die Tangente von m in P, die Achse in S, so ist S der Scheitel und d die Basiskurve eines Rotationskegels, dessen Lichtgrenze durch die nämlichen Punkte P und R von d geht wie u. Wir ziehen also durch S einen Lichtstrahl, der die Ebene von d in 7 schneidet, die Tangenten von T and liefern die gesuchten Punkte P und R (S"T"", T auf l', T'P' und T'R' tangieren d'). 1st P."U"P"S", so ist der Punkt U der Rotationsachse der Mittelpunkt einer Kugel mit dem Radius P."U", die unsere Fläche längs des Kreises d berührt. Da die Punkte der Lichtgrenze nur von den zugehörigen Tangentialebenen abhängen, die Kugel und die Rotationsfläche aber längs des gemeinsamen Kreises d gleiche Tangentialebenen aufweisen, so schneiden die Lichtgrenzen beider Flächen den Kreis in den nämlichen beiden Punkten P und R. Die Lichtgrenze der Kugel bildet aber einen größten Kreis, dessen Ebene zu senkrecht ist; diese Ebene trifft also d in den gesuchten. Punkten; sie liegen demnach auf der Schnittlinie jener Ebene mit der Ebene von d (U"V" _l′′, U'V' = CV' ||x, P'R' ■ l', V' auf P′R'). Dies ist das Kugelverfahren. * 381. Die Schlagschattengrenze u unserer Fläche auf die Horizontalebene bestimmt sich punktweise aus den Projektionen der Punkte von u. Läßt man eine Anzahl von Parallelkreisen Schatten werfen, so erscheint u als gemeinsame Hüllkurve derselben. Die Berührungspunkte eines Schattenkreises d mit u, und die Tangenten in diesen Punkten ergeben sich nach dem vorher Gesagten leicht. Ist nämlich & die Spitze des Kegels, der die Rotationsfläche längs d berührt, so sind die Tangenten aus S an d die gesuchten Tangenten und ihre Berührungspunkte zugleich die von d und u. Auf der Fläche freilich schneiden sich u und die als Lichtgrenze des genannten Kegels auftretenden Mantellinien; aber eine solche Mantellinie und die bezügliche Tangente von u liegen in einer zum Lichtstrahle parallelen Ebene, ihre Schatten decken sich also. Es decken sich demnach auch der Schatten der Tangente in einem Punkte von u mit dem Schatten der Tangente an den Parallelkreis durch diesen Punkt. Somit ist die Tangente in einem Punkte von ", etwa R parallel zur Tangente von d' in R' oder senkrecht zu CR'. * Die Schatten der Parallelkreise berühren u in zwei zu l' symmetrischen Punkten. Für den tiefsten Punkt G von u (und ebenso für den höchsten) fallen diese Berührungspunkte zusammen; d. h. G ist ein Scheitelpunkt von u und der Schatten des durch G gehenden Parallelkreises ist der zugehörige Krümmungskreis. * Der Schlagschatten u auf П, besitzt vier Spitzen, sie bilden == nach 376 die Schatten derjenigen Punkte von u. deren Tangenten Haupttangenten der Rotationsfläche und dem Lichtstrahle parallel sind. Einen solchen Punkt findet man, indem man an u und u" Tangenten parallel ' resp. " zieht; zu jedem Berührungspunkte auf u', etwa J', gehört senkrecht darüber liegend ein Punkt auf u", etwa J", dessen Tangente zu " parallel ist. Die Bestimmung der Punkte und J" könnte nach 286 vorgenommen werden; doch genügt hier die doppelte Kontrolle, daß sie auf dem nämlichen Parallelkreise und auf einer Senkrechten zur x-Achse liegen müssen. Die Tangente in einer Spitze von u, etwa J, ist senkrecht zu J'C. Weitere Konstruktionen der Punkte von u mit zum Lichtstrahle parallelen Tangenten finden sich in 401. * * * In dem in der Figur dargestellten Falle besitzt u zwei Doppelpunkte K und O und die beiden sie verbindenden Kurvenbogen schließen ein beleuchtetes Stück von П, ein, das allerdings nicht sichtbar ist. Von den Punkten M und J auf u und ebenso von den dazu