Lehrbuch der Analysis, Teil 2

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Springer-Verlag, 08.03.2013 - 737 Seiten
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Bei der Abfassung des zweiten Bandes meines Lehrbuches der Analysis bin ich den selben Grundsätzen gefolgt, die für den ersten bestimmend waren: Ich wollte die Theorie ausführlich und faßlich darstellen, ausgiebig motivieren und durch viele Beispiele und Übungen zum sicheren Besitz des Lesers machen. Außerdem wollte ich Brücken schlagen zu den Anwendungen analytischer Methoden in den allerver schiedensten Wissenschaften und dabei das wechselseitig fördernde Ineinandergrei fen "blasser" Theorie und "handfester" Praxis aufscheinen lassen, ein Ineinander greifen, dem die Analysis einen guten Teil ihrer Vitalität und Dynamik verdankt. Und schließlich wollte ich durch eine klare und auch äußerlich leicht erkennbare Scheidung von Methoden- und Anwendungsteilen dafür sorgen, daß der Leser trotz der Fülle des Materials den roten Faden nicht verliert. Dieser rote Faden ist der Versuch, das Änderungsverhalten der Funktionen begrifflich zu erhellen und aus der Änderung einer Funktion "im Kleinen" ihren Verlauf "im Großen" zu rekon struieren. Dabei stehen diesmal im Vordergrund der Überlegungen Funktionen, de ren Argumente und Werte Vektoren aus dem RP oder sogar Elemente aus noch viel allgemeineren Räumen sind. Dieser Übergang vom Eindimensionalen zum Mehrdi mensionalen entspringt nicht müßiger Neugier und Verallgemeinerungssucht - er wird uns vielmehr sehr nachdrücklich durch die unabweisbaren Bedürfnisse der Pra xis aufgenötigt. Die Prozesse der Natur spielen sich eben für gewöhnlich im Raum und nicht nur auf einer Geraden ab. Die Analysis ist in einer 2500jährigen Entwicklung mühevoll zu dem geworden, was sie heute ist.
 

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Inhalt

Banachräume und Banachalgebren
11
Banachräume
18
Banachalgebren
23
Stetige Abbildungen normierter Räume
30
Stetige lineare Abbildungen normierter Räume
40
Stetige Funktionen aus R nach R
45
Lineare Abbildungen von R nach R
50
Der Satz von StoneWeierstraß
59
182
385
Praktische Bestimmung der Stammfunktionen
389
Das Integral reellwertiger Funktionen bezüglich der Weglänge
390
Komplexe Wegintegrale
392
Der Cauchysche Integralsatz und die Cauchysche Integralformel
395
187
401
188
408
Das Newtonsche Verfahren im
412

