manière à faire passer les directions ZD, za, zg simultanément par les points respectifs d, a, g, et décalquer ensuite le point z en z.

Ce problème, dont nous avons fait un cas particulier de la question générale du § 69, donne le moyen de rattacher immédiatement une station à deux bases, ou à trois points connus et visibles de cette station.

78. Cependant, si la station z' se trouvait sur la circonférence définie par les trois points D, A, G (fig. 25), ou mème prés de cette circonférence: les segments décrits sur ad et ag se confondraient, ou se couperaient assez obliquement pour laisser le point z' indéterminé. Il faudrait, alors, stationner en un autre lieu z, avantageusement pris dans la direction Az'; et ce nouveau point, éloigné de la circonférence DAG, se placerait très nettement en z et procurerait, en même temps, le point z' homologue à z'.

79. Les segments capables, auxquels nous venons de recourir § 76, 77, 78, peuvent se tracer d'un mouvement continu, ou par points.

Un segment capable se trace d'un mouvement continu: en en déterminant le centre, soit au moyen de la ligne gr (fig. 26), considérée comme tangente faisant avec la corde gd l'angle donné z; ou bien en calculant la longueur du rayon gd

gc=

2 sin z

Les deux positions symétriques dgr, dgr' de l'angle z, relativement à gd, fournissent deux segments dog, dyg qui appartiennent respectivement aux constructions en-deçà et audelà de gd.

Pour décrire, par points, le segment capable d'un angle DZG (fig. 25) el passant par g et d, en-deçà de gd: on mène dans cet espace, par le point d, les droites dt, dt' dt"...., et l'on conduit ensuite, par le point y, des lignes formant avec celles-ci les angles dtg, dt'g dt'g...., égaux à DZG.

80. Il résulte du § 72: que l'on pourra toujours considérer un point donné extérieurement à une direction connue,

comme déterminant une distance à laquelle on rattachera d'autres points, par des mesures d'angles.

En effet, puisque, au moyen de l'inclinaison BZA (fig. 27), une base zB se conclut des données indiquées; il n'y aura plus qu'à rattacher les points proposés à cette base.

Or, si la direction az est accessible en z, on y observera l'inclinaison BZA.

Mais, si l'alignement az est inaccessible: on sera obligé de choisir deux stations auxiliaires u, v, où l'on mesurera les angles BUV, ZUV, auv; bvu, žvu, AVU, destinés à coordonner à la base uv, le point в et deux repères z, ▲ de la direction donnée.

On a montré, § 68 page 34, comment on parvenait numériquement aux rapports de tous les côtés, deux-à-deux, de la figure BUVAZ, et au calcul de l'inclinaison Bza, qui permet de remplacer Zв par et de conclure tous les côtés de sin BZA la figure, en fonction de la distance donnée BP.

BP

La solution graphique de ce problème consiste à décrire, avec les angles observés, la figure auxiliaire u'v'a'z'b' qu'on reporte, ensuite, sur la direction za": soit par le décalque, soit en faisant z"a" z'a', et plaçant, au moyen d'arcs circulaires, les points b', u', v' en b", u", v"; après quoi, la figure uvazb, semblable à u"v"a"z"b" déterminera les positions graphiques de u, v, A, Z, B.

81. On reconnaîtra, immédiatement, qu'un même point inaccessible z a été observé de trois stations A, D, G (fig. 25): au moyen des angles qui rattachent ces stations entre elles.

En effet, on exprimera que z est sommet commun aux deux triangles GDZ, ADZ: en égalant les valeurs de zo tirées de l'un et l'autre triangle, c'est-à-dire :

sera la condition à vérifier approximativement, pour que z soit commun aux côtés Dz, az et gz.

Cette épreuve est utile au § 322, Livre III.

82. Quand on recourra à des bases auxiliaires, pour coordonner ensemble plusieurs points d'un plan: la disposition et les longueurs de ces bases devront être telles que leur liaison, par des mesures d'angles, se ressente le moins possible des erreurs d'observation de ces angles. Il faudra, donc, chercher quelle forme et quelle étendue conviendront le mieux à chacun des triangles, qui doivent fournir des bases auxiliaires ou les rattacher entre elles, pour obtenir la moindre accumulation d'erreurs dans les résultats.

