2

2

2

1

19

2

A'B'C'D' und

auch die Größe des gesuchten Tetraëders fixiert. A"B"C"D" sind nun dadurch als orthogonale Projektionen des nämlichen Tetraëders charakterisiert, daß die Linien A'A', B' B", C'C", D'D' senkrecht zu einer Geraden, nämlich der z-Achse, stehen, also untereinander parallel sind. In dem Schnittpunkte der Geraden A"B" und "D" fallen die Aufrisse F"=G" zweier Punkte zusammen, deren Grundrisse F' und G' resp. auf A'B' und C'D' liegen; dabei ist: A'F': F'B' = A"F":F"B" und C'G': G'D' = C"G" : G"D". Ist A, B2 × C2D2 = F2 = G2 und sind Fund G1 die homologen Punkte zu F" und G' in der Figur Д1В1C1D1, so folgen aus jenen Relationen die weiteren: AF: F1B1 = AF2: F2B2 und CG1: G1D1 = CG2: GD2, wonach sich Fund G, direkt zeichnen lassen. Legt man nun die Figur A,B,C,D,F,G, so in die Grundrißebene, daß FG-Achse wird, so stellt sie den gesuchten Grundriß unseres Tetraëders vor. Um den Aufriß zu finden, ziehe man durch D' eine Parallele zu F'G', die A'B' in H' schneiden mag und bestimme H2 auf Д,В2 gemäß der Relation: Á2H2: H2В2 = A'H': H'B'. Nun gebe man der Figur A,B,C,D,F2H2 eine solche Lage, daß D2H2 in die Verlängerung von D'H' fällt, dann ist der gesuchte Aufriß zu dieser Figur ähnlich und ähnlich gelegen. Man hat nur D" = D2 zu wählen und auf den Geraden DA, D,В und D2C2 die Punkte A"B" und C" beziehentlich so zu bestimmen, daß A'A′′, B′B", C'C" senkrecht zur x-Achse werden.

=

2

2

2 2

2 2 2 2 2

2

2

2 2

2 2

135. Einen Würfel von gegebener Kantenlänge zu zeichnen, wenn man die Richtungen der ersten Projektionen seiner Kanten kennt.

1

Sei A eine Ecke und seien AB, AC, AD die drei von dieser Ecke ausgehenden Kanten des Würfels, so mögen A und die Richtungen b', c', d', auf denen die Punkte B', C', D' gelegen sind, gegeben sein (Fig. 105). Da nun die Kante AB auf der Seitenfläche ACD senkrecht steht, so steht b' auf der ersten Spurlinie von ACD senkrecht. Analoges gilt für die beiden anderen Kanten. Das Spurendreieck B11D1 in einer horizontalen Hilfsebene ist also so beschaffen, daß b', c', d' seine Höhen sind; dabei kann ein Spurpunkt, etwa B1, noch beliebig gewählt werden, was einem bestimmten Abstand der Ecke A von der Hilfsebene entspricht. Legt man jetzt die Ebene B1AC, um die Spur BC, in die Hilfsebene um, so erhält man B11, wo дд ¦ B11 und B12 1 С11; ganz ebenso findet man CAD, durch Umlegen der Ebene CAD. Auf B1, AC1 resp. 4°C, und AD, trägt man die Kantenlänge des Würfels gleich ABAC 4°C 4°Do auf und gewinnt dann durch Zurück

=

=

0

drehen der umgelegten Ebenen B', C', D'

und damit die erste

Projektion des Würfels. Um den Aufriß des Würfels zu zeich

verlegen wir in die Horizontalebene, sind dann B, C und D die benachbarten Ecken und B', C', D' ihre Projektionen, so ist:

AB'2 + BB'2 = AC′2 + CC'2 = AD'2 + DD'2

=

k2,

wo k die Länge der Kanten des Würfels bedeutet. Nun läßt sich aber auch leicht zeigen, daß:

ist. Errichtet man nämlich in A eine Vertikale, macht sie = k und fällt von ihrem Endpunkte Lote auf die Kanten AB, AC, AD, so werden auf ihnen Strecken abgeschnitten, welche resp. gleich BB, CC', DD' sind. Diese in A zusammenstoßenden Strecken bestimmen ein rechtwinkliges Parallelepipedon, dessen Diagonale eben jene Vertikale k ist. Für ein solches Parallelepipedon gilt aber der Satz, daß die Summe der Quadrate dreier zu einander rechtwinkliger Kanten gleich dem Quadrate der Diagonale ist.

