Abbildungen der Seite
PDF
EPUB

Ebene Schnitte und Netze von Wielflachen, insbesondere Prismen und Pyramiden.

139. Ist ein ebenflächiger Körper durch seine Projektionen gegeben und soll man einen ebenen Schnitt durch ihn legen, so geht man meist von der Bestimmung der Ecken des Schnittpolygons aus; in speziellen Fällen ist es möglich, sogleich die Seiten desselben zu zeichnen. Um nun auf einer Polyêderkante JK ihren Schnittpunkt S mit der gegebenen Ebene E zu finden, benutzt man am besten zwei in - E gelegene parallele Gerade, etwa zwei Hauptlinien abTT. Man denke sich (Fig. 109) durch JK eine vertikale Hilfsebene, die a und b in P und Q resp. schneiden mag, dann ist: J"K" × P"Q“ = S“. Auf diese Weise findet man alle Ecken des Schnittpolygons. Von den Polyêderkanten sind natürlich nur die zu benutzen, die unverlängert die Ebene E wirklich treffen. Um die wahre Gestalt der Seitenflächen und der Schnittfläche des Körpers zu bestimmen, muß man ihre Ebenen zu einer Tafel parallel - drehen (85) oder in die Tafel / Fig. 109. umlegen (80). Hierbei genügt es, die Endlage einer Ecke des betreffenden Polygons durch die Drehung zu bestimmen; die übrigen ergeben sich aus der Affinität, die zwischen seiner Projektion und Umlegung besteht. – Legt man alle Seitenflächen eines Polyêders in einer Ebene nebeneinander, so daß jede mit der vorhergehenden eine Kante gemein hat, so erhält man ein Netz des Vielflachs. Statt der Polyëderkanten kann man zuweilen direkt die Polyéderflächen mit der Ebene E schneiden und erhält so die Seiten des Schnittpolygons. Die weiteren Beispiele zeigen die Anwendung dieses Verfahrens auf Prismen und Pyramiden.

[graphic]

140. Eine prismatische Fläche wird von einer Geraden beschrieben, die an einem ebenen (offenen oder geschlossenen) Polygon so hingleitet, daß sie beständig die gleiche Richtung beibehält. Das Polygon heißt Leitlinie, die bewegliche Gerade wird im allgemeinen Erzeugende, im besonderen, wenn sie durch eine Ecke des Polygons geht, Kante genannt. Zwei parallele Ebenen schneiden die prismatische Fläche in kongruenten Polygonen, der von ihnen begrenzte Körper heißt Prisma. Jene Polygone heißen die Grundfläche oder Basis resp. die Endfläche, die übrigen Flächen (Parallelogramme) die Seitenflächen des Prismas. Stehen die Kanten senkrecht auf der Basis, so heißt das Prisma gerade, sonst heißt es schief. Der Abstand zwischen der Grund- und Endfläche heißt die Höhe. Eine pyramidale Fläche entsteht, wenn eine Gerade an einem ebenen Polygon so hingleitet, daß sie dabei beständig durch einen festen Punkt geht. Das Polygon heißt wieder Leitlinie, die bewegliche Gerade wieder Kante oder Erzeugende, je nachdem sie durch eine Ecke des Polygons verläuft oder nicht; den festen Punkt nennt man Spitze oder Scheitel. Parallele Ebenen schneiden die Fläche in ähnlichen und ähnlich gelegenen Polygonen resp. Polygonstücken. Die pyramidale Fläche besteht aus zwei symmetrischen sich im Scheitel gegenüberstehenden Flächenteilen. Eine Ebene schneidet eine solche Fläche in einem Polygon, oder in mehreren Polygonstücken, je nachdem eine Parallelebene durch den Scheitel nur diesen selbst oder mehrere Erzeugende enthält. Der von einer Ebene und einer pyramidalen Fläche begrenzte Körper heißt Pyramide. Erstere wird Grundfläche, die übrigen Flächen (Dreiecke) werden Seitenflächen genannt. Unter der Höhe der Pyramide versteht man das von der Spitze auf die Basisfläche gefällte Lot. 141. Ein reguläres Prisma, dessen Basis und Achse gegeben ist, zu zeichnen, sowie einen ebenen Schnitt desselben und das Netz des einen Teiles anzugeben (Fig. 110). Bei einem regulären Prisma ist die Grundfläche ein reguläres Polygon und die Kanten stehen auf ihr senkrecht; die Verbindungslinie der Mittelpunkte der Grund- und Endfläche heißt die Achse, und ist offenbar zu den Kanten parallel. Sei JK die Achse und A„ B„C„D„E, das um die Hauptlinie h der Grundebene zu TT, parallel gedrehte reguläre Polygon, so benutze man eine vertikale Hilfsebene durch JK und drehe sie parallel TT, um die Hauptlinie JI. Die mit der Hilfsebene gedrehte Achse des Prismas ist dann JKA; die Projektion von A, B,C„D„E, auf die Hilfsebene fällt mit JK', diejenige von ABCDE mit AADA zusammen, wo AADA _L JKA und J'AA = (A% – h). Aus der Hilfsprojektion des Basispolygons ergeben sich aber sofort sein Grund- und Aufriß (AAA'| h und AgA Lh etc., AAA = (A“ – JL) etc.). Hierauf lassen sich die Projektionen des Prismas leicht vervollständigen.

