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ist. Die Konstruktion läßt sich auch in der Weise ausführen, daß man eine horizontale Hilfsebene durch die Spitze S benutzt. E besitzt dann die Hilfsspur e | e und die Seitenfläche SAB die Hilfsspur SQ A B und es ist JK die Verbindungslinie des Punktes e, × AB mit e, × SQ; analog konstruiert man KL etc. Endlich könnte man bei der Konstruktion wieder eine Hilfsebene Le, wählen und würde dann wie bei den vorausgehenden Aufgaben verfahren.

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Um das Netz zu zeichnen, legt man die Schnittflächen um ihre Basislinien nieder, also SAB um AB, SBC um BC, etc.; so entsteht So AB und J„K, und es ist JK × J„K = A B × e etc. Das Polygon JKLMN legt man um die Spur e in TT, nieder. 144. Den Stumpf einer vierseitigen Pyramide zu zeichnen, wenn das Basisviereck, sowie der Neigungswinkel a der Schnittfläche gegen die Basis gegeben sind, und die Schnittfläche ein gegebenes Parallelogramm ist. Um eine vierseitige Pyramide mit dem Scheitel S und dem Grundviereck ABCD in einem Parallelogramm JKLM zu schneiden, muß man die Schnittebene parallel den Geraden SU = SAB × SCD und SY= SBC × SDA wählen (Fig. 113). Der Schnittpunkt von JK (in SAB) und LM (in SCD) muß nämlich auf SU liegen, und da JK LM, so folgt weiter JK SU LM. Die Seiten des Parallelogramms JKLM sind paarweise den Geraden SU und SV parallel.

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Die Diagonalen JL und KM des Parallelogramms müssen in den Ebenen SAC resp. SBD gelegen sein, also muß JL SY und KM SX sein, wo SY= SAC × SUV und SX = SB D × SUV ist. Hiernach läßt sich nun die Konstruktion leicht durchführen. Mit ABCD ist auch U, W, X und Y bekannt. Denken wir uns die Ebene SUY um UY in TT, umgelegt, so bestimmt sich S" dadurch, daß z . US"Y= z_J KL. und z_ WS"X = z. L K M ist; S" erscheint also als Schnittpunkt zweier Kreise, die über den Sehnen UY und YX resp. beschrieben sind und die bezüglichen Winkel als Peripheriewinkel über diesen Sehnen fassen. Mit Hilfe einer Ebene TI, LUY drehen wir jetzt S"UY um UY, bis dieses Dreieck mit TT, den gegebenen Winkel a einschließt, dann ist S (S, S“) die Spitze einer Pyramide, von der der gesuchte Pyramidenstumpf ein Teil ist. In der That schneidet jede zu USY parallele Ebene aus dieser Pyramide ein Parallelogramm, welches zu dem gegebenen J K L M ähnlich ist. Legt man nun noch die Seitenfläche SAB um AB in TT um, so bestimmt sich J„Ko in ihr dadurch, daß J„K, = J, K und J„K S„U ist; dadurch ergiebt sich dann sofort J'K“ und somit das Parallelogramm und die Spur der Schnittfläche in der Basisebene. Die Aufgabe: eine abgestumpfte vierseitige Pyramide zu zeichnen, wenn die Vierecke in der Grund- und in der Schnittfläche, sowie der Neigungswinkel a dieser beiden Flächen bekannt sind, läßt sich ähnlich behandeln, doch ist hierbei auf die Darlegungen des folgenden Kapitels zu verweisen. Man bringt nämlich beide Vierecke auf der nämlichen Ebene in perspektive Lage und dreht dann die Ebene des einen Vierecks um die Achse der Perspektivität, bis sie mit der anderen Ebene den Winkel de einschließt; schließlich hat man nur noch die entsprechenden Ecken der beiden Vierecke zu verbinden.

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Durchdringung zweier Vielflache.

