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punkt von A, C, und e, es müssen sich also auch AA und CC schneiden, und in gleicher Weise schließt man, daß BB und CC. einen Schnittpunkt haben. Da die drei Geraden AA, BB, CC sich paarweise schneiden, so müssen sie entweder in der nämlichen Ebene liegen, oder sich in einem Punkte schneiden. Das erstere ist ausgeschlossen, sonst müßten die Dreiecke ABC und A, B, C, also auch F und F, in einer Ebene liegen, folglich geht CC durch 0 = AA, × BB. Das Centrum O liegt auf AA, ebenso 0 auf AA, und O, auf A2A, folglich liegen alle drei Centren auf der Ebene AA, A, desgleichen auf der zweiten Ebene BB, B, also in der Schnittlinie beider, durch welche auch die dritte Ebene CCC, gehen muß. 163. Als einen wichtigen Spezialfall des soeben bewiesenen Satzes heben wir folgenden hervor: Zwei perspektiv gelegene ebene Figuren bleiben in perspektiver Lage, wenn man die eine derselben um die Achse der Perspektive beliebig dreht. Die zu drehende Figur liegt nämlich zu der gedrehten affin (vergl. 10), d. h. perspektiv mit unendlich fernem Centrum.

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diese ist also par- T#

allel zur Sehne des Kreisbogens, den irgend ein Punkt der beweglichen Figur beschrieben hat. Wir wollen die Sache noch etwas genauer verfolgen und etwa die Originalebene E einer Drehung unterwerfen. Um die Lageveränderung des Perspektivitätscentrums besser zu überblicken, legen wir die Zeichenebene normal zur Achse e durch das Centrum O. Die beiden perspektiven Ebenen E und TI, die Achse e, Verschwindungslinie e, Fluchtlinie e... u. s. f. stellen wir dann durch ihre senkrechten Projektionen auf die Zeichenebene dar und setzen an diese die gleichen Buchstaben, welche die Elemente selbst bezeichnen (Fig. 124).

Die Originalebene E werde in ihrer neuen, durch Drehung um

Fig. 124.

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e, erhaltenen Lage mit EA, ihre Verschwindungslinie mit e” bezeichnet. Das neue Centrum 04 liegt dann in der Schnittlinie der beiden Ebenen, welche durch e... und eA respektive zu Eé und TT parallel gelegt werden können, und überdies wiederum in der Zeichenebene. Hieraus folgt, daß das Centrum eine Drehung um die Fluchtlinie e erleidet von gleichem Sinne und gleichem Drehwinkel wie E selbst um die Achse e.

164. Wird die Originalebene durch die Drehung mit der Bildebene zur Deckung gebracht, so gelangt auch das Perspektivitätscentrum O in die letztere und zwar, je nach dem Sinne der Drehung, entweder nach O, oder nach O" (Fig. 124). Dabei erhält die Verschwindungslinie e, entweder die Lage ero oder e”. Im ersteren Falle schließen in der Bildebene Centrum und Achse der Perspektive die Flucht- und Verschwindungslinie zwischen sich ein; im letzteren werden sie von diesen eingeschlossen. Jedesmal aber bleibt der senkrechte Abstand des Centrums von der Fluchtlinie dem der Verschwindungslinie von der Achse gleich. Derjenige Punkt C in der Originalebene E, welcher nachmals mit dem Centrum O% zur Deckung kommt, liegt auf dem Strahle OO%; im neuen Centrum fallen daher zwei entsprechende Punkte der Ebenen E und TT zusammen, was – von den Punkten der Achse abgesehen – für kein weiteres Paar entsprechender Punkte eintritt. Analoges gilt bei umgekehrtem Drehsinn für C“ und O".

