Abbildungen der Seite
PDF
EPUB

Sturz ist durch ein einfaches Gesims verdacht. gewände tritt ein wenig aus der Wandfläche hervor.

=

Das Fenster

Die Lichtrichtung ist durch und " gegeben (l'x = 45° Ll'x 60°). Die schrägen Flächen des Gesimses liegen im Eigenschatten, auf den vertikalen Flächen liegen horizontale Streifen im Schlagschatten. Man geht zu ihrer Bestimmung etwa von einem Punkte K aus und sucht wie im vorigen Beispiele K* auf der vertikalen Kante der Leibung (K"K* ||1"). Um den Schlagschatten des Gesimses, der Sohlbank und der Konsole auf der Wandfläche zu finden, die im Grundriß durch die Linie w vertreten ist, bestimmt man von einzelnen Eckpunkten die Schatten, z. B. von J, indem man J''J* || 1'', J'J*' || l' zieht (J* auf w, J*J* L x) und beachtet, daß die Schatten der vertikalen Kanten wiederum vertikal,

[graphic][subsumed][ocr errors][ocr errors][subsumed][subsumed][subsumed][ocr errors][merged small]

die der horizontalen Kanten aber entweder parallel zu z oder zu l" sind. Die Schmiege am Sturz liegt im Eigenschatten, auf den beiden Schmiegenflächen der Leibungen entstehen oben zwei kleine drei

eckige Schlagschatten. Nach diesen Andeutungen ist es leicht, die Schattenkonstruktion in allen Einzelheiten durchzuführen.

156. Als letztes Beispiel mag die Bestimmung des Schattens dienen, den ein Schornstein auf eine geneigte Dachfläche wirft (Fig. 121).

"

*

* *

=

[ocr errors]

*

*

Die Richtung der Lichtstrahlen ist hier so gewählt, daß l'x = 60o, l'x 45° und folglich ""x = 30° ist. Man benutzt zweckmäßig den Seitenriß (was auch schon bei den vorhergehenden Beispielen geschehen konnte). Den Schatten 4 eines Eckpunktes A am Essenkopf findet man dann, indem man durch A', A", A"" Gerade resp. parallel zu l', l", 7""' zieht, und zwar letztere bis zu 4′′ auf der Seitenspur der Dachfläche. Dann ist AA‚ ̧′′ || x und A′′A 1 x. Liegt der betrachtete Eckpunkt auf einer vertikalen Kante, deren Durchstoßpunkt mit der Dachfläche gezeichnet ist, so findet man durch dieses Verfahren zugleich die Richtung, welche die Schatten der Vertikalen auf die Dachfläche im Aufriß zeigen; im Grundriß sind sie parallel zu l'. Man beachte noch, daß die Schatten horizontaler Kanten im Aufriß teils zu x, teils zu l" parallel liegen; im Grundriß sind sie teils parallel zu x, teils haben sie eine schiefe Richtung, die sich aus dem Vorigen ergiebt. Die hintere Dachfläche liegt vollständig im Eigenschatten. Auch wirft die Deckplatte des Schornsteins auf seine Seitenflächen einen Streifen von Schlagschatten.

VIERTES KAPITEL.

Perspektivität ebener Figuren. Harmonische Gebilde. Centralprojektion einer Ebene auf eine andere Ebene.

157. Es seien im Raume zwei Ebenen Е und П und außerhalb beider ein Punkt O willkürlich festgelegt. Zieht man aus O durch alle Punkte einer in E angenommenen Figur Strahlen, so schneiden diese die Ebene П in einer zweiten Figur, welche der gegebenen eindeutig Punkt für Punkt entspricht. Dieses Abbildungsverfahren heißt Centralprojektion oder Perspektive, der Punkt

O das Projektionscentrum oder Centrum der Perspektive, die Schnittlinie e, der Originalebene E mit der Bildebene П die Projektionsachse oder Achse der Perspektive.") Die einander entsprechenden Figuren werden kurz als perspektiv be

[blocks in formation]

lichkeit ebener Figuren. Die perspektive Lage geht über in die ähnliche, wenn die Bildebene zur Originalebene parallel wird, was zur Folge hat, daß die Projektionsachse ins Unendliche rückt; sie geht über in die affine Lage, wenn die projizierenden Strahlen parallel werden, also das Projektionscentrum ins Unendliche fällt. Macht man beide Annahmen gleichzeitig, so ergeben sich kongruente Figuren; solche stellen sich auch bei affiner Lage ein, wenn die projizierenden Strahlen zu einer der beiden Ebenen normal sind, welche die Winkel zwischen Original- und Bildebene halbieren. Affine, ähnliche und kongruente Figuren sind somit als spezielle Fälle perspektiver Figuren anzusehen, wenn sie sich in affiner oder ähnlicher Lage befinden.

