Quant au signe qui affecte cos (+b) il en résulte que si l'on regarde comme positifs le sinus et le cosinus d'un arc moindre que le quart de la circonférence; le cosinus d'un arc plus grand sera négatif, tandis que son sinus sera positif. Si l'on fait aussi bπ, on aura cos ——1, sino.

Supposant ensuite que, dans les équations (A), , on obtiendra, d'après ce qui précède,

La valeur absolue de ces formules peut se vérifier aussi facilement que celle des précédentes: leur signe montre que tout arc compris entre et aura son sinus et son cosinus négatifs; et lorsque b=1, on a

Enfin quand a, les équations (A) sé réduisent, en vertu des valeurs précédentes, à

et il s'ensuit que tout arc compris entre et ou 27,

a son cosinus positif et son sinus négatif.

En récapitulant ces résultats on verra,

1°. Que depuis le point jusqu'au point A', où l'arc ABA', les sinus sont positifs;

2°. Que depuis le point A jusqu'au point A, où l'arc ABA'B' A 27, c'est-à-dire de ✯ jusqu'à 27, les sinus sont négatifs;

373. Que depuis le point jusqu'au point B', où l'arc AB—, les cosinus sont positifs;

་་,

4° Que depuis le point B jusqu'au point B', où l'are ABA'B', c'est-à-dire de 7 à, les cosinus sont négatifs;

5°. Enfin, que depuis le point B' jusqu'au point A, où l'arc ABA'B' A=27, c'est-à-dire de 1 à 27, les cosinus sont positifs :

Et l'on remarquera sans peine que les sinus changent de signe lorsqu'ils passent au-dessous du diamètre AA', et les cosinus, lorsqu'ils passent d'un côté à l'autre du point C, ou qu'ils tombent en-deçà ou en-delà du diamètre BB', perpendiculaire au premier.

1

Avec ces attentions, on étendra les formules du n° 11 à toutes les grandeurs possibles des arcs AM et MN, fig. 4; et les valeurs conclues de ces formules s'ac- Fig. 4 corderont avec celles qu'on déduirait de la construction et des raisonnemens du n° cité, si on les appliquait immédiatement aux arcs proposés, exercice qui peut être utile au lecteur.

24. En suivant le cours des tangentes on trouvera qu'elles augmentent sans cesse depuis le point A, fig. 10, jusqu'au Fig. 10. point B, où l'arc AM est devenu égal à. A ce point, la sécante NC, se confondant avec CB, est parallèle à la tangente AN, et ne la rencontre par conséquent plus; ensorte que l'arc AB n'a point, à proprement parler, de tangente trigonométrique. On dit cependant que sa tangente est infinie; mais par cette expression, il faut entendre qu'en prenant le point M aussi près du point B qu'il sera nécessaire, on trouvera une tangente AN plus grande que telle quantité qu'on voudra. C'est aussi

ce que prouve l'équation tang a=

sin a

cos a'

qui donne

pour tang a une valeur d'autant plus grande, que cosa est plus petit, ou qu'on approche davantage du point B. Lorsque a=0,50, il vient cos asina et par conséquent tang of, 501.

On prouve la même chose par le triangle CAN, fig. 9, Fig. 9

qui devient isoscèle dans ce cas, puisque l'angle ACN

étant égal à la moitié d'un droit, il en est nécessairement

Fig. 10.

de même de l'angle ANC; la tangente AN est donc égale au rayon.

Quand l'arc AM, fig. 10, est plus grand que, le rayon CM ne rencontre plus la ligne AN au-dessus du diamètre, mais au-dessous. La véritable tangente AN'. 'est égale, ainsi qu'il est facile de le voir, à A'n' tangente de l'arc A'M', supplément de AM', mais se trouve placée dans un sens opposé. Dans le troisième quart du cercle, la tangente, qui a été nulle au point A', repasse audessus du diamètre AA', et AN est encore la tangente de l'arc AAM". Le rayon devenant encore parallèle à “AN, au point B', la tangente est encore infinie à ce point, passé lequel elle revient au-dessous du diamètre; en effet, l'arc AA'M", par exemple, a évidemment pour tangente AN',

25. Je vais examiner maintenant ce qui résulte de

'expression algébrique tang a =

sin a

cos a

ce

Il est visible que sa valeur sera positive dans tous lea cas où le sinus et le cosinus seront de même signe, qui a lieu depuis o jusqu'à, et depuis jusqu'à ; elle sera par conséquent négative depuis jusqu'à TM, et depuis jusqu'à 277; d'où il suit que, pour les tangentes comme pour les sinus et pour les cosinus, les changemens de signes correspondent aussi aux changemens de situation. On trouverait de même que les cotangentes sont positives depuis o° jusqu'à 1, depuis jusqu'à, et négatives depuis jusqu'à 7, depuis 27 jusqu'à 27.

26. Dans le calcul on rencontre quelquefois des arcs négatifs leur sinus et leur cosinus peuvent aussi se déterminer par les formules du n° 11. L'expression de sin (a-b) changeant de signe quand on y change a en b et ben a, fait voir que sin (b-a)—sin (a—b);

ainsi quand ab, l'arc négatif b-a a un sinus négatif.

Si l'on construisait la figure 4* dans cette hypothèse, Fig. 4′′* en prenant AM=b, MN-a, et portant ce dernier arc au-dessous du point M, pour opérer comme il a été dit dans le numéro 11, l'arc AN' se trouverait au-dessous de AC au lieu d'être au-dessus : le sinus Q'N' changerait donc de côté, ainsi que l'arc. Quant au cosinus, il demeurerait du même côté; et par les formules on trouve aussi que cos (b-a)=cos (ab).

27. La proposition démontrée dans le n° 11 a encore de nombreuses conséquences, dont quelques-unes seront nécessaires dans la suite; c'est pourquoi je les placerai ici.

1o. En ajoutant entre elles les deux équations sin a cos b+ sin b cos a

sin (a+b)=

sin (a-b)=

on aura

R

sin a cos b- sin b cos a

d'où

sin (a+b)+sin (a—b) =

R

R

2 sin a cos b

R

R

2

sin a cos b = sin (a+b)+ sin (a—b).

2

2o. En retranchant la seconde équation de la première, on aura

d'où

sin (a+b)-sin (a—b) =

2 sin b cos a

R

R

R

sin b cos a

2

sin (a+b) — — sin (a—b).

Lorsque a=b, cette formule et la précédente donnent

R

cos acos b=1

2

R

2 cós a cos b

+

R

R

cos (a+b)+cos (a-b).

Lorsque ab, cette formule donne

en observant que le cosinus est égal au rayon, lorsque

l'arc est nul.

4°. En retranchant la première équation de la seconde, il viendra

d'où

3

2 sin a sin b

R

R

cos (a—b) — 1 cos (a+b).

2

5o. Si l'on fait a+b=a, a➡b=b', on trouvera, en ajoutant ces deux équations, 2a=a+b', et en retranchant la seconde de la première, 2bd-b';

Mettant ces valeurs de a et de b, dans les expressions de sin a cos b, sin b cos a, cos a cos b, sin a sin b, obtenues précédemment, on trouvera