symmetrischen Punkten — gehen Schlagschatten aus, die daselbst u berühren. Einzelne Randpunkte dieser Schatten gewinnt man, indem man die Schatten einzelner Parallelkreise auf П, mit u zum Schnitte bringt und von diesen Punkten in der Lichtstrahlrichtung bis zu den betreffenden Parallelkreisen auf der Fläche zurückgeht. Der von M ausgehende Schlagschatten * liegt auf der Innenseite der Fläche, d. h. auf der der Achse zugewendeten Seite; die Projektion seiner Begrenzung berührt den Umriß a und trifft u' in K*, wo seine Tangente parallel l' ist (KK*||'). Der von J ausgehende Schatten liegt auf der Außenseite der Fläche und trifft c in dem gleichen Punkte wie JM. Den Schlagschatten * des Randes auf die Fläche findet man durch Aufsuchen des Schattens von auf einzelne Parallelkreise; dabei benutzt man wieder die Schatten dieser Kreise und des Randes auf П. Die Tangenten von * in ihren Schnittpunkten mit u sind zu 7 parallel. Der höchste Punkt des Schattens * liegt in der zum Lichtstrahl parallelen Meridianebene, ist also der Schatten des Punktes F auf die bez. Meridiankurve. Durch Drehung dieser Ebene parallel zu П1⁄2 rücken F und der gesuchte Schatten auf m und der sie verbindende Lichtstrahl wird parallel LC. Die Konstruktion der Tangenten in einem beliebigen Punkte der Lichtgrenze wird in 398 gegeben. 382. Ist die Lichtgrenze auf einer Rotationsfläche bei zentraler Beleuchtung zu suchen, so erleiden die behandelten Methoden, Kegel-, Kugel- und Cylinderverfahren, kleine, leicht ein zusehende Abänderungen. Diese mögen kurz skizziert werden im Hinblicke auf Fig. 249, ohne die Konstruktionen in einer neuen Figur wirklich durchzuführen. Auf einer Meridiankurve erhält man die Punkte der Lichtgrenze u, indem man von dem leuchtenden Punkte L ein Lot auf die Meridianebene fällt und von seinem Fußpunkte die Tangenten an die Meridiankurve zieht, was wiederum durch Drehen ihrer Ebene parallel zu П2 geschieht. Die Punkte der Lichtgrenze u auf einem Parallelkreise ergeben sich nach dem Kegelverfahren, indem man die Spitze des Kegels auf seine Basisebene Schatten werfen läßt; die Berührungspunkte der von ihm an den Basiskreis gelegten Tangenten sind die gesuchten Punkte. Die Ringfläche. 383. Rotiert ein Kreis um eine in seiner Ebene liegende Gerade, so entsteht die Ringfläche. Schneidet die Achse der Fläche den Meridiankreis nicht, so haben wir es mit der eigentlichen Ringfläche. zu tun, im entgegengesetzten Falle aber mit der Wulstfläche. Halbiert man im ersten Falle den rotierenden Kreis durch einen zur Achse parallelen Durchmesser, so kehrt die eine Hälfte der Achse die konkave Seite zu, sie erzeugt bei der Rotation den elliptisch gekrümmten Teil der Fläche; die andere Hälfte kehrt der Achse die konvexe Seite zu und erzeugt den hyperbolisch gekrümmten Flächenteil. Beide Flächengebiete grenzen in zwei Kreisen, der parabolischen Kurve, aneinander (324, 325). Wir wollen nun zunächst zeigen, daß es auf einer Ringfläche außer den beiden Systemen der Parallel- und Meridiankreise noch zwei weitere Kreissysteme gibt, so daß durch jeden Punkt der Fläche vier Kreise auf ihr gezogen werden können. Betrachten wir eine Ebene, die die Ringfläche in zwei Punkten berührt, SO muß sie auf den Meridianebenen der beiden Punkte senkrecht stehen, was zu zwei Möglichkeiten führt. Entweder steht die Ebene auf der Rotationsachse senkrecht, dann berührt sie die Fläche längs eines Parallelkreises, dessen Radius offenbar gleich dem Abstande des rotierenden Kreismittelpunktes von der Achse ist; es gibt zwei solche Ebenen. Oder beide Berührungspunkte liegen in der nämlichen Meridianebene, ihre Verbindungslinie berührt also jeden der beiden in der Meridianebene liegenden Kreise; die gemeinte Tangentialebene steht dann in dieser Linie senkrecht zur Meridianebene. 