Liegt die Kurve u der Kegelfläche in einer Ebene E, so verfährt man am bequemsten in folgender Weise. Man suche den Schatten von S auf E, etwa S*, und lege von S* Tangenten an u, dann bilden die Mantellinien durch ihre Berührungspunkte die Lichtgrenze. Wirft eine Mantellinie Schlagschatten auf einen Teil der Kegelfläche, so ist ihr Schatten wieder eine Mantellinie; beide besitzen in der Ebene E Spurpunkte auf u, deren Verbindungslinie durch S* hindurchgeht (ihre Schatten in E decken sich). Eine Kegelfläche, die durch die Spitze und einen ebenen Schnitt als Grundkurve begrenzt wird, heißt kurz Kegel. In 92-94 und 237-243 sind ausführlich die Eigenschaften der geraden und schiefen Kreis kegel behandelt worden, auf die hier nochmals verwiesen sein mag. 338. Einen geraden Kreiskegel zu zeichnen, wenn die Basisebene E, seine Höhe h, sowie Mittelpunkt O und Radius r seines Grundkreises u gegeben sind; Eigen- und Schlagschatten zu bestimmen (Fig. 226). = h = = = Man legt durch O eine Hilfsebene П, senkrecht zu e1 und zeichnet in ihr einen Seitenriß. Zunächst ergibt sich e3 und O"", dann O""'S" e, und und als Seitenriß des Kegels das Dreieck A"" B'''S''' (A""' B'" 2r). Hieraus findet man unmittelbar S', S" (in der Figur liegt 8 in ПT1) und die Achsen A'B' und C'D' 2r von u'; die beiden Tangenten von S' an u' bilden dann den scheinbaren Umriß für die erste Projektion. Um die Berührungspunkte J'K' dieser Tangenten zu konstruieren, lege man u um e1 nach uo nieder und benutze die Affinität von u。 und u'. Sucht man zu S′ den affinen Punkt S (S'S1 || e1, S1N SN), zieht die Kreistangenten S.Jo und SK, so sind die affinen Linien S'J', S'K' die gesuchten Umrißlinien (LN = NL1, J'K' = JK, durch L1). Im Aufriß kann man ganz analog verfahren. Man kann die Tangenten S'J' und S'K' auch noch einfacher durch folgende Überlegung gewinnen. Man denke sich eine Kugel, die den Kegelmantel längs u berührt; der Seitenriß ihres Mittelpunktes M ist M"" (M""B""1 B""S"") und ihr Radius = M""B"". Grundriß und Aufriß der Kugel sind Kreise mit dem gleichen Radius und den Mittelpunkten M' resp. M". Die Tangenten an diese Kreise aus den Punkten S' bezw. S" und ihre Berührungspunkte fallen zusammen mit den gesuchten Tangenten an u bezw. u" und ihren Berührungspunkten. In der Tat berührt jede Ebene, die den Kegel längs einer Mantellinie berührt, die Hilfskugel in dem auf u gelegenen Endpunkte der Mantellinie. diese Tangentialebene zu einer Projektionsebene senkrecht, so liefert sie eine Umrißlinie des Kegels und einen Punkt auf dem Kugelumriß, der zugleich dem Kreise u angehört, was unsere Behauptung beweist. In der Geraden JK schneiden sich die Basisebene und die Ebene des horizontalen Kugelumrisses; der Spurpunkt L, von JK in П liegt also auf einer Horizontalen durch M (M" L1||S' N). 3 Um den Horizontalschatten des Kegels zu konstruieren, zeichnen wir zunächst den Schatten ABCDS(CDC'D'); dann sind AB und CD zwei konjugierte Durchmesser der Ellipse, und die Tangenten von S an u bilden die Grenzlinien des Schlag * * * * schattens. Um sie zu zeichnen, benutze man die Affinität von u。 und u (e, Affinitätsachse), suche zu S, den affinen Punkt S, und lege an u。 die Tangenten SF und SG. Bestimmt man zur Berührungssehne FG, rückwärts die affine Strecke FG, so ist sie die Berührungssehne der von S an u gelegten Tangenten. Aber auch u。 und u sind affine Kurven (e, Affinitätsachse) und die zu FG affinen Punkte FG' von u' ergeben auf dem Kegel die Lichtgrenzen S'F' und S'G', woraus sich dann leicht S"F" und S"G" finden lassen. * * 339. Nehmen wir an, daß der Kegel hohl sei, so wirft ein Teil des Randes u Schlagschatten auf das Innere des Kegelmantels. Zwei Mantellinien, von denen eine auf die andere Schatten wirft, werfen den gleichen Schatten auf ПT,, man kann also mit Hilfe des Horizontalschattens zu jeder Mantellinie die von ihr Schatten empfangende Mantellinie des Kegels finden und somit beliebig viele Punkte des Schattens u* von u auf die Kegelfläche. Noch besser benutzt man, um Punkte dieses Schattens u* zu konstruieren, den Schatten S* von S auf E. Empfängt