respectivement semblables aux précédents, par des ouvertures

M

compas déterminées au moyen de d' =d (); ce qui

M

de rendra le polygone atrnq semblable au cadre ATRNQ. On décomposera, ensuite, chaque nouveau triangle de la même manière que son homologue; après quoi, on copiera à vue, dans chacun des parallélogrammes élémentaires, les détails compris dans les parallélogrammes correspondants de la figure donnée.

La copie d'une épure est encore facilitée: en inscrivant cette épure dans un parallelogramme que l'on subdivise, ainsi que son transformé construit par deux triangles, en petits parallelogrammes par deux systèmes de parallèles. Et, lorsque l'un des parallelogrammes élémentaires D de l'original contiendra des détails très multipliés: on le partagera par ses diagonales, ainsi que son homologue d de la copie, en compartiments circonscrivant des détails plus commodes à copier.

Comme l'amplification d'une épure agrandit les erreurs de sa construction primitive, tandis que sa réduction rend les mêmes erreurs moins apparentes; on aura soin d'indiquer ces circonstances, en rappelant que la nouvelle figure à l'échelle provient de la transformation d'une épure

Il est évident que les transformations par réduction pourront, seules, convenir aux descriptions régulières.

L'Angle de transformation.

114. Les longueurs aq, an... (fig. 33), qui servent à tracer les triangles anq, arn...., semblables à leurs homologues ANQ, ‘ARN...., s'obtiennent immédiatement au moyen de

L'ANGLE DE TRANSFORMATION.

Pour construire cet angle: on porte, sur une droite pq (fig. 34), la plus grande dimension possible de la figure à

transformer; on élève, en direction quelconque, qr homologue

X

M

à pq et égale à pq ×TM, puis l'on tire pr. Toutes les droites aa', bb',...... parallèles à qr, seront les transformées à l'échelle des longueurs respectives pa, pb,....; puisque

I

M

Ainsi en portant, de p en x, un côté de l'épure donnée, la ligne xx' sera le côté homologue de la copie.

Les parallèles aa', bb'....., tracées d'avance, faciliteront la direction à vue de xx'.

115. Quand les dimensions cherchées devront être moindres que les doubles-dimensions données, l'angle de transformation RPQ (fig. 35) pourra se tracer en décrivant un arc de rayon PQ = d, dont la corde QR, homologue à PQ, soit d'= d Toute distance Px de la figure donnée, portée

M
M

sur PQ et PR, fournira son homologue xx' de la copie; car

Cette seconde manière de construire l'angle de tranformation, correspond à l'usage du Compas de proportion.

Les Pantographes.

116. La construction d'instruments, propres à tracer, d'un mouvement continu et dans une proportion voulue, la copie d'un dessin, est fondée sur le principe suivant :

Si, d'un centre p (fig. 46), on conduit des droites à tous les sommets d'un polygone ABCDE, et qu'on marque sur ces lignes, ou sur leurs prolongements, des points PB pc PD PE a, b, c, d, e, tels : les figures

=

PA
que
pa pb pc pd pe

PA ABCDE, abcde seront semblables, et ρα leurs côtés homologues.

sera le rapport de

117. Considérons deux longueurs parallèles bc ct pa (fig. 47 ou 48); quelques inclinaisons que prennent simultanément ces parallèles, sur la droite qui joint l'extrémité a de l'une à l'extrémité b de l'autre, l'alignement cp des extrémités c et p passera toujours par le même point de la direction ab. Car, soit t la rencontre de cp avec ab, pour une inclinaison quelconque de cb et ap sur ab; at sera déterminé par la relation :

laquelle, ne contenant rien de relatif à l'inclinaison des parallèles sur ab, se rapportera à toutes les positions simultanées de ces parallèles et déterminera, par conséquent, le point t d'une manière constante.

D'après cela, si on conçoit trois longueurs rigides et inextensibles ab, bc, ap assemblées aux points b et a, par des boulons ou charnières (fig. 47, 48) les trois points c, t, p, choisis primitivement en ligne droite, conserveront leur alignement, quelle que soit la position de ab relativement au système des parallèles bc, ap.

