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Ebene Schnitte und Netze von Vielflachen, insbesondere Prismen und Pyramiden.

139. Ist ein ebenflächiger Körper durch seine Projektionen gegeben und soll man einen ebenen Schnitt durch ihn legen, so geht man meist von der Bestimmung der Ecken des Schnittpolygons aus; in speziellen Fällen ist es möglich, sogleich die Seiten desselben zu zeichnen.

Um nun auf einer Polyëderkante JK ihren Schnittpunkt S mit der gegebenen Ebene E zu finden, benutzt man am besten zwei in

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a"

E gelegene parallele Gerade, etwa zwei Hauptlinien a||b||T1. Man denke sich (Fig. 109) durch JK eine vertikale Hilfsebene, die a und b in P und Q resp. schneiden mag, dann ist: J"K" × P"Q"S". Auf diese Weise findet man alle Ecken des Schnittpolygons. Von den Polyëderkanten sind natürlich nur die zu benutzen, die unverlängert die Ebene E wirklich treffen.

Um die wahre Gestalt der Seitenflächen und der Schnittfläche des Körpers zu bestimmen, muß man ihre Ebenen zu einer Tafel parallel drehen (85) oder in die Tafel umlegen (80). Hierbei genügt es, die Endlage einer Ecke

des betreffenden Polygons durch die Drehung zu bestimmen; die übrigen ergeben sich aus der Affinität, die zwischen seiner Projektion und Umlegung besteht. Legt man alle Seitenflächen eines Polyëders in einer Ebene nebeneinander, so daß jede mit der vorhergehenden eine Kante gemein hat, so erhält man ein Netz des Vielflachs.

Statt der Polyëderkanten kann man zuweilen direkt die Polyëderflächen mit der Ebene E schneiden und erhält so die Seiten des Schnittpolygons. Die weiteren Beispiele zeigen die Anwendung dieses Verfahrens auf Prismen und Pyramiden.

140. Eine prismatische Fläche wird von einer Geraden beschrieben, die an einem ebenen (offenen oder geschlossenen) Polygon so hingleitet, daß sie beständig die gleiche Richtung beibehält. Das Polygon heißt Leitlinie, die bewegliche Gerade wird im allgemeinen Erzeugende, im besonderen, wenn sie durch eine Ecke des Polygons geht, Kante genannt. Zwei parallele Ebenen schneiden die prismatische Fläche in kongruenten Polygonen, der von ihnen begrenzte Körper heißt Prisma. Jene Polygone heißen die Grundfläche oder Basis resp. die Endfläche, die übrigen Flächen (Parallelogramme) die Seitenflächen des Prismas. Stehen die Kanten senkrecht auf der Basis, so heißt das Prisma gerade, sonst heißt es schief. Der Abstand zwischen der Grund- und Endfläche heißt die Höhe.

Eine pyramidale Fläche entsteht, wenn eine Gerade an einem ebenen Polygon so hingleitet, daß sie dabei beständig durch einen festen Punkt geht. Das Polygon heißt wieder Leitlinie, die bewegliche Gerade wieder Kante oder Erzeugende, je nachdem sie durch eine Ecke des Polygons verläuft oder nicht; den festen Punkt nennt man Spitze oder Scheitel. Parallele Ebenen schneiden die Fläche in ähnlichen und ähnlich gelegenen Polygonen resp. Polygonstücken. Die pyramidale Fläche besteht aus zwei symmetrischen sich im Scheitel gegenüberstehenden Flächenteilen. Eine Ebene schneidet eine solche Fläche in einem Polygon, oder in mehreren Polygonstücken, je nachdem eine Parallelebene durch den Scheitel nur diesen selbst oder mehrere Erzeugende enthält.

Der von einer Ebene und einer pyramidalen Fläche begrenzte Körper heißt Pyramide. Erstere wird Grundfläche, die übrigen Flächen (Dreiecke) werden Seitenflächen genannt. Unter der Höhe der Pyramide versteht man das von der Spitze auf die Basisfläche gefällte Lot.

141. Ein reguläres Prisma, dessen Basis und Achse. gegeben ist, zu zeichnen, sowie einen ebenen Schnitt desselben und das Netz des einen Teiles anzugeben (Fig. 110).

Bei einem regulären Prisma ist die Grundfläche ein reguläres Polygon und die Kanten stehen auf ihr senkrecht; die Verbindungslinie der Mittelpunkte der Grund- und Endfläche heißt die Achse, und ist offenbar zu den Kanten parallel. Sei JK die Achse und ABCDE das um die Hauptlinie ʼn der Grundebene zu П1 parallel gedrehte reguläre Polygon, so benutze man eine vertikale Hilfsebene durch JK und drehe sie parallel П, um die Hauptlinie JL. Die mit der Hilfsebene gedrehte Achse des Prismas ist dann JK;

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die Projektion von ABC.DE auf die Hilfsebene fällt mit JK', diejenige von ABCDE mit ADA zusammen, wo ADA 1 JKA und J'A▲ = (A。 − h). Aus der Hilfsprojektion des Basispolygons ergeben sich aber sofort sein Grund- und Aufriß (Ẩ′ || h' und  ̧Ã' 1 h' etc., A¡A′ = (A′′ – J"L") etc.). Hierauf lassen sich die Projektionen des Prismas leicht vervollständigen.

