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Die hier aufgeführten Eigenschaften genügen, um zu einer Figur ihr affines und affin gelegenes Bild zu konstruieren, wenn die Affinitätsachse a und ein Paar entsprechender Punkte P und P1 gegeben sind. In der That kann zu jedem gegebenen Punkte Q der entsprechende Q, bestimmt werden, indem man (Fig. 8) S = PQ × a sucht und SP1 mit der durch Q gelegten Parallelen zu PP, in Q, schneidet. Das Bild einer Geraden g ergiebt sich, indem man zu einem ihrer Punkte Q den Bildpunkt Q zeichnet und diesen mit Tgx a verbindet.

T

P

Fig. 8.

a

Die Figur läßt auch erkennen, daß parallelen Geraden PU und QT der einen Figur parallele Bilder PU und QT in

der anderen entsprechen. Um das Bild g, von g zu erhalten, kann man deshalb PU||g zeichnen, dann PU und g1|| P1U durch den Punkt ga = T' ziehen.

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Finden die unter a), B) und y aufgezählten Beziehungen zwischen zwei Figuren und F, statt, so wird durch eine beliebige Drehung um die Affinitätsachse a in eine räumliche Lage, übergeführt, bei welcher sie eine Parallelprojektion von & darstellt. Sind A, B zwei beliebige Punkte von 3, 4,, B, resp. A, B2 die entsprechenden Punkte von 3, resp. 2, so ist nur zu zeigen, daß F2, BB1⁄2 || A4, ist. Aber es ist einerseits 44|| BB1 und andererseits  ̧Ã1⁄2|| B ̧В2, als Sehnen der von A1 und B1 bei der Drehung beschriebenen Bogen. Es schneiden sich ferner AB und  in einem Punkt R der Achse a, durch diesen geht dann auch B2; denn ÁВ1 und AB, liegen in einer Ebene, da  ̧Â1⁄2 || BB2 ist. Somit liegen die Dreiecke A4,42 und BBB2 vom Centrum R aus ähnlich, so daß auch AA1⁄2|| BB2 sein muß.

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Eine Folge hiervon sind die Sätze:

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8) Parallelen Geraden entsprechen in der affinen Figur wieder parallele Gerade.

ε) Parallele Strecken verhalten sich wie ihre affinen Bilder.

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12. Die Konstruktion der entsprechenden rechten Winkel an zwei affinen Punkten P und P, erfolgt (Fig. 9) mit Hilfe eines Kreises durch P und P1, dessen Centrum M der Affinitätsachse a angehört. Schneidet dieser a in den Punkten X und Y, so sind XPY und XP1Y die ge

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suchten rechten Winkel. Ist P der in Bezug auf a zu P1 symmetrische Punkt, so ist LPPY = LPPY, weil die Bogen P1Y und PY gleich sind; der Strahl PY halbiert den PPP, PX den Nebenwinkel. Diese Bemerkung kann zur Konstruktion der Rechtwinkelstrahlen dienen, falls etwa M ausserhalb der Zeichnungsfläche liegt.- Symmetrisch zu PX (oder PY) gelegenen Punk

Fig. 9.

ten, z. B. Q und R, entsprechen symmetrisch zu P1X (oder P, Y) gelegene Punkte Q, und R.

13. Es giebt auch an P und P1 entsprechende, gleiche Winkel von jeder gegebenen Größe, die man in folgender Weise kon

struiert. Wir gehen von dem Fall aus, wo P und P1 auf derselben Seite der Affinitätsachse liegen (Fig. 10). Sei Q die Mitte von PP1 und QR PP, während Rauf a liegt. Dann ist ein Kreis k durch P und P1, also mit dem Centrum M auf QR, so zu bestim

men,

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daß XPY =

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R

M

k

P

Fig. 10.

a

XP1Y = q und somit MXY = R-q wird ( XMY=2q), wenn X und Y die Achsenschnittpunkte von k sind. Zieht man aus einem beliebig auf QR angenommenen Punkte M' den Strahl M'X' unter dem Winkel R gegen a und beschreibt um M' einen Kreis k' durch X',

so ist R das Ähnlichkeitscentrum für die Kreise k und k'. Man findet daher M, indem man RP, mit k' in P' schneidet und P1M||P1'M' zieht. Da RP, den Kreis k' in zwei Punkten schneidet, so giebt es zwei Lösungen, in der Figur ist jedoch nur eine gezeichnet. Werden die gegebenen affinen Punkte durch die Achse von einander getrennt, wie P und P„, so betrachte man statt des letzteren den symmetrisch zur Achse gelegenen Punkt P1; dann ist XPY = ≤ XP1Y.