De plus, les rapports

ct ct

tp

et seront, dans toutes les tp pc pc

modifications du système des trois lignes ap, bc, tb, égaux à

leurs homologues.

dernier.

tb tb at
at' ab' ab

et se déduiront, même, de ce

118. Pour astreindre les directions ap, bc à un parallélisme constant, on les fera servir d'appuis aux côtés opposés d'un parallelogramme ayant ab pour base: en prenant sur be et ap, et du même côté de ab (fig. 49 ou 50), deux parties égales br et an qu'on liera, au moyen de boulons ou de charnières, par une traverse rn égale à ab.

En fixant, à présent, l'un des points c, tou p, on pourra effectuer autour de ce point toutes les transformations du système, au moyen desquelles les figures décrites par les deux autres points de l'alignement ctp seront semblables,

S 116, et auront entre elles un rapport déduit de

sorte que, en supposant p immobile et en dirigeant les transformations de rban tellement que c parcoure un contour donné le point t décrira une figure semblable à ce contour, et les côtés homologues des deux figures auront pour tp at

:

rapport

pc

ou.

ab

119. La propriété géométrique du § 116 étant, ainsi, construite d'une manière bien simple; il s'agit d'en perfectionner l'usage.

at ab

tb - ab

ab

Remarquons d'abord : que le rapport Ou (fig. 49), qui détermine la grandeur de la copie relativement à l'original, peut être modifié sans changer la longueur cb, et par deux moyens:

1.o En faisant varier tb; et en déplaçant, par conséquent, tet p sur leurs barres respectives, pour que l'alignement tpc soit conservé.

2.o En changeant ab et par suite ap; le point t étant alors invariable.

De la dérivent deux genres de PANTOGRAPHES.

120. Le pantographe du 1.er genre, ou pantographe proprement dit, se compose (fig. 51) de quatre règles fb, rn NA, BE assemblées par des boulons rivés R, N, B, A, de manière que RN=BA, RB=NA: les extrémités F, B, E sont supportées par de petites roulettes, pour diminuer le frottement sur le papier pendant le mouvement des règles. En c, la règle FB est percée d'un trou cylindrique propre à recevoir une pointe ou calquoir. De a en E, on place un crayon ou traçoir T soit dans des trous percés sur cette longueur, soit avec une pince qui s'attache à ladite règle. La règle ANest aussi percée de trous, ou porte une pince, pour s'adapter à un pivot P, que l'on visse ordinairement sur un plomb assez lourd pour ne pouvoir se déplacer pendant le mouvement de l'instrument autour de ce pivot.

Le calquoir c étant supposé invariable sur sa règle ; on marque, sur les règles an et AE, des points dont l'alignement passe par c, et l'on numérote ces points pour en repėrer les divers alignements.

Afin que le crayon, servant de traçoir, frotte convenablement sur le papier: on le surmonte d'une coupelle que l'on charge d'un faible poids; on évitera que le traçoir marque des lignes inutiles pendant le transport du calquoir sur les parties du dessin original: en adaptant, au-dessus de в, une petite poulie parallèle aux règles, et, sur la pince du traçoir, une semblable poulie perpendiculaire aux règles; de manière qu'un fil, attaché au crayon et correspondant à c au moyen de ces poulies, permette de soulever le crayon lorsqu'il ne devra pas laisser de trace sur le papier.

Une détente, communiquant de cà r le long des règles FB et BE, remplace même, avec avantage, le fil et les poulies.

121. Pour employer le pantographe, c'est-à-dire, pour tracer, dans une proportion donnée, la copie d'une figure plane quelconque il faut 1.° préparer l'instrument dans le rapport voulu; pour cela, après avoir disposé en ligne droite le traçoir, le pivot et le calquoir, soit avec une règle, soit au moyen de repères déterminés d'avance (fig. 51), on fait glisser le calquoir c sur la plus grande distance possible ae, pour marquer la direction a'e' parcourue en même temps par le traçoir T; et, prenant la longueur a'e' telle que a'e' égale le rapport donné, on fera varier l'alignement TPC, en déplaçant le traçoir T et le pivot », jusqu'à ce que le traçoir parcoure exactement la droite a'e' pendant que le calquoir marchera de a en e. 2.o Stationner le pantographe et le dessin à copier, de manière à faire parcourir au calquoir c le plus grand espace possible sur ce dessin, que l'on fixe alors, ainsi que le pivot P.

ae

Il ne reste plus qu'à suivre, avec le calquoir c, les parties du contour donné, pour reproduire, avec le traçoir т, la copie dans les proportions désirées.