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um a, in die Grundrißebene die Lage AB„E„F„C, wo E„F, a1. Da BB, La , so kann man B und ebenso C, D angeben. Benutzt man eine Hilfsebene TI, La im Punkte X, so erhält man in ihr als Seitenansicht des Fünfecks A BEFC die Gerade XB“E“, wo XB“ = XB, - * und XE“ gleich dem Lot von Xauf E„F, ist(B“B a). EF“ ist dann parallel zu a. und gleich E„F, und geht verlängert durch E“. Ganz in gleicher Weise finden sich die ersten Projektionen der Eckpunkte G, H, J, K; die 10 übrigen Eckpunkte liegen diesen diametral gegenüber und sind dadurch direkt gegeben, somit ist der Grundriß des Zwölfflachs bestimmt. Zur Kontrolle dient, daß sich B E und B„E, aufa schneiden müssen. Um den Aufriß zu zeichnen, suchen wir zuerst noch den Seitenriß O“ von 0. 0 liegt aber senkrecht über dem Mittelpunkt Z des Fünfecks A B EFC, also ist O"Z" _L XZ“ und XZ“ = AZ. Da man nun Grundriß und Seitenriß von B, E und O kennt, kann man unmittelbar ihre Aufrisse finden und hieraus, wie leicht zu erkennen, die Aufrisse sämtlicher Ecken und so den Aufriß des Zwölffachs selbst. Auch hier mögen wieder die Beziehungen zwischen den einzelnen Strecken erwähnt werden. Wenn wir, wie vorher, mit s und d Seite und Diagonale des Fünfecks bezeichnen, so ist d: s = s: d – s = G D': CA = G'S': H'L', da sich die Projektionen paralleler Strecken, wie die Strecken selbst verhalten. Nun ist: D'S = CA, also s: d = D'S': GD sowie s: d – s = CA: G'S', und durch Einfügen in die obige Relation kommt: d: s: d – s = CA: G'S': H'L. Nimmt man CA an, so kann man hiernach die anderen Strecken finden. Die Diagonalen MD und DG liegen wieder in einer Vertikalebene und stehen aufeinander senkrecht (vergl. 141), folglich ist (M“ – r) – (D“ – r) = DG und (G“– r) – (D“– r) = M'D. Die Kanten AC und HL sind zu jenen Diagonalen parallel, also ist auch: (C“– r) = HI und (L“– r) – (H“– r) = AC'. 131. Konstruktion des Zwanzigflachs. Beim Zwanzigflach stoßen in jeder Ecke fünf Kanten zusammen, die ein reguläres Fünfkant, und deren (" Endpunkte ein regu- > S läres Fünfeck bilden. Je zwei aufeinanderfolgende Seiten des Fünfecks sind zwei ". Kanten des Zwanzig- X / so X flachs, die nicht der .. Y, ..' nämlichen Seiten- ', ' '. fläche angehören. FS-Z Ä" Ä–p" Umgekehrt bilden je zwei von einer Ecke ausgehende Kanten, die nicht der gleichen Seitenfläche angehören, zwei Seiten eines regulären Fünfecks, dessen andere Seiten ebenfalls Kanten des Zwanzigflachs sind. Ganz ähnlich wie beim Zwölfflach zeigt man auch hier, daß die Eckpunkte paar- --- “ , ', weise auf sechs ----- -----------------g Achsen liegen, Fig. 102. die durch einen Punkt, den Mittelpunkt, gehen, daß dieser Mittelpunkt senkrecht über der Mitte jeder Seitenfläche liegt und daß diese paarweise parallel sind. Wählt man bei der Darstellung eine Achse etwa AQ senkrecht zum Grundriß, so bilden die Endpunkte der Kanten, die von A ausstrahlen, ein horizontales Fünfeck, ebenso die der von Q ausstrahlenden Kanten. Die Eckpunkte beider Fünfecke liegen sich diametral gegenüber, wonach sich der Grundriß sofort ergiebt (Fig. 102). Um den Aufriß zu zeichnen, braucht man nur noch die Abstände der beiden horizontalen Fünfecke von der Grundrißebene zu kennen. Sind nun die Kanten aus A der Reihe nach AB, AC, AD, AE, AF, und ist a die erste Spur der Fläche ABC, so ist a, LAE. Durch Umlegen von A ABC um a erhält man das gleichseitige Dreieck AB,C, In einer Hilfsebene TT, La, im Punkte X sucht man den Seitenriß B“ von B (XB, = XB“) und den Seitenriß Z“ von dem Mittelpunkte Z des A ABC (AZ = XZ“). Da der Mittelpunkt O des Zwanzigflachs senkrecht über der Mitte Z des A ABC liegt, so ist ZO“ L XB“. Aus Grund- und Seitenriß von B und O findet man aber die Aufrisse dieser beiden Punkte und damit die Aufrisse aller 12 Eckpunkte. Man hätte bei der Konstruktion auch das ebene reguläre Fünfeck mit den Seiten AB und AD, dessen erste Spurlinie auf AC senkrecht steht, benutzen können, dann wäre die Konstruktion von O überflüssig geworden. Die Höhe der Ecken über der Horizontalebene bestimmen sich auch durch folgende Betrachtung. Es ist AD_L BF" und folglich auch AD L BF, da BF horizontal; analog ist AE L DG, da diese Kanten in der gleichen gegenseitigen Lage sich befinden wie jene. Man folgert daraus (wie in 129), daß A“ E = D'G und D“G“= A E. 132. Legt man bei der Darstellung eine Seitenfläche des Zwanzigflachs etwa A ABC in die Grundrißebene hinein, und sind die Kanten aus A der Reihe nach AB, AC, AD, AE, AL, so läßt sich die räumliche Lage von AD, AE, AL in folgender Weise bestimmen (Fig. 103). AB, AC, A D bilden ein Dreikant, für das Z_ BAC = Z_ CAD = / und Z - BAD = R ist, da ja nach Früherem BA und AD zwei Seiten eines regulären Fünfecks sind; ganz ebenso bestimmt sich die Kante A L. Auch die Kanten AB, AC, AE bilden ein Dreikant, für das Z_ BAC = # R und Z CAE = Z_ BAE = R ist. Man zeichnet zunächst das um AB umgelegte Kantenfünfeck BAE„Go Ho und dreht es um AB zurück, so daß E“ auf die Halbierungslinie des Z BAC zu liegen kommt; durch Affinität findet man auch G und H“ (HB = EA, G„E, × (E auf AB). Beachtet man noch, daß die Ecken paarweise diametral einander gegenüberliegen, so kann man den Grundriß vollständig zeichnen. Im Aufriß liegen die 12 Ecken zu je drei auf vier Geraden parallel zur x-Achse, deren Abstände noch zu konstruieren sind. Dies geschieht wieder durch Benutzung einer Hilfsebene TT, LAB im Punkte X, in der man die Seitenrisse E und G“ zeichnet. Anstatt das Fünfeck BA EGH zu benutzen, hätte man auch das Fünfeck CA LHJ bei der Konstruktion verwerten können.

