projizieren. Die Kegelflächen schneiden die Kugelfläche in den Gratbogen; diese gehören Raumkurven vierter Ordnung an und ihre Zeichnung bildet den wesentlichen Teil der Aufgabe.

Zur Konstruktion benützt man vertikale Hilfsebenen, die man zur Symmetrieebene eines Fensters, also etwa zu dem erwähnten Hauptschnitt, normal stellt. Jede solche Ebene schneidet sowohl die Kugel wie den Kegel in einem Kreise. Die oberen Schnittpunkte beider Kreise gehören dem Gratbogen der Stichkappe an.

In der Fig. 245 bezeichnet M den Mittelpunkt der Kugel und S eine im Hauptschnitt liegende Kegelspitze, ferner SO die horizontale Kegelachse. Die oberste Mantellinie bestimmt den Scheitel A des Gratbogens ABC. Der Teil AB dieses Bogens gehört der Raumkurve vierter Ordnung an (B" auf S"O"); der untere Teil BC ist ein Kreisbogen. Um irgend einen Punkt P des Gratbogens AB in allen drei Projektionen zu gewinnen, zieht man eine vertikale Gerade, die gleichzeitig die erste und zweite Spurlinie einer Hilfsebene bildet. Auf ihr findet man leicht die Zentra N und O der Schnittkreise mit der Kugel und dem Kegel und die zugehörigen Radien NR und OQ. Man zeichnet diese Kreise am besten im Seitenriß (rechts) und erhält in ihrem Schnitt den Punkt P""', hieraus aber P" und P', indem man P""P" horizontal zieht und N'P' (P'""' – N'"A"") vertikal anträgt. Aus einem Punkte P ergeben sich sofort entsprechende Punkte, wie U und V, auf den übrigen Gratbogen.

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ACHTES KAPITEL.

Rotationsflächen.

Allgemeines. Eigen- und Schlagschatten, ihr gegenseitiges Verhalten.

372. Ist eine Kurve mit einer festen Geraden starr verbunden, und läßt man sie um diese rotieren, so beschreibt sie eine Rotationsfläche; die feste Gerade heißt die Rotationsachse.16) Jeder Kurvenpunkt beschreibt bei dieser Bewegung einen Kreis, dessen Mittelpunkt auf der Achse liegt und dessen Ebene senkrecht zur Achse steht. Alle Ebenen senkrecht zur Achse schneiden die Rotationsfläche in einem oder mehreren Kreisen, die man kurz als Parallel

kreise bezeichnet. Alle Ebenen durch die Achse schneiden die Fläche in kongruenten Kurven; man nennt sie Meridiankurven und die sie enthaltenden Ebenen Meridianschnitte. Zieht man auf einer Rotationsfläche irgend eine ebene oder Raumkurve, die jeden Parallelkreis einmal schneidet, so kann die Fläche durch Rotation dieser Kurve um die feste Achse erzeugt werden; speziell kann man die Meridiankurve zur Erzeugung der Fläche verwenden.

Durch jeden Punkt der Rotationsfläche geht ein Parallelkreis und eine Meridiankurve; man kennt deshalb in jedem Flächenpunkte zwei Tangenten, die eine berührt die Meridiankurve und trifft die Achse, die andere berührt den Parallelkreis und ist senkrecht zur Richtung der Achse. Dieses lehrt uns, daß jede Tangentialebene der Rotationsfläche senkrecht steht zu der Meridianebene durch ihren Berührungspunkt. Wir erkennen also, daß die Tangentialebenen in allen Punkten einer Meridiankurve eine Cylinderfläche umhüllen, deren Leitkurve die Meridiankurve ist und deren Mantellinien senkrecht zur Ebene dieser Kurve sind. Alle Tangentialebenen in den Punkten eines Parallelkreises umhüllen einen geraden Kreis kegel, der diesen zum Grundkreis hat und dessen Spitze auf der Achse liegt. Die Mantellinien des Kreiskegels sind die Tangenten der Meridiankurven, deren Berührungspunkte auf jenem Parallelkreise liegen. Alle Normalen einer Rotationsfläche treffen ihre Achse.