Die komplexe Version des Satzes von StoneWeierstraß Trigo nometrische Approximation
64
Anwendungen 117 Der Satz von PicardLindelöf für die Differentialgleichung y f XY
67
Der Satz von Peano für die Differentialgleichung y fx
69
Systeme von Differentialgleichungen erster Ordnung
73
Differentialgleichungen höherer Ordnung
77
Die Fredholmsche Integralgleichung 122 Die Volterrasche Integralgleichung
82
Das Lebesguesche Integral 123 Die Definition des Lebesgueschen Integrals
84
Einfache Eigenschaften des Lebesgueschen Integrals
89
Der Konvergenzsatz von Beppo Levi
93
Der Konvergenzsatz von Lebesgue und das Lemma von Fa tOU
97
Das Riemannsche Integral in der Lebesgueschen Theorie
99
Parameterintegrale es
101
Meßbare Funktionen
103
Die Banachräume LI
106
Das unbestimmte Integral
110
Fourierreihen 132 Das Problem der schwingenden Saite
118
Der Begriff der Fourierreihe
123
Die Approximation im quadratischen Mittel es
127
Die Integraldarstellung der Teilsummen einer Fourierreihe
133
Punktweise Konvergenz der Fourierreihen
138
Gleichmäßige Konvergenz der Fourierreihen
144
Beispiele für Fourierentwicklungen
148
CSummierbarkeit der Fourierreihen
154
ASummierbarkeit der Fourierreihen
160
LKonvergenz der Fourierreihen Konvergenz im quadrati schen Mittel
163
Folgerungen aus der LKonvergenz der Fourierreihen
167
Differenzierbarkeit und Integrierbarkeit der Fourierreihen
170
Nochmals die schwingende Saite
174
Gedämpfte Schwingungen unter dem Einfluß periodischer Zwangskräfte
179
Temperaturverteilung in einer kreisförmigen Platte
182
OO 147 Das Integral a
187
Die Reihen
188
Die Produktdarstellung von sinnrx
190
Die Gammafunktion
195
Das Fehlerintegral Die Fresnelschen Integrale
200
Topologische Räume 152 Umgebungen und Topologien
202
Beispiele topologischer Räume
205
Konvergenz in topologischen Räumen
211
Topologische Elementarbegriffe
218
Relative Topologien
224
Kompakte Mengen
227
Stetige Abbildungen topologischer Räume
230
Die Algebra CX
233
Zusammenhängende Mengen
235
Bogenzusammenhängende Mengen
240
Differentialrechnung im
246
Partielle Ableitungen
247
Das Änderungsverhalten der CFunktionen 164 Differenzierbare Funktionen Die Ableitung
259
Differentiationsregeln
266
Die Richtungsableitung
272
Mittelwertsätze
276
Der Taylorsche Satz
283
Implizite Funktionen
286
Die Differenzierbarkeit implizit definierter Funktionen
295
Der Umkehrsatz
300
Bericht über Determinanten
304
Lokale Extrema reellwertiger Funktionen
310
Extrema mit Nebenbedingungen
319
Differentiation in Banachräumen
330
Differentiation komplexer Funktionen 154 160
345
Wegintegrale
349
Rektifizierbare Wege
351
Die Bogenlänge
358
179
366
Wegintegrale
375
Gradientenfelder und Potentiale
379
190
416
Eine Grundaufgabe der Variationsrechnung
421
Konservative Kraftfelder s es e 193 Kleine Bewegungen um stabile Gleichgewichtslagen
430
Das Hamiltonsche Prinzip und die Lagrangeschen Gleichungen zweiter Art
432
195
433
200
435
Mehrfache RIntegrale
437
Vorbemerkungen es 197 Das Riemannsche Integral über kompakte Intervalle im
439
Die Darbouxschen Integrale über kompakte Intervalle im
442
Integrabilitätskriterien und einige Folgerungen aus ihnen
444
Der Satz von Fubini
448
Integration über Jordanmeßbare Mengen
453
202
461
Inhalte von Ordinatenmengen
466
Integration über Normalbereiche
470
205
473
Die Substitutionsregel s a 206 Transformation auf Polar Zylinder und Kugelkoordinaten
485
211
495
Flächen und Oberflächenintegrale im Raum
499
Der Stokessche Integralsatz
512
Der Gaußsche Integralsatz im Raum
516
218
522
Alternierende Multilinearformen
524
Differentialformen
531
Integration von Differentialformen
541
Ketten
544
Integration über Ketten
549
Der Stokessche Satz für rKetten
553
Spezialfälle des Stokesschen Satzes
556
Anwendungen 218 Die physikalische Bedeutung der Divergenz und des Gaußschen Integralsatzes
559
Wärmeleitung
561
Gravitationspotentiale
563
Zentralkräfte
570
Die Keplerschen Gesetze der Planetenbewegung
571
Das Problem der Dido
577
224
581
Der Satz von Fubini für mehrfache LIntegrale
583
Meßbare Funktionen
586
227
587
Die Fixpunktsätze von Brouwer Schauder und Kakutani 228 Der Fixpunktsatz von Brouwer
592
Ein Fixpunktsatz für konvexe kompakte Mengen im R
601
230
604
Korrespondenzen
609
Der Fixpunktsatz von Kakutani
614
233
617
Vorbemerkungen zum Modell der reinen Tauschwirtschaft
620
235
625
Die Existenz von Wettbewerbsgleichgewichten
630
Ein historischer tour dhorizon 237 Die Pythagoreer
634
Proportionen und Exhaustion
636
Archimedes
640
240
646
Newton
656
Leibniz
668
Zeitgenössische Kritik am Calculus
676
Die analytische Explosion
680
Die neue Strenge
689
Statt eines Nachworts
701
Lösungen ausgewählter Aufgaben
702
Literaturverzeichnis 797
727
Symbolverzeichnis
728
247
729
272
731
286
732
345
733
Urheberrecht

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Über den Autor (2013)

Professor Dr. Harro Heuser, Universität Karlsruhe

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