14. Für jede Größe und Lage der Strecke PQ auf einer Geraden g hat, wenn PQ, die entsprechende Strecke auf der affinen Geraden g, ist, (nach 6) das Verhältnis:

2 = PQ : P1Q1

einen konstanten Wert, der sich auch nicht ändert, wenn g und damit zugleich g1 eine Parallelverschiebung erfährt. Zu jeder gegebenen Richtung (und der affinen) gehört also ein festes Streckenverhältnis λ. Dagegen entsprechen verschiedenen Richtungen verschiedene Werte 2; dabei sind die Richtungen, welche durch die Schenkel der entsprechenden rechten Winkel gegeben sind, vor allen übrigen ausgezeichnet. Dreht sich eine Gerade g (mithin zugleich die affine g,) um einen ihrer Punkte, so nimmt das ihrer Richtung zugehörige Streckenverhältnis λ in jedem der von den affinen Rechtwinkelstrahlen gebildeten Quadranten entweder beständig zu oder beständig ab, erreicht für symmetrische Lagen zu jenen Strahlen gleiche

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Es seien, um dies zu beweisen, XPY und XPY affine rechte Winkel (Fig. 11), ferner U und Virgend zwei aufeinander folgende Lagen eines von I nach Y auf der Affinitätsachse fortschreitenden Punktes. Wir wählen nun die Strecke XY als Maßeinheit, setzen XU = k, XV UY= = m, VY = = n und bezeichnen mit x, u, v, y resp.

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x1, u1, v1, y1 die von den Punkten X, U, V, Y einerseits und von P resp. P, andererseits begrenzten affinen Strecken. Sind nun PUU, PVV', P1UU", P1VV" rechtwinklige Dreiecke, so folgen die Relationen:

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= m, U'P:
': YP = UX: YX:

=

k, u. s. f.

Es ist jetzt zu zeigen, daß unter der Voraussetzung:

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besteht. Letzterer geben wir die neue Form:

(m2x2 + k2y2)(n2x12 + l2y12) — (n2x2 + l2y2)(n2x ̧2 + k2y13) > 0, und diese reduziert sich auf die Ungleichung:

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welche mit der Voraussetzung zusammenfällt, da (l2m2 - k2n3) positiv ist.

Die Ellipse als affine Kurve zum Kreise und ihre Konstruktion.

15. Jede zu einem Kreise affine und affin gelegene Kurve heißt heißt Ellipse; SO ist jede Parallelprojektion

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winkligen Kreisdurchmessern PP, QQ affin sind. Von zwei konjugierten Durchmessern einer Ellipse halbiert jeder die

ROHN u. PAPPERITZ. I. 2. Aufl.

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zum andern parallelen Sehnen und geht durch die Berührungspunkte der zum andern parallelen Tangenten. Denn das Gleiche ist bei den rechtwinkligen Durchmessern des affinen Kreises der Fall.

Dabei ist allerdings die zu einer Kreistangente affine Gerade als Ellipsentangente bezeichnet. Die Berechtigung hierzu erhellt aus der folgenden Überlegung. Wie jede Gerade g mit dem Kreise k zwei getrennte, zwei vereinte, oder keinen Schnittpunkt gemein hat, so hat auch jede Gerade g1 mit der Ellipse k1 wegen der Affinität zwei getrennte, zwei vereinte oder keinen Schnittpunkt gemein. Eine Kreistangente QT hat mit seiner Peripherie nur einen Punkt gemein und liegt ganz außerhalb derselben; das Gleiche tritt für die affine Gerade Q,7 in Bezug auf die Ellipse ein, und deshalb legen wir ihr die Bezeichnung einer Ellipsentangente bei (zum Unterschiede von den Sehnen). Man kann auch die Tangenten in Q resp. aus den Sehnen QS resp. QS, durch Drehung um Q resp. hervorgehen lassen, wobei S in demselben Moment mit Q1 zusammenfällt, wo dies S mit Q thut. Hier geht der Berührungspunkt der Tangente aus der Vereinigung zweier Schnittpunkte hervor.

A'

U

Die zu einander rechtwinkligen Durchmesser 4,4,' und B1B1' der Ellipse, welche gleichfalls rechtwinkligen Durchmessern AA' und BB' des Kreises entsprechen, heißen Achsen, ihre Endpunkte Scheitel. Die Achsen teilen die Ellipse in symmetrische Quadranten, denn sie halbieren die zu ihnen senkrechten Sehnen. Durchläuft ein Punkt P, die Ellipse, so nimmt die Strecke MP1 in jedem Quadranten entweder beständig zu, oder beständig ab und erreicht auf den Achsen ein Maximum oder Minimum (nach 14).

k

Β'

P

R

M

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B
T

S

A1

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Fig. 13.

A

α

Aus der gegebenen Definition ergeben sich Konstruktionen für Punkte, Tangenten, Achsen und konjugierte Durchmesser der Ellipse.

16. Aus einem Kreise

lassen sich durch Affinität (oder Parallelprojektion) unendlich viele Ellipsen ableiten, indem man noch die Affinitätsachse und den Mittel

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