373. Läßt man eine Fläche um eine mit ihr starr verbundene Gerade als Achse rotieren, so gibt es eine Hüllfläche, die alle Lagen der rotierenden Fläche einhüllt und die offenbar eine Rotationsfläche ist. Die Kreise, deren Mittelpunkte auf der Achse liegen und deren Ebenen zur Achse senkrecht stehen, verhalten sich nämlich gegen die rotierende Fläche verschieden, indem sie dieselbe entweder schneiden oder nicht schneiden. Die Hüllfläche bildet die Grenze zwischen den beiden Arten von Kreisen; auf ihr liegen die Parallelkreise, die die rotierende Fläche in einer Lage.

und somit in allen Lagen berühren. Die hier als Hüllfläche definierte Rotationsfläche berührt jede der eingehüllten Flächen, d. h. jede Lage der rotierenden Fläche, längs einer Kurve; in den Punkten dieser Berührungskurve stimmen die Tangentialebenen der Hüllfläche und der eingehüllten Fläche überein. Hieraus folgt aber, daß alle Punkte der rotierenden Fläche, deren Normalen die Rotationsachse treffen, auf ihrer Berührungskurve mit der Hüllfläche und somit auf dieser selbst liegen. Hiermit ist auf der rotierenden

Fläche die Berührungskurve definiert, durch deren Rotation die. Hüllfläche entsteht. Jede zur Achse senkrechte Ebene schneidet die rotierende Fläche in einer Kurve; diese berührt die Hüllfläche in den Punkten, deren Normalen durch den Achsenschnittpunkt der Ebene gehen.

374. Bei allen Fragestellungen, die sich auf Rotationsflächen beziehen, spielen die Parallelkreise und Meridiankurven eine besondere Rolle; nur bisweilen finden andere einfache Kurven der Fläche Verwendung. So verwendet man Parallelkreise, um die Schnittkurve der Rotationsfläche mit einer Ebene oder mit einer anderen Fläche zu zeichnen. So kann man Parallelkreise bei der Bestimmung des wahren Umrisses der Rotationsfläche oder der Grenzkurve von Licht und Eigenschatten auf ihr mit größtem Vorteil benutzen. Auf einem Parallelkreise gehören die beiden Punkte dem wahren Umrisse an, deren Tangentialebenen die Projektionsrichtung enthalten; ebenso gehören zwei Punkte der Grenzkurve an; ihre Tangentialebenen sind dem Lichtstrahl parallel. Die Tangentialebenen in den Punkten eines Parallelkreises umhüllen aber einen geraden Kreiskegel, der diesen zum Basiskreis hat; auf ihm suchen wir die Mantellinien, die den wahren Umriß resp. die Grenze von Licht und Schatten bilden, sie treffen den Parallelkreis in den Punktepaaren, die dem Umriß resp. der Grenzkurve auf der Rotationsfläche angehören. In der Tat sind die Tangentialebenen in diesen Punkten der Rotationsfläche zugleich Tangentialebenen des genannten Kegels und enthalten projizierende, resp. Lichtstrahlen. Diese Methode heißt das Kegelverfahren. In ähnlicher Weise kann man der Bestimmung des Umrisses sowie der Lichtgrenze die Meridiankurven zu grunde legen. Da alle Tangentialebenen in den Punkten der Meridiankurve einen Cylinder umhüllen, heißt diese Methode das Cylinderverfahren. Die Mantellinien des Umrisses und der Lichtgrenze auf dem geraden Cylinder, der die Meridiankurve zur Basiskurve hat, treffen diese in Punkten, die dem Umrisse resp. der Lichtgrenze auf der Rotationsfläche angehören. Diesen beiden Methoden reiht sich noch ein drittes, ebenfalls stets verwendbares Verfahren, das Kugelverfahren an, das wir später kennen lernen werden. Bei einzelnen Flächen werden sich noch besondere Methoden darbieten.

Auch die Bestimmung des Schlagschattens auf eine Rotationsfläche, mag dieser von der Fläche selbst oder einem anderen Gegenstande herrühren, stützt sich auf die Parallelkreise. Die Schatten dieser Parallelkreise auf eine dazu parallele Ebene sind kongruente

Kreise. Entwirft man nun den Schatten des Flächenteiles oder Körpers, dessen Schlagschatten auf der Rotationsfläche gesucht wird, auf die nämliche Ebene, so wird derselbe die Schatten der Parallelkreise teilweise überdecken; die entsprechenden Teile der Parallelkreise selbst werden dann in dem gesuchten Schlagschatten liegen.

375. Es soll hier noch das Verhalten des Eigen- und Schlagschattens in den Punkten untersucht werden, in denen beide aufeinander stoßen. Diese Untersuchung werden wir indessen nicht auf die Rotationsflächen beschränken, sondern ganz allgemein durchführen; die gefundenen Resultate haben dann für jede beliebige Fläche Gültigkeit. Zunächst gilt der Satz: Trifft die Kurve, die den auf eine Fläche fallenden Schlagschatten umschließt, die Kurve der Lichtgrenze, so sind in den Treffpunkten die Tangenten der Schlagschattenkurve dem Lichtstrahl parallel. Die Kurve des Schlagschattens erscheint nämlich als Schnitt der betreffenden Fläche mit einem Cylinder, dessen Mantellinien den Lichtstrahlen parallel sind. Die Tangente dieser Kurve in einem beliebigen Punkte liegt in den beiden Tangentialebenen, die daselbst die gegebene Fläche resp. den genannten Cylinder berühren. Die Tangentialebenen des Cylinders sind alle der Lichtrichtung parallel, und in den Punkten der Lichtgrenze sind dies auch die Tangentialebenen der gegebenen Fläche; es ist deshalb auch die gemeinte Tangente zur Lichtrichtung parallel.

