* = * durch die Punkte E E und G, bezw. F und H Die Verbindungslinien dieser Punktepaare bilden die Schatten der Erzeugenden EF und GH, die zur Berandung gehören. Schließlich sind parallel zu den Schlagschattengrenzen des Richtungskegels die Geraden u und zu ziehen, welche die Kurven s und t in den s✩ t✩ Punkten berühren, die den Endpunkten der Geraden u und v auf s und als Schatten zugehören. Aus den Linien s, t, u v EF und GH setzt sich die Grenze des Schlagschattens der Fläche auf die Grundrißebene zusammen. U* * v* Den Punkten, in denen der Randschatten t sich selbst und die Kurve s überschneidet, entsprechen Punkte der Linien t und s, die von der Randlinie & Schatten empfangen. Man findet sie, indem man die zu den Überschneidungspunkten gehörigen Lichtstrahlen rückwärts bis zu den fraglichen Kurven verfolgt. Die gefundenen Punkte liegen auf einer ersten Grenzlinie w des Schlagschattens der Fläche auf sich selbst. Will man eine größere Anzahl von Punkten der Grenzlinie w konstruieren, so hat man die Überschneidungspunkte von t mit den Schatten geeigneter Erzeugenden der Fläche in analoger Weise zu benutzen. Ferner entspricht dem Punkte Z, in welchem s die Kurve t überschneidet, ein Punkt Z des Randes t, der von dem Rande s Schatten erhält. In Zendigt eine zweite Grenzkurve z des Schlagschattens der Fläche auf sich selbst. Dieselbe berührt s in demselben Punkte wie u. Der von v aufsteigende Teil der Fläche wirft Schatten auf ihre Oberseite zwischen w und u, auf ihre Unterseite zwischen z und v. Der von u absteigende Teil beschattet die Unterseite zwischen u und z. * Windschiefe Regelschraubenflächen. 466. Wir betrachten zuerst die geschlossene gerade Schraubenfläche. Ihre die Achse a senkrecht schneidenden Erzeugenden bilden gleichzeitig die Normal- und Meridiankurven. Wir denken uns die Fläche rechtsgängig. Um eine einfache Darstellung zu geben, sei ein Gang derselben durch zwei Erzeugende g und h, die in den Normalebenen П, und П, senkrecht zu П, liegen sollen, und durch zwei einem koaxialen Cylinder (Grundkreis s ́) angehörige Schraubenlinien s und t begrenzt. Der Umriß der ersten Projektion besteht dann aus dem Kreise s' (=t') und der Geraden g (=h'), der Umriß der zweiten Projektion aus zwei kongruenten Sinuslinien s" und t", die sich in den Punkten A", B", C" auf a" schneiden (Fig. 309). Die Striktionslinie der Fläche wird von ihrer Achse a gebildet. Die Tangentialebene in einem Punkte der Achse verbindet diese mit der durch ihn gezogenen Erzeugenden, ist also eine Meridianebene; schreitet der Berührungspunkt auf der Erzeugenden fort, so dreht sich die Tangentialebene um diese und geht schließlich (als asymptotische Ebene) in die zugehörige Normalebene über. Man konstruiert eine Tangentialebene mittels der Tangente der durch den Berührungspunkt gezogenen koaxialen Schraubenlinie. Die Durchstoßpunkte einer gegebenen Geraden mit einem Flächengange können nach der in 463 angegebenen Methode gefunden werden. Zur Konstruktion eines ebenen Schnittes der Fläche teile man die auf der Achse abgetragene Ganghöhe h=AC in eine hinreichende Anzahl gleicher Teile und denke sich durch die Teilpunkte Normalebenen gelegt, die auf der schneidenden Ebene E Streichlinien || e, und es bestimmen. Jede solche Streichlinie schneide man mit der in der zugehörigen Normalebene liegenden Erzeugenden. Die so gefundenen Punkte liegen auf der gesuchten Schnittkurve. Letztere besitzt in jedem Flächengange zwei Asymptoten. Dieselben werden durch Normalebenen bestimmt, welche die beiden zur Ebene E parallelen (eine Ganghälfte begrenzenden) Erzeugenden enthalten. Die angedeutete Konstruktion ist zuerst im Grundrisse auszuführen und hieraus der Aufriß der Schnittkurve abzuleiten. 