159. Die durch O parallel zu E und ПT gelegten Ebenen mögen П und E in den Geraden e und e, (beide parallel zur Achse e) schneiden (Fig. 122). Bewegt sich in E ein Punkt P auf der Geraden g nach der einen oder anderen Seite ins Unendliche, so dreht sich der projizierende Strahl OP in der Ebene Og um O im entsprechenden Sinne und nähert sich beide Male der nämlichen Grenz

[ocr errors]
[ocr errors]

lage OG, die durch O parallel zu g gezogen ist. Der Spurpunkt G dieser Geraden in П liegt auf e; er kann als das Bild des auf 9 ins Unendliche fliehenden Punktes aufgefaßt werden und heißt darum der zu g gehörige Fluchtpunkt. Offenbar gehört er ebenso als Fluchtpunkt zu allen Geraden, die mit g parallel laufen; denn flieht ein Punkt auf einer solchen Parallelen ins Unendliche, so strebt der zugehörige projizierende Strahl stets der gleichen Grenzlage OG zu. Der Gesamtheit aller unendlich fernen Punkte der Ebene E entspricht in TT die eine bestimmte Gerade die Fluchtlinie der Ebene E. Umgekehrt verschwindet das Bild des Schnittpunktes G, der Geraden g mit e, d. h. es liegt auf g1 unendlich fern; G, heißt darum der Verschwindungspunkt von g. Die Gerade e, selbst, deren Bild ins Unendliche fällt, heißt die Verschwindungslinie der Ebene E. Allen zu g parallelen Geraden der Ebene E entsprechen in П alle Gerade durch den Punkt G der Fluchtlinie e, und allen Geraden der Ebene E durch den Punkt G. der Verschwindungslinie e entsprechen in П die Parallelen zu g1.

[ocr errors]

υ

160. Das angegebene Verhalten der unendlich fernen Punkte einer Geraden oder einer Ebene gegenüber der Centralprojektion, nämlich der Umstand, daß sie nur in einem einzigen Punkt oder einer einzigen Geraden abgebildet werden, begründet die Ausdrucksweise, nach welcher einer Geraden nur ein unendlich ferner Punkt (Richtung) zugeschrieben wird, den sie mit allen parallelen Geraden gemein hat, und einer Ebene nur eine unendlich ferne Gerade (Stellung), die ihr mit allen Parallelebenen gemeinsam ist. Erst auf Grund dieser Erklärung dürfen wir das umkehrbar eindeutige Entsprechen zwischen den Punkten und Geraden der Originale bene und den Punkten und Geraden der Bildebene als ein ausnahmslos geltendes Grundgesetz der Centralprojektion betrachten. Im Verfolg dieser perspektiven Betrachtungsweise hat man eine Gerade als geschlossene Linie aufzufassen, weil ein Punkt, der sie beschreibt, sich demselben unendlich fernen Punkte nähert, gleichviel in welchem Sinne er sich bewegt.

161. Für die Centralprojektion von E auf П kann, wenn die Lage dieser Ebenen zu einander fixiert ist, die Angabe des Projektionscentrums O offenbar durch die zweier entsprechender Punktepaare A, B und 4,, B, ersetzt werden, deren Verbindungslinien AB und AB, sich auf der Achse e1 = E × π

schneiden. Es liegen dann A1 und BB1 in einer Ebene und bestimmen O als ihren Schnittpunkt.

162. Gehen die Ebenen dreier Figuren F, F1, F2 durch eine und dieselbe Achse e, und sind zwei derselben & und F1 zur dritten 2 perspektiv, so sind sie es auch untereinander. Die drei Centren liegen in gerader Linie. Die Perspektivitätscentren, O2 für F2 und F sowie O1 für F2 und F1,

2

[blocks in formation]

2

denke man sich mittels eines Punktepaares 2, B2 und der ihm entsprechenden Paare A, B und 41, B1 bestimmt (Fig. 123). Dann ist zu zeigen: erstens daß die Geraden A4, und BB, einen Schnittpunkt O bestimmen, zweitens daß auch die Gerade CC, durch O geht, wenn dem beliebigen Punkte C2 von 2 die Punkte C1 von F1 und C von entsprechen. Nun gehen durch den Schnittpunkt von A, B2 und e auch die Geraden AB und 4В1 und somit liegen auch A1 und BB1 in einer Ebene und schneiden sich in einem Punkte 0. Ganz ebenso gehen AC und 411 durch den Schnitt

1

« ZurückWeiter »