145. Zwei Vielflache schneiden sich – falls sie überhaupt ineinander eindringen – in einem oder mehreren räumlichen Vielecken, deren Eckpunkte auf den Kanten der Vielflache liegen und in deren Seiten sich die Flächen beider durchschneiden. Die Seite eines Durchdringungspolygons verbindet entweder zwei Kanten des nämlichen Vielflachs oder eine Kante des einen Vielflachs mit einer des anderen. Im ersteren Falle müssen beide Kanten der nämlichen Seitenfläche angehören und die nämliche Fläche durchstoßen, im zweiten Falle muß jede der beiden Kanten eine Fläche durchstoßen, welche von der anderen begrenzt wird. Besteht die ganze Durchdringungsfigur aus einem einzigen Polygon, so sagt man, daß die Vielflache ineinander eindringen, oder daß das eine ein Stück aus dem anderen ausschneide; bildet sie dagegen mehrere Polygone, so sagt man, das eine Vielfach durchdringe das andere.

Eine Seite der Durchdringungsfigur ist sichtbar, sobald sie in zwei sichtbaren Flächen gelegen ist, wenn man jedes Vielflach für sich allein betrachtet, in allen anderen Fällen ist sie un

sichtbar. Eine Seite ist demnach stets unsichtbar, wenn einer ihrer Endpunkte auf einer unsichtbaren Kante eines Vielflachs liegt; sie kann aber auch unsichtbar sein, wenn sie zwei sichtbare Kanten verbindet, die dann entweder dem gleichen Vielfach angehören müssen, oder von denen eine auf dem scheinbaren Umriß liegen muß. Um die Durchdringungsfigur zu konstruieren, kann man die Seiten des einen Vielflachs mit denen des anderen zum Schnitt bringen, man erhält so die Seiten dieser Figur, deren Ecken sich auf den unverlängerten Kanten der Vielflache befinden müssen (Flächenverfahren). Man kann aber auch die unverlängerten Kanten jedes der beiden Vielflache mit den Seiten des anderen schneiden, wodurch sich die Ecken der Durchdringungsfigur ergeben. Es sind dann diese Ecken in solcher Folge zu verbinden, daß je zwei aufeinanderfolgende Ecken bei beiden Vielflachen in der nämlichen Seite liegen (Kanten verfahren). Das letztere wird gewöhnlich angewendet. 146. Die Durchdringung eines Würfels mit einem Tetraëder zu zeichnen (Fig. 114). Eine Diagonale des Würfels soll auf TT senkrecht stehen. Um ihn in dieser Lage zu zeichnen, gehen wir von einer speziellen Lage aus, wobei die Würfelseite ABC, D, in TT, liegt und drehen den Würfel um die Gerade a (a LAC), bis seine Diagonale AC zu TT, senkrecht wird. Hierzu benutzen wir, wie bekannt, eine zu a senkrechte Hilfsebene als Seitenriß; daraus ergeben sich Grund- und Aufriß des Würfels. Das Tetraëder mag durch seine Projektionen gegeben sein. Wir wenden das Kantenverfahren an. Die erste projizierende Ebene durch GH schneidet die Würfelseite BB, CC in der Geraden KL und es ist G“H“ × K“ L“ = 1“ ein Eckpunkt des Durchdringungspolygons. Die Kante GH durchdringt ferner die Seite AA, B, B im Punkte 10. Ganz in gleicher Weise sind auf den übrigen Kanten des Tetraëders, sowie auf denjenigen des Würfels die Durchstoßpunkte zu bestimmen. Natürlich werden nicht alle Kanten an der Durchdringung teilnehmen und um sich keine überflüssige Mühe zu machen, wird man am besten in der folgenden Weise vorgehen. Ist eine Ecke des Durchdringungspolygons, etwa 1 = GH × B B, CC gefunden, so ist seine Seite 1, 2 = GHF × BBCC; der Eckpunkt 2 muß also auf einer Kante der einen oder anderen Seitenfläche liegen. Wir können nun irgend eine Kante der einen Fläche mit der anderen zum Schnitt bringen; befindet sich dieser Schnittpunkt auf der Kante und der Fläche selbst, so ist er der Punkt 2, liegt er dagegen auf der Verlängerung der Kante oder Fläche, so befindet er sich auf der Verlängerung von 1, 2. Gleichwohl ist hierdurch die Richtung der Seite 1, 2 und damit offenbar auch der Eck

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punkt 2 gefunden, der auf der Berandung der einen und im Innern der anderen Fläche gelegen sein muß. So würden wir, wenn wir in der Figur die Kante CC benutzt hätten, direkt den Punkt 2 gewonnen haben, während wir bei Benutzung der Kante HF zu

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