Hat die gegebene Fläche eine Randkurve, die von der Lichtgrenze in zwei oder mehr Punkten getroffen wird, so geht der Schlagschatten der Randkurve auf die Fläche ebenfalls von diesen Punkten aus; dabei liegen in jedem solchen Punkte die Tangenten der Randkurve und ihres Schattens harmonisch zur Tangente der Lichtgrenze und dem Lichtstrahle. Das gleiche gilt dann natürlich auch für die gleichartigen Projektionen dieser Geraden. Sei e der Rand und c sein Schatten auf die Fläche, sei ferner u die Lichtgrenze und P ein gemeinsamer Punkt von e und u, endlich bedeute den durch P verlaufenden Lichtstrahl (Fig. 246a). Die Kurven c und c* liegen auf einem Cylinder mit zu 7 parallelen Mantellinien; die Ebene, die den Cylinder längs 7 berührt, berührt auch die Fläche in P, da sie 7 und die Tangente von c im Punkte P enthält und beide die Fläche tangieren. Hiernach geht also die Kurve c* in der Tat durch P. Nun betrachten wir eine zu 7 benachbarte Mantellinie des Cylinders, die

*

c und c* in den Punkten Q und Q* schneidet; die Strecken PQ, PQ*, QQ seien unendlich klein von der ersten Ordnung. Ist R der Mittelpunkt der Strecke QQ*, so liegen die Strahlen PQ, PQ*, 1 und PR harmonisch.

R

Fig. 246 a

Beim Grenzübergange werden aber PQ und PQ die Tangenten von c und c*, so daß unser Satz bewiesen ist, sobald hierbei der Strahl PR in die Tangente von u übergeht. Um dies zu zeigen, legen wir durch QQ* eine Ebene senkrecht zur Ebene PQQ*; in ihr befindet sich der unendlich kleine, unserer Fläche angehörige Kurvenbogen Q Q*, und auf diesem liegt ein Punkt S, dessen Tangente zu QQ oder 7 parallel ist. In der Figur ist der Bogen QQ* mit dem Punkt S umgelegt. Der Punkt S gehört der Kurve u an, und der Strahl PS wird beim Grenzübergange zur Tangente von u; schließen also PS und PR einen unendlich kleinen Winkel ein, so wird für unendlich kleines PR die Strecke RS unendlich klein von der zweiten Ordnung, und beim Grenzprozeß fällt PR mit der Tangente von u zusammen. Bei jedem unendlich kleinen Bogen hat aber der Punkt 7 (Fig. 2466), der senkrecht über der Mitte der zugehörigen Sehne QQ* liegt, eine Tangente t, die mit QQ einen unendlich kleinen Winkel zweiter Ordnung einschließt. Denn es ist TQ = TQ*, nach 301 bildet also t mit TQ und TQ*

T'S

R

Winkel, die sich nur um eine unendlich kleine Größe zweiter Ordnung unterscheiden, während QQ* mit diesen Geraden gleiche Winkel bildet. Da nun hiernach die Tangenten in T und S einen unendlich kleinen Winkel zweiter Ordnung einschließen, so ist auch FS unendlich klein von der zweiten Ordnung, und da ferner TR von der zweiten Ordnung unendlich klein ist, gilt Gleiches für RS (vergl. die entsprechenden Schatten 333, 338 und 365).

Fig. 246 b.

376. Die Kurve der Lichtgrenze einer Fläche besitzt im allgemeinen einzelne Punkte, deren Tangenten Lichtstrahlen sind; von diesen Punkten geht tangential, d. h. in der Lichtstrahlrichtung, eine Schlagschattenkurve aus. Um die Richtigkeit des ersten Teiles dieses Satzes zu erweisen, lassen wir einen die Fläche berührenden Lichtstrahl sich so parallel zu sich selbst bewegen, daß sein Berührungspunkt B die Kurve u der Lichtgrenze durchläuft, wobei er also die Fläche stets tangiert. Sei nun E irgend eine Ebene durch den Lichtstrahl 7, die sich zugleich