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Die hier aufgeführten Eigenschaften genügen, um zu einer Figur ihr affines und affin gelegenes Bild zu konstruieren, wenn die Affinitätsachse a und ein Paar entsprechender Punkte P und P gegeben sind. In der That kann zu jedem gegebenen Punkte Q der entsprechende Q, bestimmt werden, indem man (Fig. 8) S = PQ × a sucht und SP mit der durch Q gelegten Parallelen zu PP in Q, schneidet. Das Bild einer Geraden g ergiebt sich, indem man zu einem ihrer Punkte Q den Bildpunkt Q, zeichnet und diesen mit T = g × a verbindet. Die Figur läßt auch erkennen, daß parallelen Geraden PU und QT der einen Fig. 8. Figur parallele Bilder P U und QT in der anderen entsprechen. Um das Bild g, von g zu erhalten, kann man deshalb PUg zeichnen, dann P U und g. | P U durch den Punkt g × a = T ziehen. Finden die unter ce), 3) und y aufgezählten Beziehungen zwischen zwei Figuren F und F statt, so wird F durch eine beliebige Drehung um die Affinitätsachse a in eine räumliche Lage F, übergeführt, bei welcher sie eine Parallelprojektion von F darstellt. Sind A, B zwei beliebige Punkte von F, A, B, resp. A, B, die entsprechenden Punkte von F resp. F, so ist nur zu zeigen, daß BB, AA, ist. Aber es ist einerseits AA | BB und andererseits A, A, B, B, als Sehnen der von A und B, bei der Drehung beschriebenen Bogen. Es schneiden sich ferner AB und A, B, in einem Punkt R der Achse a, durch diesen geht dann auch A, B,; denn A, B, und A, B, liegen in einer Ebene, da A, A, B, B, ist. Somit liegen die Dreiecke AA, A, und BB, B, vom Centrum J aus ähnlich, so daß auch AA, BB, sein muß. Eine Folge hiervon sind die Sätze: Ö) Parallelen Geraden entsprechen in der affinen Figur wieder parallele Gerade.

8) Parallele Strecken verhalten sich wie ihre affinen Bilder.

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12. Die Konstruktion der entsprechenden rechten Winkel an zwei affinen Punkten P und P erfolgt (Fig. 9) mit Hilfe eines Kreises durch P und P., dessen Centrum M der Affinitätsachse a angehört. Schneidet dieser a in den Punkten X und Y, so sind

z- XPY und Z XP Y die gesuchten rechten Winkel. Ist P' der in Bezug auf a zu P. symmetrische Punkt, so ist z, PPY = Z_ PPY, weil die Bogen P ) und PY gleich sind; der Strahl PY halbiert den z_ PPP, PX den Nebenwinkel. Diese Bemerkung kann zur Konstruktion der Rechtwinkelstrahlen dienen, falls etwa M ausserhalb der Zeichnungsfläche liegt. – Symmetrisch zu PX (oder PY) gelegenen Punk

T – – – – –

Fig. 9.

ten, z. B. Q und R, entsprechen symmetrisch zu PX (oder P Y) ge

legene Punkte Q und R.

13. Es giebt auch an P und

P entsprechende, gleiche

Winkel von jeder gegebenen Größe p, die man in fol

gender Weise konstruiert. Wir gehen von dem Fall aus, wo P und P auf derselben Seite der Affinitätsachse liegen (Fig. 10). Sei Q die Mitte von PP und QR L PP, während Zé auf a liegt. Dann ist ein Kreis k durch A und P, also mit dem Centrum M auf QZ, so zu bestimmen, daß Z_ XPY =

Fig. 10.

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so ist R das Ähnlichkeitscentrum für die Kreise k und k. Man findet daher Mindem man RP mit k’ in P schneidet und PM PM zieht. Da RP den Kreis k in zwei Punkten schneidet, so giebt es zwei Lösungen, in der Figur ist jedoch nur eine gezeichnet. Werden die gegebenen affinen Punkte durch die Achse von einander getrennt, wie P und P, so betrachte man statt des letzteren den symmetrisch zur Achse gelegenen Punkt P.; dann ist Z XP, Y= Z XP Y.