nun eine Mantellinie den Schatten einer andern, so liegen ihre Spurpunkte auf u in E mit S* in gerader Linie. * Nach 361 durchdringen sich Cylinder- und Kegelfläche, die einen Kegelschnitt gemeinsam haben, noch in einem zweiten; die gemeinsame Sehne beider Kegelschnitte schneidet die Flächen in zwei Punkten, in denen sie die gleiche Tangentialebene aufweisen. Der Schatten u erscheint aber als Schnitt der Kegelfläche mit einem Cylinder, dessen Grundkurve der Kreis u ist und dessen Mantellinien zu den Lichtstrahlen parallel sind. Es ist deshalb u* ein Kegelschnitt und FG ist die gemeinsame Sehne von u und „*. Die Kurven u und u* sind affin, da sie auf dem nämlichen Cylinder liegen, FG ist die Affinitätsachse, P und P* sind ein Paar affiner Punkte (Pux OS*, PP* ||1, S*P× SP* = Q liegt auf u). Was nun für u und u gesagt wurde, gilt in gleicher Weise für u' und ' (resp. für u" und u*"). Die Affinitätsachse ist F"G', ein Paar affiner Punkte sind P' und P*'; hiernach ist aber die Ellipse u*' leicht als affine Kurve zu u' zu zeichnen. = Liegt noch die Frage nach den Tangentialebenen eines Kegels aus einem gegebenen Punkte vor, so bemerkt man zunächst, daß jede solche Ebene längs einer Mantellinie berührt, also durch die Spitze S hindurchgeht. Die gesuchten Tangentialebenen enthalten demnach die Gerade ST, wenn T der gegebene Punkt ist. Ist U STX E, so müssen die Spurlinien unserer Tangentialebenen in E durch U gehen und die Kurve u berühren, sie können mithin gezeichnet werden. In der Figur ist diese Konstruktion nicht durchgeführt. Kugel, Cylinder, Kegel; ihre ebenen Schnitte und Abwickelungen. = 0 Fig. 227. H H 0 ihre Projektionen aber Ellipsen, so genügt es, zwei rechtwinklige Durchmesser dieses Kreises zu bestimmen, deren Projektionen konjugierte Durchmesser der Ellipsen sind. Wir legen nun durch den Kugelmittelpunkt O eine Ebene 4 senkrecht zu e1; sie ist Symmetrieebene für die Kugel und die Ebene E, also auch für den Schnittkreis u, d. h. f = E× 4 ist ein Durchmesser von u. Seine Endpunkte A, B bestimmt man am besten, indem man 4 um eine horizontale Achse a durch O in die Lage 4 parallel zu П, dreht. Dabei geht der Schnitt von 4 mit 1 = der Kugel in k' und f in f = F G′ über (F, F1 = (0′′ − x), G=f*x a). Aus Afox k' und B1 = f。x k' ergibt sich sofort die kleine Achse A'B' von u'; ihre große Achse ist C'D' A,B,, und ihre Berührungspunkte J', K' mit k' liegen auf G'H' (H = a′′ × e̟2), da GH die Schnittlinie von E mit der Ebene des Umrisses k ist. Im Aufriß bestimmt man entweder die konjugierten Durchmesser A" B" und C"D" oder man verfährt wie beim Grundriß. 341. Will man die Schnittkurve einer Ebene E mit einer beliebigen Cylinderfläche bestimmen, so sucht man die Schnittpunkte von E mit den Mantellinien des Cylinders, indem man projizierende Ebenen durch sie legt. Ist auf der Cylinderfläche eine Raumkurve u gelegen, deren Projektionen u' und u" man kennt, so geht durch jeden Punkt P von u eine Mantellinie m. Die projizierende Ebene mm' schneidet E in einer Geraden s und der = e Aufriß des Schnittpunktes QmXE ist Q" m" X s". Da die projizierenden Ebenen durch die Mantellinien parallel sind, so sind es auch ihre Schnittlinien mit E, wovon man Gebrauch machen kann; dann hat man nur noch ihre ersten Spurpunkte, die auf liegen, nötig. Soll eine solche Cylinderfläche abgewickelt werden, so muß man zunächst einen ebenen Schnitt senkrecht zu den Mantellinien ausführen und erhält so eine Kurve v, die die Mantellinien senkrecht durchschneidet. Beim Abwickeln des Cylinders, den man als Prisma mit sehr vielen, sehr schmalen Seiten auffassen kann, werden die Mantellinien parallel, und der Normalschnitt v geht in eine zu diesen senkrechte Gerade über (da er sie alle rechtwinklig schneidet). Man wird deshalb durch Niederlegen der Ebene E um e, in П, die wahre Gestalt v von v zeichnen (v, und v' sind affin), dann v nach 307 durch Teilen in kleine Strecken und geradliniges Aneinanderreihen derselben rektifizieren. Um zugleich mit dem Cylinder die Kurve u abzuwickeln, zieht man durch die Teilpunkte von v' die Projektionen |