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Ist die Schnittebene E durch ihre Spuren e, e2 gegeben, so zeichne man zunächst in ihr eine Hauptlinie ¿. Die Vertikalebene in B'M' schneidet E in der Geraden FG; R" ist also der Aufriß der auf BM gelegenen Ecke des Schnittpolygons. Hiernach lassen sich die Projektionen dieses Polygons QRSTU angeben; denn es ist H"S" || F"G" und He, X C'N' etc. Um seine wahre Größe QRSTU zu finden, legen wir es um die Spur e, in П, um; dabei ist

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QoQ" 1 e, und QX ist die Hypotenuse eines Dreiecks mit den Katheten Q"X und (Q'x). Zur Bestimmung der übrigen Punkte kann man auch die Affinität von Q"R"S"T"U" und Q。RSTU benutzen.

Um das Netz des einen Stückes des Prismas mit der Grundfläche ABCDE und der Endfläche QRSTU zu zeichnen, braucht man nur zu bedenken, daß die Seitenflächen Trapeze sind, deren Seiten man kennt. Im Trapez ABRQ ist AB = AB。, QR = Q。R。, AQAQ und ▲ ABR = L BAQ= R; ferner ist: AQ: BR: CS: DT: EU = A"Q" : B"R" : C"S" : D"T": E" U". In der Figur ist AQ1 = 2 A"Q" und QQAE gewählt; ist dann ebenso AR1 = 2 A"R", etc., so muß auch R1R || AE sein, etc. Es mag noch erwähnt werden, daß auch die Fünfecke ABCDE und QRSTU affin sind, die Affinitätsachse ist die Schnittlinie ihrer beiden Ebenen, auch die Projektionen sind infolgedessen affin.

142. Von einem schiefen Prisma soll das Netz entwickelt werden (Fig. 111). Seine Grundfläche ABCD mag in der Horizontalebene liegen und die Projektionen der Kante AK mögen gegeben sein, dann lassen sich die Projektionen des Prismas direkt zeichnen. Um das Netz zu bestimmen verfährt man am besten so, daß man einen Schnitt senkrecht zu den Kanten ausführt und dessen wahre Größe sucht. Dazu benutze man eine zu den Kanten parallele Vertikalebene als Seitenrißebene und zeichne den Seitenriẞ des Prismas. Die Ebene des Normalschnittes hat die Spuren e̟1 1 A'K', e̟, 1 A′′K", eg 1 A""K" und der Seitenriß des Schnittpolygons fällt mit e zusammen, woraus sich auch seine anderen Projektionen ergeben. Um die wahre Größe von LMNO zu finden, legt man dieses Viereck um e, in П1 nieder, was mit Hilfe des Seitenrisses in bekannter Weise geschieht. Die Vierecke ABCD, L'M'N'O', und L.M.NO, sind affin, e, ist für alle drei die gemeinsame Affinitätsachse.

Schneidet man die prismatische Fläche längs einer Kante auf und breitet sie in eine Ebene aus, so werden alle Kanten parallel und die Seiten des Normalschnittes bilden Stücke einer dazu senkrechten Geraden. Hiernach kann man das Netz zeichnen, indem man die Teilstücke der Kanten aus dem Seitenriß direkt entnehmen kann. In der Figur ist nur das Netz des einen Stückes des Prismas entworfen.

Handelt es sich nur um das Netz, so kann man die Projektionen des Normalschnittes fortlassen, da alsdann die Konstruktion. seiner wahren Gestalt LMNO, genügt. Wollte man einen schiefen

Schnitt zeichnen, so könnte man ganz wie vorher beim geraden

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143. Eine beliebige Pyramide mit einer Ebene zu schneiden und ihr Netz zu entwickeln (Fig. 112). Wir wollen annehmen, daß die Basisebene ABCDE der Pyramide mit der Horizontalebene zusammenfällt; aus der Lage dieses Polygons und der der Spitze gehen die Projektionen der Pyramide hervor. Sind e1 und e die Spuren der Schnittebene E, so kann man zunächst J = AS × E in der bekannten Weise finden. Das Schnittpolygon JKLMN bestimmt sich dann dadurch, daß es mit ABCDE in perspektiver Lage ist (vergl. 165), d. h. daß die Schnittpunkte homologer Seiten AB X JK, BC × KL, CD × LM,.... auf e, liegen, wie das ja klar

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