen und wir können den Büschel S samt der Reihe q, derart verschieben, daß X"A" mit X'A' zusammenfällt. Ist ≤ x1a1 > < xa, so ist X'S > X"S1, folglich läßt sich die Ebene des Büschels & der Art um q drehen, daß die orthogonale Projektion von S mit S°, der neuen Lage von S1, zusammenfällt. Damit wird zugleich der Büschel mit dem Scheitel S° die orthogonale Projektion des Büschels mit dem Scheitel S.

Schneiden wir dagegen die Büschel S und S durch Parallele zu x und æ in kongruenten Reihen und bedenken, daß ▲y11<▲ ya ist, so erkennen wir, daß nach geeigneter Verschiebung und Drehung der Büschel S1 als orthogonale Projektion von S erscheint.

187. Die seitherigen Betrachtungen können schließlich auch ausgedehnt werden auf die perspektive Lage von Ebenenbüscheln. Wir erwähnen die bezüglichen Ergebnisse hier der Vollständigkeit halber, obwohl wir uns für konstruktive Zwecke nur derjenigen Sätze zu bedienen brauchen, die sich auf Punktreihen und Strahlbüschel beziehen.

Zwei Ebenenbüschel mit den Achsen s und $1 können stets in solche Lage gebracht werden, daß drei gegebene Ebenen A, B, des einen mit drei beliebig gewählten Ebenen des anderen perspektiv liegen, d. h. so, daß ihre Schnittlinien einen Strahlbüschel bilden, dessen Träger als Perspektivitätsebene bezeichnet werden mag. Die Lage der Perspektivitätsebene gegen einen der beiden Büschel kann willkürlich angenommen werden. Schneidet nämlich diese Ebene die Ebenen A, B, г in dem Strahlbüschel abc, so hat man, um die perspektive Lage der Ebenenbüschel s und $1 herzustellen, die Ebenen A1, B1, г, in einem kongruenten Strahlbüschel zu schneiden und darauf dem Ebenenbüschel s, eine solche Lage zu geben, daß die kongruenten Strahlbüschel sich decken. Um aber den Ebenenbüschel A1, B1, г1 in einem zu abc kongruenten Büschel a'b'c' zu schneiden, schneide man ihn zuerst normal zu seiner Achse $1 in dem Büschel a,b,c, und stelle letzteren nach 186 als Orthogonalprojektion von a'b'c' dar. (Vergl. die schiefe Ansicht in Fig. 133.) 188. Liegen vier Ebenen ABTA eines Büschels s perspektiv zu den vier Ebenen А‚ ̧Â▲ eines anderen Büschels $1 in Bezug auf die Perspektivitätsebene E1, so

1

1 1

kann man sie auch in Bezug auf jede andere Ebene E, in perspektive Lage bringen, wobei die Lage von E, gegen s

Winkel in den beiden Strahlbüscheln, die von zwei zu den Achsen s und s1 senkrechten Ebenen aus den Ebenenbüscheln ausgeschnitten werden.

$1

Sind zwei Ebenenbüschel zu einem dritten perspektiv, so können sie zu einander in Perspektive gesetzt werden, indem man sie in Bezug auf eine und dieselbe Ebene zum dritten Ebenenbüschel perspektiv legt. Wenn zwei Ebenenbüschel einerseits perspektiv gelegt und andererseits drei Ebenen des einen mit den entsprechenden des andern zur Deckung gebracht werden können, so sind sie kongruent.

189. Zwei einförmige Grundgebilde (Punktreihen, Strahl- und Ebenenbüschel) nennt man projektiv, wenn sie in perspektive Lage gebracht werden können. So kann eine Punktreihe sowohl zu einer zweiten, als auch zu einem Strahl- oder Ebenenbüschel projektiv sein, u. s. f. Aus den Sätzen in 180, 184 und 188 folgt aber sofort der allgemeine Satz: Ist ein einförmiges Grundgebilde (Punktreihe, Strahl- oder Ebenenbüschel) zu einem zweiten projektiv und dieses wiederum zu einem dritten, das dritte zu einem vierten u. s. f., so ist auch das erste Gebilde zu dem letzten projektiv, d. h. die beiden können in perspektive Lage zu einander gebracht werden.

190. Sind die vier Punkte ABCD einer Reihe zu den vier Punkten A,B,C,D, einer anderen projektiv, so sind diese Punkte A,B,C,D, auch zu den Punkten BADC oder CDAB oder DCBA projektiv. Bringen wir etwa die beiden

1

1

19

A

D

B

B

B1

Träger der Reihen in eine solche relative Lage zu einander, daß C mit D1 zusammenfällt (Fig. 134), dann werden die Strahlen ‚Â ‚ ÂС, AD die Gerade DC, in vier Punkten A'B'CD schneiden, die zu ABCD perspektiv sind. Ebenso wird diese Gerade von den Strahlen A4, АВ, АС, AD, in vier Punkten A'B'CD geschnitten, die zu Д1B1C1D1 perspektiv sind. Da aber ABCD und A,B,C,D1 projektiv sind, so gilt Gleiches für A'B'C1D und A'B'C,D; deshalb muß nach 180 B' mit B" identisch sein. Von dem Centrum B' B'B" liegen nun die Punkte BADC der Reihe nach per

spektiv zu den Punkten A,B,C,D1; beide

Fig. 134.

Reihen sind also auch.

projektiv. Ganz ebenso gestaltet sich der Beweis für die beiden

andern oben genannten Reihenfolgen CDAB und DCBA.

Im Speziellen können die Reihen ABCD und A,B,C,D1 kongruent sein. Dann folgt, daß die vier Reihen ABCD, BADC, CDAB und DCBA untereinander projektiv

sind, also in perspektive Lage gebracht werden können.

191. Wir wenden uns jetzt wieder der Centralprojektion ebener Figuren zu, von der wir ausgegangen waren, um mit den gewonnenen Hilfsmitteln folgenden Satz zu beweisen.

Je zwei ebene Vierecke ABCD und В ̧Ñ‚Ð ̧ können in perspektive Lage gebracht werden.

Wir weisen zunächst nach, daß dies in einer Ebene möglich ist. Wird dann das eine

Viereck um die Perspektivitätsachse gedreht, so ergeben sich per

spektive Lagen der Vierecke im Raume.