CHAPITRE II.: TRIGONOMÉTRIE. Principes fondamentaux. 51. Les valeurs numériques, ou graduations des angles, seront toutes positives: si on admet qu'une droite puisse s'incliner sur une autre, dans un sens déterminé, de zéro à quatre droits. Le premier côté d'un angie est celui à partir duquel on désigne le sens de cet angle, dont on suppose le sommet occupé par l'observateur. Comme on peut augmenter ou diminuer de quatre droits l'inclinaison réciproque de deux lignes, sans déranger leurs positions: la différence de deux amplitudes angulaires sera toujours rendue positive, en ajoutant, au besoin, quatre angles droits à l'une d'elles. D'où il suit que l'angle de deux droites, dans un sens désigné, pourra s'estimer par la différence des inclinaisons, dans ce même sens, des droites données sur une ligne quelconque. En effet, quand les droites AB, AB′ (fig. 14), seront situées du même côté de la ligne de repère ao, on aura évidemment: angle BAB' incl. Oв'—incl. Oв. Et, dans le cas où les côtés de l'angle à estimer bAB, seront de part et d'autre du repère AO, Angle baBang. BAO+ angl. oAb Angle BAO incl. OB on aura: mais : Angle qab4d-incl. oвo'b donc : Ang. bAB=4+incl. OB-incl. oвo'b-incl. OB—incl. oвo'b. 52. Les angles d'un triangle rectiligne sont déterminés par les rapports, directs ou inverses, d'un côté de ce triangle aux deux autres; car tous les triangles, construits au moyen de ces rapports, sont semblables (fig. 15). On tracerait donc, avec le compas seul, un angle : en le faisant appartenir à un triangle ABC, dont on pourrait con naître l'un des douze couples de rapports fournis par ses côtés; savoir : (9) (9) (61) 6 - ). ( - ). ( i ). (음,응), 등), a a a (음 Mais, en considérant qu'un angle obtus BAC se conclut facilement de l'angle aigu BAx qui lui est adjacent: la construction de toute espèce d'angles se ramènera à celle d'un angle aigu, pouvant toujours faire partie d'un triangle rectangle BAC (fig. 16), dont on sait obtenir la forme au moyen d'un seul des six rapports, directs ou inverses, de ses côtés deuxà-deux, savoir : Ces rapports indiquant, pour chaque angle, la construction du triangle rectangle qui le contient, sont les indices trigonométriques dudit angle, que l'on distingue entre eux par les noms suivants : le triangle ABC étant rectangle en c (fig. 16), 3/00/00/00/00/0 est le sinus de ▲, représenté par : sinus du complément de ▲, ou cosinus de A. est la tangente de a. sin A tangente du complément de ▲, ou cotangente de A. . . cot A est la sécante de a. Séc A C sécante du complément de a, ou cosécante de ▲. Coséc A a et ces indices, dérivant les uns des autres, ont d'ailleurs entre eux les relations : sin A+cos A=1, tg a cot A=1, Séc A COSA=1, sin A COS A La sécante et la cosécante, pouvant être facilement suppléées par le cosinus et le sinus, sont rarement employées. 53. Voyons, maintenant, comment chacun des indices trigonométriques pourra convenir à toutes les inclinaisons partant d'une droite ao dans un sens déterminé, de droite à gauche par exemple, depuis zéro jusqu'à quatre droits (fig. 14), Du centre A, avec le rayon arbitraire c, je décris une circonférence que je coupe, à une distance BC, ou a=nc, de ▲o, par la parallèle BB': les triangles rectangles ABC, AB'C' résultent, l'un et l'autre, de l'indice ==n; en sorte que les deux inclinaisons OB, Ou A, et оBB', ou (2a—A), répondent au même sinus. a C En, imaginant la parallèle bb' telle que bc=a=nc, elle coupera aussi la circonférence, de manière à donner le même sinus n aux angles bac, b'ac' construits dans le sens inverse des précédents; les inclinaisons Oвo'b', ou (2a+1), et Oвo'b′b, ou (4a— A), résulteront donc de la même valeur n, donnée à sin A et prise négativement, ainsi : : ou enfin le sinus d'un angle est le même que celui de son supplément à deux droits, et de signe contraire à celui de son supplément à quatre droits. b 2. Cosa = p == d'où b=pc. C La circonférence оBo'b étant coupée par la perpendiculaire вb, à une distance du centre égale à AC ou b = pc; les triangles rectangles ABC, abc résulteront, l'un et l'autre, de l'indice b C p; ensorte que les deux inclinaisons oв, ou A, et oвo'b, ou (4a A), répondent au même cosinus, De même, la perpendiculaire B'b', telle que Ac' ou b=pc, fournira les deux triangles B'Ac', b'ac', d'où résulteront les deux inclinaisons OB'B, ou (2d-A', et oв'o'b', ou (2+), ayant pour cosinus commun la valeur p prise négativement. c'est-à dire que le cosinus d'un angle est le même que celui de son supplément à 44, et de signe contraire à celui de son supplément à 2d. ou: la tangente et la cotangente d'un angle sont de signes contraires aux tangente et cotangente de son supplément à deux ou à quatre droits. Ainsi donc, toute inclinaison, comprise de zéro à quatre droits, aura pour indice trigonométrique celui d'un angle moindre qu'un droit pourvu que le signe de cet indice dẻtermine le sens de la construction du triangle rectangle dont il dérive. 22 54. Le rayon d'une circonférence est le développement de l'arc d'environ 64 grades, attendu que 2πR=400%, π= 7' Les sinus et cosinus de la somme et de la différence de deux angles x, y sont donnés par : 2 cosx=2 cos1-1=1-2 sin x représentant l'arc du rayon R qui mesure l'angle x; on a; sin x 2. 2 R —sing < 2 – sin* R tiré de x <Rtg x 1-2 sin2 R ac 22 et, à plus forte raison: Exemple : 2R c, étant la sous-tendante de l'arc x, est égale à 2 R sin; d'où: x-c=2R sin=2 X-C et sin x sin y sin2 (L) +y +sin3 1. = tg 2 sin x 55. On a calculé des tables destinées à évaluer les amplitudes des angles au moyen des logarithmes de leurs indices trigonométriques, et réciproquement. Les caractéristiques |