Fig. 110.

Ist die Schnittebene E durch ihre Spuren e, e, gegeben, so zeichne man zunächst in ihr eine Hauptlinie i. Die Vertikalebene in BM schneidet E in der Geraden FG; R“ ist also der Aufriß der auf BM gelegenen Ecke des Schnittpolygons. Hiernach lassen sich die Projektionen dieses Polygons QRSTU angeben; denn es ist HS“ F"G“ und H = e x CM etc. Um seine wahre Größe Q„R„S,7 U zu finden, legen wir es um die Spur e, in TT, um; dabei ist

[graphic]
[ocr errors][ocr errors]

142. Von einem schiefen Prisma soll das Netz entwickelt werden (Fig. 111). Seine Grundfläche ABCD mag in der Horizontalebene liegen und die Projektionen der Kante AK mögen gegeben sein, dann lassen sich die Projektionen des Prismas direkt zeichnen. Um das Netz zu bestimmen verfährt man am besten so, daß man einen Schnitt senkrecht zu den Kanten ausführt und dessen wahre Größe sucht. Dazu benutze man eine zu den Kanten parallele Vertikalebene als Seitenrißebene und zeichne den Seitenriß des Prismas. Die Ebene des Normalschnittes hat die Spuren e, L AK', e, LA“K“, es LA“K“ und der Seitenriß des Schnittpolygons fällt mit es zusammen, woraus sich auch seine anderen Projektionen ergeben. Um die wahre Größe von LMNO zu finden, legt man dieses Viereck um e in TT nieder, was mit Hilfe des Seitenrisses in bekannter Weise geschieht. Die Vierecke ABCD, L'M'N'O, und Lo MM,0% sind affin, e, ist für alle drei die gemeinsame Affinitätsachse.

Schneidet man die prismatische Fläche längs einer Kante auf und breitet sie in eine Ebene aus, so werden alle Kanten parallel und die Seiten des Normalschnittes bilden Stücke einer dazu senkrechten Geraden. Hiernach kann man das Netz zeichnen, indem man die Teilstücke der Kanten aus dem Seitenriß direkt entnehmen kann. In der Figur ist nur das Netz des einen Stückes des Prismas entworfen.

Handelt es sich nur um das Netz, so kann man die Projektionen des Normalschnittes fortlassen, da alsdann die Konstruktion seiner wahren Gestalt LoM M,O, genügt. Wollte man einen schiefen Schnitt zeichnen, so könnte man ganz wie vorher beim geraden Prisma verfahren.

Fig. 111.

143. Eine beliebige Pyramide mit einer Ebene zu schneiden und ihr Netz zu entwickeln (Fig. 112). Wir wollen annehmen, daß die Basisebene ABCDE der Pyramide mit der Horizontalebene zusammenfällt; aus der Lage dieses Polygons und der der Spitze gehen die Projektionen der Pyramide hervor. Sind e, und e, die Spuren der Schnittebene E, so kann man zunächst J = AS × E in der bekannten Weise finden. Das Schnittpolygon JKLMN bestimmt sich dann dadurch, daß es mit ABCDE in perspektiver Lage ist (vergl. 165), d. h. daß die Schnittpunkte homologer Seiten AB × JK, BC × KL, CD × LM, . . . . auf e liegen, wie das ja klar

[graphic]
« ZurückWeiter »