165. Hier ist noch der Ort darauf hinzuweisen, daß bei einer Pyramide jedes ebene Schnittpolygon zum Basispolygon perspektiv liegt; die Spitze der Pyramide ist das Centrum, ihre Kanten sind die projizierenden Strahlen und die Schnittlinie von Basis- und Schnittebene ist die Achse dieser perspektiven Beziehung. Aus dem vorher Gesagten geht auch hervor, daß die Projektion des Schnittpolygons auf die Basisebene mit dem Basispolygon perspektiv liegt, und zwar bildet die Projektion der Spitze das zugehörige Centrum. Auch bei der Umlegung des Schnittpolygons um die Spur seiner Ebene in die Basisebene bleibt die perspektive Beziehung zwischen diesem und dem Basispolygon bestehen. Ihr Centrum erhält man, wenn man durch die Spitze der Pyramide zur Schnittebene eine Parallelebene zieht und diese um ihre Spur in die Basisebene umlegt, dabei gelangt die Spitze in die Lage des neuen Centrums. Alle diese Dinge sind nach dem Vorausgehenden unmittelbar klar.

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Perspektive in der Ebene.

166. Nach 164 sind wir mittelbar zu dem Begriffe perspektiver Figuren derselben Ebene, also zur Perspektive (Centralprojektion) in der Ebene gelangt, die noch genauerer Erörterung bedarf. Es sollen jetzt in einer Ebene zweierlei Figuren betrachtet werden, die wir als Original und Bild unterscheiden, und die einander Punkt für Punkt nach folgenden Gesetzen entsprechen: a) Die Verbindungslinien entsprechender Punkte gehen durch einen festen Punkt O, das Centrum. 3) Drei Punkten in gerader Linie entsprechen drei Punkte in gerader Linie. y) Jeder Punkt einer festen Geraden e, der Achse, entspricht sich selbst. Hieraus folgt sofort: Ö) Entsprechende Strahlen schneiden sich auf der Achse en; jeder Strahl durch das Centrum 0 entspricht sich selbst und mithin gilt das Gleiche vom Centrum selbst. Eine solche Verwandtschaft zwischen zweierlei Figuren wird als Centralkollineation oder Perspektive in der Ebene bezeichnet. Indem wir zeigen, daß zwei centrisch-kollineare oder perspektive Figuren einer Ebene durch Drehung der einen um die Achse der Perspektive in eine räumliche Lage übergeführt werden können, bei welcher die eine als Centralprojektion der andern erscheint, wird erwiesen, daß die vorstehenden Gesetze zwischen zwei Figuren einer Ebene die nämliche geometrische Beziehung feststellen, wie sie in 164 zwischen Original- und Bildebene bestehen, die zur Deckung gebracht sind. 167. Nun seien F und F, perspektive Figuren einer Ebene und O das zugehörige Centrum. Ferner möge Fo aus F durch Drehung um die Achse e der Perspektive hervorgegangen sein. A, B, C, D, seien beliebige Punkte der Figur F, A, B, C, D die entsprechenden Punkte von F, und Ao, B, C, Do die bezüglichen Punkte der gedrehten Figur F„ Da sich A, B und AB auf e schneiden und mithin auch A, B und A, B, so liegen diese Punkte in einer Ebene; in gleicher Weise liegen B, C und B,C, in einer zweiten und CA und C 4, in einer dritten Ebene. Diese drei Ebenen schneiden sich in einem Punkte 0, in dem sich auch die drei Strahlen A, A, B, B, und CC treffen. Ist jetzt D, ein beliebiger Punkt von F, so ziehen wir D, A, und D, B,; sodann verbinden wir D, A, × e mit A und D B × e, mit B; beide Gerade schneiden sich im Punkte D von F, woraus man durch Drehung Do erhält. Wiederum liegen die vier Punkte A, B, A, B, resp. B, D, B„Do, resp. A, D, A, D, je in einer Ebene und die drei Strahlen A, A, B, B, und D, D, laufen durch einen Punkt. Da aber A, A, x B Bo = 0% ist, geht auch D, Do durch diesen Punkt hindurch, d. h. der beliebige Punkt D, von F liegt mit dem entsprechenden Punkte Do von Fo auf einem Strahle durch O%. Beide Figuren F und Fo sind somit perspektiv aus dem Punkte O%. 168. Wir hatten in 164 gesehen, wie man aus zwei perspektiv gelegenen Figuren, die sich in verschiedenen Ebenen befinden, durch Drehung zwei centrisch-kollineare oder perspektive Figuren einer Ebene erhalten kann. Dieser Übergang gestattet auch die Eigenschaften centrisch-kollinearer oder perspektiver Figuren einer Ebene abzuleiten. Es müssen sich diese Eigenschaften jedoch auch aus der Definition der Centralkollineation ergeben, und dieser Gedanke soll noch mit wenigen Worten etwas näher ausgeführt werden (Fig. 125). Zunächst ist klar, daß das Centrum O, die Achse e, und ein Paar entsprechender Punkte A und A, die auf einem Strahle durch O liegen, die perspektive Beziehung in der Ebene völlig bestimmen. Zu einem beliebigen Punkte B erhält man ja das zugehörige Bild B, indem man AB=g mit e in G schneidet und die Gerade G1A = g1 zieht, auf welcher der Strahl OB dann den Bildpunkt B ausschneidet. Zieht man durch O einen Strahl parallel zu g, so schneidet er die Bildgerade g, im Fluchtpunkt G., dem Bilde des unendlich fernen Punktes von g. Zieht man durch O einen Strahl parallel zu g, so schneidet er auf g den Verschwindungspunkt G„ aus, dem ein unendlich fernes Bild zugehört. Mit anderen Worten: Das Bild einer Geraden g geht durch ihren Achsenschnittpunkt G und ist zur Verbindungslinie G„O ihres Ver