467. Die Schattengrenzen der geschlossenen geraden Schraubenfläche werden nach 455 dargestellt. Wird von П1 aus auf die Achse a die reduzierte Ganghöhe bis nach S abgetragen (4′′ S′′ = h =) und der Schatten S, des Punktes 8 in П nach A"S" h links um 90° bis in die Lage L gedreht, so ist L der Pol des Lichtstrahles; die Neigung von 7 gegen П1 heiße 2. In Fig. 309 sind die Projektionen und " des Lichtstrahles 7 beide gegen die x-Achse unter 45° gezogen. Von dem Pole L aus fälle man die Lote auf die um A sich drehende Gerade g. Der geometrische Ort ihrer Fußpunkte ist der Kreis über dem Durchmesser AL und bildet den Grundriß u' der Lichtgrenze u. Diese wird auf der Fläche durch den über u' stehenden Rotationscylinder ausgeschnitten und bildet eine Schraubenlinie von der Ganghöhe. Durchläuft ein Punkt die Lichtgrenze eines Flächenganges, so beschreibt sein Grundriß den Kreis u doppelt. Ist nämlich U auf der Erzeugenden g der erste Spur punkt der Lichtgrenze u, U, ein höherer Punkt derselben und M der Achsenspurpunkt jenes Cylinders, so ist UMU = 29, wenn h 2 * LUAU ist. Die Höhe des Punktes U, über П, ist = hq, = q sie wächst proportional dem Winkel UMU. Hieraus folgt: Jeder Rotationscylinder, der die Achse der geschlossenen geraden Schraubenfläche zur Mantellinie hat, schneidet auf ihr eine Schraubenlinie von der Ganghöhe aus. Demnach ergibt sich der Aufriß u" der Lichtgrenze als eine Sinuslinie, welche die Punkte A", B", C" auf a" enthält. Da die Neigung dieser Schraubenlinie u mit übereinstimmt (tang λ=h: LM = h:LA), so hat sie Lichtstrahlen zu Tangenten, und ihr Schatten u in П wird eine gespitzte Zykloide. Letztere entsteht, wenn der Kreis u' auf der durch L gezogenen Lichtstrahlenprojektion l'abrollt als Bahnlinie des Punktes U, den u' mit der tiefsten Erzeugenden g gemein hat. Die Spitzen folgen einander im Abstande.cotgλ. Die beiden Randschraubenlinien s und t ergeben als Schatten s und t in П, ebenfalls Zykloiden. Diese entstehen, wenn der um ▲ mit dem Radius AL beschriebene Kreis auf der Geraden l' abrollt, als Bahnkurven der Endpunkte D und E von g. Unter der Annahme AD=AE> AL sind es verschlungene Zykloiden; ihre Ganglänge ist doppelt so groß als die der Zykloide u; sie sind gegeneinander um ihre halbe Ganglänge verschoben und umschließen mit ihren Schleifen abwechselnd die Spitzen von u. Zur Begrenzung des Schlagschattens auf die Grundrißebene gehören schließlich noch die Erzeugende g und der Schatten h der Erzeugenden h. Man erhält die zu u, s, t, gehörigen Elemente am einfachsten, wenn man von einer hinreichenden Anzahl äquidistanter Erzeugenden der Fläche die Schlagschatten in П, zeichnet, weil diese ohnehin noch benutzt werden müssen. Wenn, wie in unserer Figur, ein Teil des Schlagschattens nicht in T1, sondern