384. Eine die Ringfläche doppelt berührende Ebene schneidet aus ihr zwei Kreise aus. Fig. 250 stellt eine Ring fläche mit vertikaler Achse dar; die Berührungspunkte J und K der Doppeltangentialebene E mögen in der zu TT, parallelen Meridianebene liegen, so daß also die Doppeltangentialebene auf П, senkrecht steht. Eine beliebige Horizontalebene schneidet aus der Ringfläche zwei Parallelkreise r, und r2 und aus E eine Hauptlinie h aus; die Kreise T1 und T2 treffen h in vier Punkten P1, P, resp. P2, P3, die der Schnittkurve angehören. Ist H der Schnittpunkt von h mit der Ebene des Hauptmeridians k, und setzen wir P1H=y1, P2H 2, = Y2, P2H=y3, PH = 14, so ist: wo 2r den Durchmesser von k bedeutet. Zum Beweise benutzen wir noch den Mittelpunkt M der Ringfläche, den Mittelpunkt N von k, die senkrecht über M resp. N in der genannten Horizontalebene liegenden Punkte U und und die Schnittpunkte S und 7' von k mit r1 resp. r2. Es folgt dann einerseits aus der Figur: 2 y12 = (P1 U )2 — (HU)2 = (d + FS)2- (HU)2, wo : d= NM ist, 2 Y22 = (d- VS)2- (HU)2, = (112+y22) = d2 + r2 — (MU)2 — (HU)2 = d2 + r2 — (HM)2. Andererseits ist das Produkt der Potenzen des Punktes H in bezug auf die beiden Parallelkreise r, und r, gleich dem Produkt der Potenzen von H in bezug auf die Hauptmeridiankreise k und 7, also: Y1y2 = HJ.IIK = (MJ)2 — (MH)2 = d2 — r2 — (MH)2. Y1Y2 In Verbindung mit der ersten Gleichung kommt: (Y1 - Y2)2 = 4 r2, oder y12 = 2 r. - Y2 Die Punkte P1, P, J und K gehören einem Kreise i an, denn es ist: HJ. HK = y; sein Mittelpunkt liegt auf den Mittelsenkrechten der Sehnen JK und P1 P3; d. h. in O, wenn MO = M'O' = r ist. Dieser Kreis ist durch J, K und seinen Mittelpunkt O bestimmt und ist demnach unabhängig von der Wahl der Geraden h und der Punkte P1 und P, auf ihr. Daraus geht hervor, daß i den einen Teil der Schnittkurve der Ebene E mit der Ringfläche bildet, der zu in bezug auf die Hauptmeridianebene symmetrische Kreis j bildet den anderen Teil. Die Projektion des Kreises i ist eine Ellipse, deren große Achse 2d und deren kleine Achse = A'B' = 2 MJ = 2 √ď2-2 ist, und von der M' einen Brennpunkt darstellt; denn man hat: M'P1'+ M'P' = M'S' + M'T' = 2 d. = Die Ringfläche kann hiernach auch durch Rotation eines Kreises um eine gegen seine Ebene geneigte Achse erzeugt werden; die Projektion des Kreises auf eine zur Achse senkrechte Ebene liefert dann eine Ellipse, deren einer Brennpunkt auf der Achse liegen muß. 2 2 385. Der Umriß einer Ringfläche ist zu bestimmen, wenn ihre Achse gegen die Projektionsebene geneigt ist (Fig. 251). Die Achse a sei gegen П, geneigt, dann wählen wir Пa, so daß der Umriß in П2 von zwei Kreisen und ihren gemeinsamen parallelen Tangenten gebildet wird. Der Umriß in П, kann dann, wie bei jeder Rotationsfläche, durch das Kugelverfahren gefunden werden. Ist nämlich B ein Punkt des Hauptmeridians k und trifft die zugehörige Normale die Achse a in J, so berührt die Kugel mit dem Mittelpunkte J und dem Radius JB die Fläche längs des Parallelkreises durch B. Der zu П1 parallele größte Kreis der Kugel erscheint als ihr Umriß; er trifft den genannten Parallelkreis in zwei Punkten D und E, die dem gesuchten Umriß der Ringfläche angehören (J"D" ||x, J'D' = J'E' = J′′B"). Die Kugel mit dem Mittelpunkte K und dem Radius KC liefert analog die Punkte F |