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Fig. 125.

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schwindungspunktes mit dem Centrum parallel. Ebenso geht das Original zu einer Geraden g, durch ihren Achsenschnittpunkt G. und ist zur Verbindungslinie G„O ihres Fluchtpunktes mit dem Centrum parallel.

169. Ferner ergiebt sich, daß die Fluchtpunkte auf allen Bildgeraden durch eine Gerade e... ausgeschnitten werden, die zur Achse e parallel ist. Ebenso schneidet eine zur Achse parallele Gerade e, auf allen Originalgeraden die Verschwindungspunkte aus. Die Gerade e... heißt wieder Fluchtlinie und ist das Bild der unendlich fernen Geraden des Originalsystems, während der unendlich fernen Geraden im Bildsystem die Gerade e, als Verschwindungslinie entspricht. Zum Beweise wähle man noch ein Paar entsprechender Geraden h und h, (Fig. 125), die sich in einem Punkte II, der Achse e schneiden, und suche wie vorher den Verschwindungspunkt H und den Fluchtpunkt H„(OH h, OH, h). Dann sind die Dreiecke AGA, und AG,0 ähnlich; also: GA: G„A = A A: OA; ebenso kommt: HA: HA = A A: OA; demnach müssen G H = e. und G„H = e, parallel sein, da sie auf g und h proportionale Stücke abschneiden. In gleicher Weise erschließt man den Parallelismus von e... und e.

Die Verschwindungslinie e und die Fluchtlinie e... werden auch als die Gegenachsen von Original und Bild bezeichnet; ebenso spricht man von den Gegenpunkten G. und G. einer Geraden und ihres Bildes.

170. Es mag noch erwähnt werden, daß die Perspektive in der Ebene auch durch Angabe des Centrums, der Achse und einer Gegenachse bestimmt ist. Denn indem man an Stelle Zweier entsprechender Punkte eine Gegenachse einführt, wird ihrem Schnittpunkt mit irgend einer Geraden der Punkt zugeordnet, welcher auf der Verbindungslinie des ersteren mit dem Centrum unendlich fern liegt.

171. Wichtig für das Folgende sind die beiden unmittelbar aus der Fig. 125 zu entnehmenden Beziehungen: Das Bild einer Geraden schneidet die Fluchtlinie unter dem gleichen Winkel p, wie der Strahl aus dem Centrum nach dem Verschwindungspunkt die Verschwindungslinie, und andererseits: Eine Gerade schneidet die Verschwindungslinie unter dem gleichen Winkel p, wie der Strahl aus dem Centrum nach dem Fluchtpunkt die Fluchtlinie.

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