Aus jenen Relationen folgt nun die weitere:

AB'2 + AC'2 + AD′2 = 2 k2,

d

die unmittelbar eine Konstruktion der Kantenlänge k ermöglicht, wie dies Fig. 106 zeigt (wobei AB′ = b, AC' = c, AD' d). Hiermit kennt man auch sofort die Neigungswinkel, die die Kanten AB, AC, AD mit der Horizontalebene einschließen. Nimmt man nun eine Aufriẞebene zu Hilfe, die einer Kante, etwa AB, parallel ist und dreht die. beiden anderen Kanten AC und AD um eine in A vertikale Achse, bis sie zur Aufrißebene parallel werden, so erhält man "B", "C", A"D", AB = b, AC1 = c, AD d. Dreht man jetzt die beiden Kanten AC und AD wieder zurück, bis sie

=

B

A

ihre richtige räumliche Lage eingenommen haben, d. h. bis sie beide auf AB senkrecht stehen, so erhält man die gewünschten Projektionen A"C", A"D" (wo CA"C" || D ̧"D" || x - Achse, A"C"LA"B", A"D" 1 A"B") und AC', AD' (wo AC' AC', AD' = AD). Die weiteren Kanten des Würfels lassen sich dann unmittelbar in ihren Projektionen zeichnen.

Δ

=

Fig. 106.

137. Einem Vierflach eine Kugel umzuschreiben.

Der Einfachheit halber mögen drei Ecken des Vierflachs ABCD in der Horizontalebene gelegen sein (Fig. 107). Dann gehört der Kreis durch die Ecken ABC der Kugel an und ihr Mittelpunkt M liegt senkrecht über dem Mittelpunkt M' dieses Kreises. Wählt man nun auf diesem Kreise so, daß D'J|| x-Achse, so ist DJ eine zur Aufrißebene parallele Sehne der Kugel. Nun geht jede in der Mitte einer Kugelsehne zu ihr senkrechte Ebene durch. den Kugelmittelpunkt. Die Mittelebene der Sehne DJ projiziert

sich aber im Aufriß als eine Gerade, die auf D'J" in der Mitte senkrecht steht, auf der sich also M" befinden muß. Wählt man

M

B

B

endlich auf dem Kreise durch ABC einen Punkt K so, daß M'K-Achse, so ist MK ein Kugelradius, dessen wahre Größe gleich M"K" ist, wonach sich die Kugelprojektionen direkt zeichnen lassen.

138. Einem Vierflach eine Kugel einzubeschreiben.

Der Kugelmittelpunkt muß von den vier Flächen des Körpers gleichen Abstand besitzen. Sind nun A, B, C, D wieder die vier Ecken und konstruiert man drei Ebenen, die die Flächenwinkel längs der Kanten AB, BC, CA halbieren, so hat ihr Schnittpunkt offenbar gleichen Abstand von den vier Seitenflächen, ist also der gesuchte Kugelmittelpunkt. Durch ihn gehen natürlich auch die Halbierungsebenen der Winkel an den anderen Kanten. Je nachdem man nun bei jenen Kanten die Innen- oder die Außenwinkel halbiert, erhält man acht verschiedene Lagen und demnach acht einbeschriebene Kugeln, die freilich die Flächen nicht alle von innen, sondern teilweise von außen berühren. Halbiert man überall die Innenwinkel, so liegt die einbeschriebene Kugel im Innern des Vierflachs.

Fig. 107.

Um diese Kugel zu finden, setzen wir wieder voraus, daß die Ecken ABC in der Grundrißebene liegen, dann können wir uns zur Konstruktion der Halbierungsebenen in den Kanten AB, BC, CA der folgenden Methode bedienen (Fig. 108). Die Halbierungsebene durch die Kante AB schließt mit der Seite ABD und der Grundrißebene gleiche Winkel ein, also auch mit jeder anderen Horizontalebene. Legt man demnach durch die Ecke D eine horizontale Hilfsebene, so wird dieselbe von jener Halbierungsebene in einer Hilfsspur c geschnitten (c|| AB), und es muß D von e und AB gleichen Abstand besitzen, d. h. es muß DH DL sein, denn ▲ DHL ist gleich

=

schenklig wegen der Gleichheit der Winkel bei H und L. Nun bestimmt sich DH als Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Katheten D'H und D'E; man hat also nur D'L' = DL = DH auf die Verlängerung von HD' aufzutragen, um I und damit c' zu finden. Analog verfährt man, um die Projektionen a' und ' der Hilfsspuren a und b bei den Halbierungsebenen durch die Kanten BC und CA zu gewinnen. Bezeichnen wir jetzt das Dreieck der drei Hilfsspuren mit 4,B,C,, so sind AA, BB, CC1 die gegenseitigen Schnittlinien unserer Halbierungsebenen und ihr gemeinsamer

Punkt ist der gesuchte Kugelmittelpunkt (O′ = AA1⁄2 × BB1' × CC1' und O" auf A" A,"). Der Kugelradius ist gleich dem Abstande des Punktes O" von der x-Achse.

Für die Halbierungsebene des Außenwinkels an der Kante AB gilt wiederum die Beziehung, daß der Abstand ihrer Hilfsspur von D gleich DH ist, nur ist dieser Abstand in entgegengesetzter Richtung wie vorher aufzutragen. Hieraus folgt sofort die Konstruktion der anderen berührenden Kugeln.

Die horizontale Hilfsebene kann auch in beliebigem Abstand von der Grundrißebene gewählt werden. Dann hat man zunächst das Hilfsspurdreieck der Flächen DAB, DBC, DCA zu zeichnen, was eine geringe Abänderung obiger Konstruktion nach sich zieht.

ROHN u. PAPPERITZ. I. 2. Aufl.

8