§ 22.

Soit ab la ligne L de am, et e un point de am. Imaginons que l'angie cab (formé par la droite am et la ligne L désignée par ab)

soit transporté d'abord le long de ab, puis le

long de ba, et de part et d'autre jusqu'à l'infini. La trajectoire cd du point c sera la ligne L de cm.

dn

En effet, si l'on désigne cette dernière par L', soient d un point quelconque de cd, cm, et b le point de L situé sur dn. On aura bnam et ac-bd, et par suite dncm; donc d est-sur L'. D'ailleurs, si d est sur L' et si dn | cm, et que soit le point de L commun avec dn, on aura ambm et cm dn, d'où il résulte que bd=ac, et que d tombera sur la trajectoire du point c; L' sera donc identique avec cd.

|||

Nous représenterons la relation d'une telle ligne L' avec L par la notation L' || L.

§ 23.

Si la ligne L représentée par cdf est | abe (§ 22); si, de plus, ab be, et que am, bn, ep soient des axes, on aura évidemment cd=df. Si a, b, e sont trois points quelconques de ab, et que l'on ait ab=n.cd, on aura aussi ae=n.cf, et par conséquent (ce qui s'étend évidemment au cas de ab, ae, de incommensurables), ab: cd=ae: cf. Le rapport ab: cd est donc INDÉPENDANT DE ab, ET COMPLÈTEMENT DÉTERMINÉ AU MOYEN DE ac. Nous désignerons la valeur de ce rapport ab: cd par la lettre capitale (telle que X) qui correspondra à la lettre minuscule (telle que x) par laquelle nous représenterons ac.

§ 24

Quels que soient x et y, on a YX (§ 23). En effet, ou l'une des quantités x, y est multiple de l'autre (par exemple, y est multiple de x), ou elle ne l'est pas.

3

Si ynx, soit x=ac-cg=gh:

........, jusqu'à ce que l'on ait ah=y. Soit, de plus, cd | gk || hl. On aura (§ 23) X=ab:cd =cd:gkgk: hl, et par conséquent

=

Si x, y sont des multiples de i, xmi, y=ni, on aura, d'après ce qu'on vient de voir, X=1", Y=I, et par conséquent

m

Y= X"=X*

Cette conclusion s'étend aisément au cas où x et y sont incommensurables.

Si l'on a qyx, il en résultera évidemment Q=Y: X.

Il es lair que, dans le système Σ, on a, pour toute valeur de x, X=1. Dans le système S, au contraire, on a X>1, et pour des valeurs quelconques de ab et de abe, il existe une ligne cdf

abe, telle que cdf ab, d'où il résulte ambn amep, quoique la première de ces deux figures soit un multiple quelconque de la seconde résultat singulier, mais qui ne prouve évidemment pas l'absurdité du système S.

$ 25.

Dans tout triangle rectiligne, les circonférences de rayons égaux aux côtés sont entre elles comme les sinus des angles opposés.

Soient, en effet, abc R, et am Lbac, et soient bn et cpam. On aura cab Lambn, et par suite (à cause de cbba), cb Lambn; par conséquent, cpbn Lambn. Supposons que le F de cp coupe les droites bn, am respectivement en d, e, et les bandes cpbn, cpam, bnam suivant les lignes L, cd, ce, de. Alors (§ 20) Ʌ cde sera égal à l'angle de n dc, nde, et par suite = R; et l'on aura, par la même raison, ced cab. Or (§ 21), dans

le A ced, formé par des lignes L (en supposant toujours ici je rayon = 1), on a

ec: dc0ec: O dc (dans F) O ac: O bc (§ 18).

Par conséquent on en conclut

Oac: Obc

O ac: Obc1: sin cab,

d'où il résulte que la proposition énoncée se trouve établie pour un triangle quelconque.

§ 26.

Dans tout triangle sphérique, les sinus des côtés sont entre eux comme les sinus des angles opposés à ces côtés.

Soient, en effet, abc= R, et ced Lau rayon oa de la sphère. On aura ced Laob, et (boc étant aussi L boa), cd L ob. Or, dans les triangles ceo, cdo, on a (§ 25)

De là découle toute la Trigonométrie sphérique, qui se trouve ainsi établie indépendamment de l'Axiôme XI.

§ 27.

Si ac et bd sont Lab, et qu'on transporte cab le long de ab, on aura, en désignant par cd le chemin décrit par le point c,

Soit, en effet, de L. ca. Dans les triangles ade, adb, on a (§ 25)

Ced: O adab sin u: 1 sin v.

:

En faisant tourner bacd autour de ac, le point b décrira ab, et le point d décrira Oed. Désignons

ici par Ocd le chemin de la ligne cd.

Soit, de plus, un polygone quelconque bfg..., inscrit dans ab. En menant par tous les côtés bf, fg,... des plans Lab, on formera ainsi

dans cd une figure polygonale d'un même nombre de côtés, et l'on pourra démontrer, comme au § 23, que l'on a

cd: ab dh: bf = hk : fg=",

et par suite

dh+hk+ bf+fg+

:

cd: ab.

Si l'on fait tendre chacun des côtés bf, fg,... vers la limite zéro, il est clair que l'on aura

M

Si ac s'éloigne de bd à l'infini, alors le rapport cd: ab, et par suite aussi le rapport sin u: sin v restent constants. Or u R (§ 1), et si dm | bn, vz. Donc cd: ab || Nous désignerons ce chemin ed

1: sin z.

par cd | ab.

§ 28.

Si bnam, et que e soit un point de am, en posant ac=x,

Car cd et ae étant Lbn, et bf Lam, on aura (comme au § 27)

Obf: O cd sin u: sin v.

Or, on a évidemment bf ae. Donc

O ea de sin u: sin v.

Mais dans les surfaces F de am et de cm, qui
coupent ambn suivant ab et cg, on a (§ 21)
O ea: 0 dc ab: cg= X.

X= sin u: sin v.

§ 29.

Si bam R, aby, et bn ||| am, on aura, dans le système S,

=

Soit bef une ligne L de bn, et fg, dh, ck, el des lignes L de ft, dt, cq, etc. On aura évidemment (§ 22) hg= df=dk=hc; partant cg=2 ch 2 v. Il est clair que l'on a de même bg2 bl=2z. Or bcbg--gc; par suite yz - v, d'où (§ 24) Y=Z: V. On a enfin (§ 28)

Donc

Z=1: sinu, V=1: sin (Ru).

Y = cotangu [*].

[*] L'angle u est celui que LOBATSCHEWSKY représente par II (ab). (Voyez Études géométriques, etc., no 36.)

(H.)