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Wiederum kann man gewisse Streckenbeziehungen zur Konstruktion von Grund- und Aufriß verwenden. Ist nämlich r der Radius des Kreises durch ABCG . . . und r, der des Kreises durch DEH'J' . . ., so geht die Beziehung: O'B: O'H'= BC: HK über

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Vielflachen giebt es noch verschiedene sternförmige regelmäßige Vielflache. Diese Vielflache sind dadurch charakterisiert, daß entweder die Seitenflächen reguläre Sternfünfecke oder die Ecken reguläre Sternfünfkante sind; sie lassen sich aus den gewöhnlichen Vielflachen ableiten, indem man ihre Ecken entweder wie die des Zwölf- oder wie die des Zwanzigflachs anordnet, aber in anderer Reihenfolge durch Kanten und Flächen verbindet. Sie sollen hier nicht weiter untersucht werden, vielmehr mag es genügen, auf die bezügliche Speziallitteratur hinzuweisen“). 134. Es mögen hier noch einige Fragen besprochen werden, die sich auf die einfachsten Vielfache, nämlich Tetraëder und Würfel beziehen. Von einem Tetraëder kennt man beide Projektionen, jedoch nur der Form nicht der Lage und Größe nach; dasselbe sei zu zeichnen. Die gesuchten Projektionen nennen wir

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