Remarquons, à cet effet, que, dans un triangle quelconque ABC (fig. 28), l'inexactitude dAB sur la mesure de l'angle CAB Occasionne, au côté opposé CB, une erreur de dépendant principalement de la longueur du côté adjacent AB; de sorte que l'erreur numérique, qui en proviendra dans la solution du triangle, sera le rapport différence entre le ré

dB.

AB

-, que l'on substitue à

par la solution du triangle cad).

dB sin dAB

; et, à cause

Or, le triangle daв donne =

AB sin AdB

que sin adb = sin (daB+CBA), on aura, en représentant angle daв par y, angle CBA par B, erreur dв par e', et côté ab

par c :

e'

sin

Si on nomme e", e" les erreurs

C sin (B+) produites sur les côtes AC, AB par l'inexactitude, que le même instrument angulaire occasionnerait aux angles B et c;

on pourra écrire :

e'

sin

C sin (B+)

Mais, la liaison des angles d'un triangle rend le dénominateur de l'une de ces expressions d'autant plus grand que les dénominateurs des autres sont moindres; conséquemment, plus

l'une des erreurs numériques

e'e" e""
C a'b

sera petite, plus les deux autres deviendront considérables. Ces quantités auront donc simultanément les moindres valeurs possible, quand les angles A, B, C seront égaux. Ainsi, la forme équilatérale sera la meilleure à donner à un triangle, pour atténuer, dans sa solution, l'erreur inhérente à la mesure des angles: on devra donc rechercher cette forme dans la disposition des bases auxiliaires.

83. De ce que sin est toujours inférieur à chacune des

quantités

e'

e'll

C ab

sin (B+), sin (c + y) et sin (a + ?)

ne dépassant jamais l'unité; on aura généralement :

médiatement: au moyen de la perpendiculaire Bp sur Ad (fig. 28), donnant pв <dв, sin = et, par suite,

dB AB

рв

AB

sin ဖ dans l'évaluation de chaque côté d'un triangle, et q` pour incertitude de mesure due au goniomètre: le plus grand côté d'un triangle ne pourra, sans inconvénient, dépasser

Si donc, on adopte emet. pour l'erreur tolérée

et, en supposant assez petit pour que sin 1', ou ?

remplace sin', § 54 page 25, il viendra e

em

sin မှ

ዋ

6400'

Donc enfin la grandeur des bases auxiliaires sera limitée, en raison de l'exactitude exigée dans les derniers résultats et du soin apporté à la mesure des angles.

84. Quand on connaîtra le côté ac, ou b, et l'angle c (fig. 28);

chie des données b et c, et le côté BC, ou a, se ressentira seul de l'inexactitude d'observation angulaire, en éprouvant une erreur e' d'autant plus petite que sin (B+) se rapprochera davantage de l'unité, ou que l'angle в différera moins d'un droit.

D'où résulte cette conclusion, particulièrement favorable aux opérations graphiques : que l'intersection rectangulaire est la plus propre à placer un point par deux directions.

85. Des points, liés entre eux par les moyens précédemment indiqués, peuvent aussi être coordonnés relativement à deux axes qui se coupent.

Soient les points U, V, B, A, Z rattachés entre eux à l'aide des bases UV, AZ (fig. 27); construisons, avec les angles observės, une figure provisoire u'v'a'z'b', qui rappelle la manière dont ces points ont été liés à leurs bases respectives. Nous nous donnerons des axes rectangulaires : en adoptant les coordonnées rectangulaires d'un sommet, et l'inclinaíson, ou azimuth, d'un côté de cette figure par rapport à l'un des axes. Par exemple, en assignant à l'x et à l'y du point b', les longueurs a et ß; et, en supposant que soit l'azimuth (droite à gauche) de u'a' sur l'axe des y : on mènera par une ligne d's, inclinée de λ sur la direction u'a' dans le sens de gauche à droite, § 96 page 50, et, portant sur cette ligne la longueur b's=ß, on aura un point s de l'axe des x que l'on tracera alors, perpendiculairement à b's; puis, faisant soa, le point o sera l'origine des coordonnées.

b'

Maintenant, les différences de coordonnées des extrémités d'un côté quelconque u'z' se trouvent par:

Or, les azimuths de tous les côtés se concluront de celui de

départ et des divers angles observés;