14. Für jede Größe und Lage der Strecke PQ auf einer Geraden g hat, wenn PQ, die entsprechende Strecke auf der affinen Geraden g ist, (nach 6) das Verhältnis:

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einen konstanten Wert, der sich auch nicht ändert, wenn g und damit zugleich g eine Parallelverschiebung erfährt. Zu jeder gegebenen Richtung (und der affinen) gehört also ein festes Streckenverhältnis . Dagegen entsprechen verschiedenen Richtungen verschiedene Werte 7.; dabei sind die Richtungen, welche durch die Schenkel der entsprechenden rechten Winkel gegeben sind, vor allen übrigen ausgezeichnet. Dreht sich eine Gerade g (mithin zugleich die affine g1) um einen ihrer Punkte, so nimmt das ihrer Richtung zugehörige Streckenverhältnis . in jedem der von den affinen Rechtwinkelstrahlen gebildeten Quadranten entweder beständig zu oder beständig ab, erreicht für symmetrische Lagen zu jenen Strahlen gleiche Werte und auf denselben ein Maximum resp. MiniII) U IYl. Es seien, um dies zu beweisen, z. XPY und Z XP Y affine rechte Winkel (Fig. 11), ferner U und Y irgend zwei aufeinander folgende Lagen eines von A nach Y auf der Affinitätsachse fortschreitenden Punktes. Wir wählen nun die Strecke XY als Maßeinheit, setzen XU = k., Fig. 11. XY = , UY = m, WY = n und bezeichnen mit r, u, v, y resp. r, u, v, y die von den Punkten X, U, Y, Y einerseits und von P resp. P. andererseits begrenzten affinen Strecken. Sind nun PUU, PY/, PUU, P. WY“ rechtwinklige Dreiecke, so folgen die Relationen:

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welche mit der Voraussetzung zusammenfällt, da (*m” – k”n”) positiv ist.

Die Ellipse als affine Kurve zum Kreise und ihre Konstruktion.

15. Jede zu einem Kreise affine und affin gelegene Kurve heißt Ellipse; so ist jede Parallelprojektion des Kreises eine ----Ellipse. Dem Mittelpunkt M des Kreises k (Fig. 12) entspricht der Mittelpunkt M der zum Kreiseaffinen Ellipse k. Jedem Kreisdurchmesser entspricht ein Durchmesser der Ellipse, der von ihrem Mittelpunkt M halbiert wird. Zwei schiefwinklige Durchmesser P P, Q, Q, der Ellipse heißen konjugiert, wenn sie zu zwei rechtwinkligen Kreisdurchmessern PP, QQ affin sind. Von zwei konjugierten Durchmessern einer Ellipse halbiert jeder die

RoHN u. PAPPERITz. I. 2. Aufl. 2

Fig. 12.

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zum andern parallelen Sehnen und geht durch die Berührungspunkte der zum andern parallelen Tangenten. Denn das Gleiche ist bei den rechtwinkligen Durchmessern des affinen Kreises der Fall. Dabei ist allerdings die zu einer Kreistangente affine Gerade als Ellipsentangente bezeichnet. Die Berechtigung hierzu erhellt aus der folgenden Überlegung. Wie jede Gerade g mit dem Kreise k zwei getrennte, zwei vereinte, oder keinen Schnittpunkt gemein hat, so hat auch jede Gerade g, mit der Ellipse k wegen der Affinität zwei getrennte, zwei vereinte oder keinen Schnittpunkt gemein. Eine Kreistangente QT hat mit seiner Peripherie nur einen Punkt gemein und liegt ganz außerhalb derselben; das Gleiche tritt für die affine Gerade Q, T in Bezug auf die Ellipse ein, und deshalb legen wir ihr die Bezeichnung einer Ellipsentangente bei (zum Unterschiede von den Sehnen). Man kann auch die Tangenten in Q resp. Q, aus den Sehnen QS resp. QS durch Drehung um Q resp. Q, hervorgehen lassen, wobei S, in demselben Moment mit Q, zusammenfällt, wo dies S mit Q thut. Hier geht der Berührungspunkt der Tangente aus der Vereinigung zweier Schnittpunkte hervor. Die zu einander rechtwinkligen Durchmesser A A und B, B, der Ellipse, welche gleichfalls rechtwinkligen Durchmessern AA und B B des Kreises entsprechen, heißen Achsen, ihre Endpunkte Scheitel. Die Achsen teilen die Ellipse in symmetrische Quadranten, denn sie halbieren die zu ihnen senkrechten Sehnen. Durchläuft ein Punkt P die Ellipse, so nimmt die Strecke J/P in jedem Quadranten g entweder beständig zu, oder beständig ab und erreicht auf den Achsen ein Maximum oder Minimum (nach 14). Aus der gegebenen Definition ergeben sich Konstruktionen für Punkte, Tangenten, Achsen und konjugierte Durchmesser der Ellipse. 16. Aus einem Kreise lassen sich durch Affinität (oder Parallelprojektion) unendlich viele Ellipsen ableiten, indem man noch die Affinitätsachse und den Mittel

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