in П, sichtbar wird, so erscheint er an der x-Achse gebrochen. Man konstruiert dann mit Hilfe der Affinität zwischen den Schattenprojektionen in beiden Tafeln. Die Affinitätsachse ist z, die Affinitätsstrahlen werden durch die Schatten H und H* eines Punktes H der Erzeugenden h leicht bestimmt (bei unserer Annahme liegen sie ||x). S * * '* 468. Der Schlagschatten der Schraubenfläche auf sich selbst wird von den Kurven v, w, y, z begrenzt, die auf ihr als Schatten der Lichtgrenze u, sowie der Randlinien s, t und h entstehen. Die Kurve v geht tangential von der Lichtgrenze u aus und zwar in den Punkten, deren Tangenten die Richtung der Lichtstrahlen haben. Der Pol Z bildet den Grundriß dieser Punkte. In * dem dargestellten Flächengange besitzt v zwei Zweige, deren Grundrisse zusammenfallen; der untere endigt auf der Randlinie g in ihrem Schnittpunkte mit u, der obere auf der Randlinie s in V (√* = us). Man bestimmt Punkte ihres Grundrisses, indem man zu den Schnittpunkten von ", mit den Schatten erzeugender Geraden die entsprechenden Punkte auf ihren Grundrissen sucht. Um den Randschatten auf der Fläche zu finden, denke man sich durch die Schnittpunkte von s, t und mit den Grundrißschatten der Erzeugenden Lichtstrahlen gezogen und verfolge dieselben in beiden Projektionen zurück bis zu den betreffenden Erzeugenden selbst. Auf diese Weise ergeben sich Punkte der Grenzlinien w, y, x. Die Kurven w und y schneiden die Achse a, ihre Grundrisse sind identisch. Die Kurve w beginnt auf u in dem Punkte W, dessen Schatten WuXs ist, und endigt in dem zu J1 = S* ×h gehörigen Punkte J. Der Anfangspunkt der (im Grundriß völlig verdeckten) Kurve y liegt senkrecht unter W auf u, ihr Endpunkt Y auf s entspricht dem Schnittpunkte Yxt Die Kurve z beginnt in dem vertikal über U auf h gelegenen Punkte und endigt in J; ihr Aufriß fällt mit der durch C" gezogenen Lichtstrahlprojektion l′′ zusammen. * * = * = 469. Die offene gerade Schraubenfläche mit ihren Schattengrenzen soll unter den bisherigen Annahmen über die Richtung der Achse a und der Lichtstrahlen dargestellt werden, also für aП1 und l'x = ▲ l′′x = 45o. 45°. Ein rechtsgewundener Flächengang sei begrenzt durch die Erzeugenden FG (in П1) und HJ (in П ̧) und die auf einem koaxialen Rotationscylinder liegenden Schraubenlinien s und t, deren Endpunkte resp. F, H und G, J sind. Die Kehlschraubenlinie k hat das vom Achsenspurpunkte A auf FG gefällte Lot 4Q zum Radius; der in П1 um Д mit diesem Radius beschriebene Kreis k' ist ihr Grundriß, ihr Aufriß eine Sinuslinie k". Ebenso bildet der mit dem Halbmesser AF beschriebene Kreiss' zugleich den Grundriß von s und t, während die Aufrisse dieser Kurven zwei kongruente Sinuslinien s" und t" sind, die sich in den Scheitelpunkten B" und D" der Kurve k" überschneiden. Es ist zweckmäßig, am Aufrisse a" der Achse die Ganghöhe h = A"E" in eine hinreichende Anzahl (z. B. 16) gleicher Teile zu teilen und durch die Teilpunkte Parallelen zu r als Aufrisse von Erzeugenden zu ziehen, die man numerieren mag. Die Grundrisse derselben berühren den Kreis k'; ihre Berührungspunkte werden durch entsprechende Teilung der Peripherie, die im Berührungspunkte Q von FG beginnt, erhalten. Schließlich bestimme man noch, wie vorher |